专题12一元一次不等式组的有关6大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建系统训练体系，覆盖不等式组基础解法、含参问题及跨知识综合应用，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|数轴取公共部分、端点分析法、关键词转化|从解法原理到步骤固化，奠定基础| |题型归纳（6类）|每类3-5题|定义翻译-数轴求解、参数端点列不等式、方程解代入不等式|从单一应用到跨几何/行程/营销综合，层层递进| |压轴挑战|高难题目|综合多知识点构建不等式组|突破思维上限，培养推理能力与应用意识|

专题12 一元一次不等式组的有关题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 自定义背景下的一元一次不等式组问题 题型2 已知不等式组的解求参数 题型3 一元一次不等式组与方程（组）的综合问题 题型4 用一元一次不等式组解决行程问题 题型5 一元一次不等式与几何的综合问题 题型6 用一元一次不等式组解决营销、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分别求解不等式组中的每个不等式，化为 x>a、x≥a、x<a、x≤a 的形式；在同一数轴上画出各解集，取公共部分即为不等式组的解集；若公共部分不存在，则不等式组无解。含参问题常用“端点分析法”：先用参数表示解集端点，再根据“有解”“无解”“整数解个数”等条件列关于参数的不等式（组），注意端点是否取等。应用题要抓住“至少、至多、不超过、不少于”等关键词，设未知数、列不等式组、求公共解集，并结合实际意义取整数解或最值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 自定义背景下的一元一次不等式组问题 题型模版 1.特征：以“新定义”“实际背景”包装的不等式组，需先理解定义再转化为常规不等式组求解。 2.方法：紧扣定义翻译条件；分别求各不等式解集；借助数轴确定公共解集；验证边界是否满足新定义。 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：；；， (1)_____；_____； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． ◆题型2 已知不等式组的解求参数 题型模版 1.特征：已知不等式组的解集、整数解个数或有解/无解，反求参数取值范围。 2.方法：先解含参不等式组，用参数表示解集端点；根据题目对解集的限制列关于参数的不等式（组）；注意端点是否取等及参数是否使原不等式组有意义。 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知为整数，关于的不等式组的解集中恰好有5个整数，则的值是________． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 7．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 8．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． ◆题型3 一元一次不等式组与方程（组）的综合问题 题型模版 1.特征：方程（组）的解需满足不等式条件，或不等式组的解影响方程解。 2.方法：先解方程（组），用参数表示解；代入不等式组得到关于参数的不等式；求解并注意整数解、正解等特殊要求。 9．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知关于、的方程组的解都为正数，且满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 11．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． ◆题型4 用一元一次不等式组解决行程问题 题型模版 1.特征：以路程、速度、时间关系为背景，通过“不少于”“不超过”“恰好”等关键词建立不等式组。 2.方法：理清运动过程，设未知数；根据限制条件列不等式；结合实际问题意义取解集。 13．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 15．（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 16．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． ◆题型5 一元一次不等式与几何的综合问题 题型模版 1.特征：将线段长度、角度大小、面积范围等几何条件转化为一元一次不等式组。 2.方法：用几何关系表示相关量；根据“大于”“小于”“介于”等条件列不等式；求公共解集后回归几何意义。 17．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在中，，，、均是的外角，射线从射线出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，交射线于点．设射线的旋转时间为秒． (1)用含的代数式表示；当点与点重合时，_____． (2)当点在点右侧时，的取值范围是_________________． (3)如图②，、的角平分线交于点，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③，的角平分线交的反向延长线于点，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的倍时，直接写出的值． 18．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）某工厂要制作一款长方体木箱，木箱的长，宽，高分别为厘米，厘米和厘米．制作时，需要用三种规格的长方形木板裁剪出箱底，箱盖和四个侧面，裁剪方式如下：甲型木板可裁出个箱底和个长侧面，乙型木板可裁出个长侧面和个短侧面，丙型木板可裁出个箱盖和个短侧面． 已知制作一个木箱需要个箱底，个箱盖，个长侧面和个短侧面． (1)若时，求： ①乙和丙这两块木板的面积分别是多少？ ②仅用甲和乙木板恰好能生产个上述木箱，需要甲和乙两型木板各多少块？ (2)若a≠10时，现有甲，乙，丙三种木板共块，恰好用这块木板制作了个完整的有盖木箱（允许有剩余的箱盖和箱底，但长侧面和短侧面刚好用完），则甲，乙，丙三型木板各用了多少块？及求的值． 19．（25-26七年级下·北京顺义·期末）对于数轴上的长度为a的线段（点M在点N的左侧）和点P给出如下定义：若，线段向左平移个单位长度，得到线段（点，分别是M，N的对应点）；若，线段向右平移个单位长度，得到线段（点，分别是M，N的对应点）．若点P在线段上，则称点P为线段的“b关联点” (1)如图，数轴上的M，N两点表示的数分别为0，1． ①若平移长度，数轴上的点，，表示的数分别为，，，在点，，中，线段的“b关联点”是________； ②数轴上点表示的数为，且点是线段的“b关联点”，则b的取值范围是________． (2)数轴上的点M，N，G，H表示的数分别为0，，，．点P是线段的“b关联点”，将点P向右平移个单位长度得到点Q．若线段上存在线段的“b关联点”，直接写出b的取值范围． 20．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）综合实践 【问题背景】潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察，如图1，，根据光的反射原理，可以得到，． 【理解原理】 (1)如图1，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． ∴（     ）， ∵，， ∴（__________________）． ． 即__________________ （     ） 【尝试探究】 (2)改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图2，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行，但方向相反，求； (3)如图3，若，，入射光线与反射光线的夹角，若三角形为锐角三角形，请直接写出的取值范围______． ◆题型6 用一元一次不等式组解决营销、方案问题 题型模版 1.特征：以成本、利润、单价、数量等经济量为背景，涉及方案选择与最优化。 2.方法：明确各量关系及约束；列不等式组求可行范围；结合整数、最值等要求确定最优方案。 21．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 22．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 23．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某营养餐公司为学生提供的克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为克，蛋白质含量占，谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示： 谷物食品 牛奶 项目 每克 项目 每克 能量 千焦 能量 千焦 蛋白质 克 蛋白质 克 脂肪 克 脂肪 克 碳水化合物 克 碳水化合物 克 钠 毫克 钠 毫克 (1)设该份早餐中谷物食品为克，牛奶为克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克用含有，的式子表示 (2)求出（1）中，的值． (3)该公司为学校提供的午餐有，两种套餐每天只提供一种： 套餐 主食克 肉类克 其它克 为了膳食平衡，建议在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过克，学生午餐肉类摄入总量不超过克，那么该校在一周里可以选择，套餐各几天？写出所有的方案说明：一周按5天计算 24．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 25．已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（    ） ①当时，与相等；    ②是原方程组的解； ③无论为何值时，；    ④若，，则的最大值为11； A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④ 26．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于、的方程组（为常数），给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论取何值，的值始终为4；③方程组有且仅有三个正整数解；④的最大值为2．以上结论正确的是________． 27．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 28．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 29．材料一：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：， ， ， 材料二：对于实数，我们定义一种新运算 （其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中，叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数． (1) ______；若 ，则 ______； (2)已知 ，请求出实数的取值范围； (3)已知 ， ， 求，的值； 若正格线性数 满足 ，求：满足条件的的值． 30．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 31．已知是关于 x，y 的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）； (2)若 x - 3y = 10，求 a 的值； (3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围． 32．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）【阅读材料】如图钢架中，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要多少根？ （1）请将下列解答过程补充完整： 答案：∵， ∴ °， 又， ∴， 同理可得，， °， ∴， ∴这样的钢架至多需要 根． 【学以致用】是一个钢架，焊上等长的钢条来加固钢架， （2）如图1，若，求的度数． （3）若这样的钢条最多只能放6根，求的取值范围？ 33．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）问题与探索 【探索发现】 (1)已知，满足 ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． 小明：先解方程组，求出，的值，再代入，计算求值． 小红：将，得= ． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？没有解决方案的小明询问了智能机器人．请根据智能机器人的提示，先求，的值，再求的值． 设，其中，为常数 【解决问题】 (2)若，满足，为常数且，则的取值范围是 ． 34．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 35．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 36．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：“大运河杯”赛事餐营养配比探究 【活动背景】 2026年清江浦区第二届“大运河杯”青少年足球赛开赛，某中学为参赛运动员定制营养赛事餐，营养师给出三类食材的蛋白质占比：高纤蔬菜蛋白质占比，纯瘦牛肉蛋白质占比，低脂纯牛奶蛋白质占比． 【活动任务】 结合二元一次方程组、一元一次不等式组，探究赛事餐的营养配比与选择方案． (1)【探究1：基础营养计算】 若某份试做早餐搭配50克高纤蔬菜、100克纯瘦牛肉、150克低脂纯牛奶，该份早餐的总蛋白质含量为 克； (2)【探究2：标准餐配比建模】 标准赛前早餐总质量为300克，其中固定搭配100克高纤蔬菜，经检测这份标准餐总蛋白质含量为26克．求这份标准早餐中纯瘦牛肉和低脂纯牛奶的质量分别为多少克？ (3)【探究3：集训套餐方案设计】 集训共7天，组委会提供A、B两款午餐套餐（配给如下表），要求：①一周内A、B两款套餐均需选择；②一周主食总摄入量不超过1500克；③一周肉类总摄入量不超过700克．请写出所有符合要求的午餐选择方案． 套餐类型 主食（克） 肉类（克） 蔬菜（克） A套餐 B套餐 37．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计36万元；若单次购买型汽车超过15辆，每辆车的进价打九五折；若单次购买型汽车超过15辆，每辆汽车的进价优惠万元．当购买型和型汽车各20辆时，共需694万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过275万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10万元，该公司有几种购进方案？ (3)为打开型汽车的销路，该公司决定每辆型汽车降价万元，型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为__________． 38．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，，直线上有，两点，直线上有，两点，且． (1)求证：； (2)在直线，之间有一点，连接，，满足． ①当时，求的度数； ②如图2，当点在右侧，连接，，的值也是，若，则的取值范围为__________．（直接填写结果） 39．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）在直角坐标系中，已知点，，，且是的立方根；其中，满足；为不等式组的最大整数解． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图，若为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，问是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图，若将线段向上平移个单位长度，点为轴上一点，点在过点且垂直于轴的第一象限内一动点，且纵坐标为，连接，，，若的面积等于由，，，四条线段围成图形的面积，求点的坐标（用含的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一元一次不等式组的有关题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 自定义背景下的一元一次不等式组问题 题型2 已知不等式组的解求参数 题型3 一元一次不等式组与方程（组）的综合问题 题型4 用一元一次不等式组解决行程问题 题型5 一元一次不等式与几何的综合问题 题型6 用一元一次不等式组解决营销、方案问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 分别求解不等式组中的每个不等式，化为 x>a、x≥a、x<a、x≤a 的形式；在同一数轴上画出各解集，取公共部分即为不等式组的解集；若公共部分不存在，则不等式组无解。含参问题常用“端点分析法”：先用参数表示解集端点，再根据“有解”“无解”“整数解个数”等条件列关于参数的不等式（组），注意端点是否取等。应用题要抓住“至少、至多、不超过、不少于”等关键词，设未知数、列不等式组、求公共解集，并结合实际意义取整数解或最值。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 自定义背景下的一元一次不等式组问题 题型模版 1.特征：以“新定义”“实际背景”包装的不等式组，需先理解定义再转化为常规不等式组求解。 2.方法：紧扣定义翻译条件；分别求各不等式解集；借助数轴确定公共解集；验证边界是否满足新定义。 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)解：不等式组对于不等式组绝对包含，理由： 解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：；；， (1)_____；_____； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)的取值范围为 (3)的值为． 【分析】本题主要考查新定义，不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义列出关于的不等式组，解之可得； （3）分情况讨论，分别列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； ，， ； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，即； 当时，，即； 又∵， ∴， 当时，， 当时，； 当时，，， ∴， 解得，满足； 当时，，， ∴， 解得，不满足，舍去； ∴的值为． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是， 理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【详解】（1）解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： ◆题型2 已知不等式组的解求参数 题型模版 1.特征：已知不等式组的解集、整数解个数或有解/无解，反求参数取值范围。 2.方法：先解含参不等式组，用参数表示解集端点；根据题目对解集的限制列关于参数的不等式（组）；注意端点是否取等及参数是否使原不等式组有意义。 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知为整数，关于的不等式组的解集中恰好有5个整数，则的值是________． 【答案】 【分析】先求解不等式组得到含的解集，再根据恰好有5个整数解的条件确定的范围，从而求出整数的值． 【详解】解：解不等式组， 由得 ， 由得 ， 因此不等式组的解集为 ， ∵解集中恰好有5个整数，设最小的整数解为整数，则5个整数为， 可得不等式组 ， 整理②得， ∵是整数， ∴， 将代入①得 ， 由③得 ， ∴， 由④得 ， ∴， ∴， ∵是整数， ∴， 则， 验证：当时，解集为，整数解为共5个，符合要求． 所以． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 【答案】20 【分析】设，整理得，由a，b为正整数，得且，即，故．代入到中进行计算，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，设（为正整数）， ∴ ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴最小值为1，最大值为19， ∴两者之和为． 【点睛】本题以整数整除为背景，核心是将整除关系转化为含参数的分式，通过正整数约束确定的取值范围，再列举计算的最值，体现了数论问题中“代数转化参数列举”的典型思路． 7．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 【答案】 ①④ 【分析】先解不等式组得到解集为 ，再逐个验证四个命题即可. 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， ① 当时，代入得 ，解集为，故命题①正确； ② 当时，，， 则不等式解集为， ∴整数解为，共个，不是个，故命题②错误； ③ 不等式组有解，则，解得，不是，故命题③错误； ④  ∵不等式组恰有个整数解，为整数， ∴是整数， 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，则整数解个数不足， 当时，，则整数解个数超过， ∴满足条件的整数最小值为，最大值为，差为，命题④正确， 综上，真命题的序号是①④. ◆题型3 一元一次不等式组与方程（组）的综合问题 题型模版 1.特征：方程（组）的解需满足不等式条件，或不等式组的解影响方程解。 2.方法：先解方程（组），用参数表示解；代入不等式组得到关于参数的不等式；求解并注意整数解、正解等特殊要求。 9．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知关于、的方程组的解都为正数，且满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组，用表示和，根据都是正数得到的取值范围，再结合得到，代入的范围即可求出的取值范围。 【详解】解：解方程组 给第一个方程两边乘得 ， 用第二个方程减去该式得： ， 即 ， 将代入第二个方程， 解得 ， ∵方程组的解都为正数， ∴， 解得 ， ∵， ∴， 代入的范围得 ， 不等式两边同时减得 . 10．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先由不等式组无解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解为非负整数，求解且，再逐一确定的值，从而可得答案． 【详解】解： 由①得：， ∴， 由②得：， ∴， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这一隐含条件． 11．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解方程组得， ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得， ∵，即， ∴ ， 则， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 【详解】解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． ◆题型4 用一元一次不等式组解决行程问题 题型模版 1.特征：以路程、速度、时间关系为背景，通过“不少于”“不超过”“恰好”等关键词建立不等式组。 2.方法：理清运动过程，设未知数；根据限制条件列不等式；结合实际问题意义取解集。 13．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【答案】(1)弯道直径约为米 (2)第2道的起跑线应比第1道前移米 (3)米/秒米/秒 【分析】（1）先设弯道直径为米，则直道为米，再根据题意列出方程，最后解方程即可； （2）先设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米，再根据相邻跑道弯道部分的长度差，进行计算即可； （3）根据追及问题的时间关系，结合接力区的限制条件，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设弯道直径为米，则直道为米， 由题意得，， 解得，． 结果保留整数， ． 答：弯道直径约为米． （2）解：设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米， 第2道比第1道多跑的距离为：（米） 答：第2道的起跑线应比第1道前移米． （3）解：设乙的恒定速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 乙加速跑10米所用的时间为：（秒）， 设乙追上甲时，乙在匀速阶段跑了米， 则乙的总路程为米，总时间为（秒）， 甲的总路程为米，总时间为（秒）， 根据时间相等，得， 整理得，， ． 要保证在传接棒区（米至米）内完成交接， ， 解得，． 答：乙的恒定速度的取值范围是米/秒米/秒． 15．（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 16．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． ◆题型5 一元一次不等式与几何的综合问题 题型模版 1.特征：将线段长度、角度大小、面积范围等几何条件转化为一元一次不等式组。 2.方法：用几何关系表示相关量；根据“大于”“小于”“介于”等条件列不等式；求公共解集后回归几何意义。 17．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在中，，，、均是的外角，射线从射线出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，交射线于点．设射线的旋转时间为秒． (1)用含的代数式表示；当点与点重合时，_____． (2)当点在点右侧时，的取值范围是_________________． (3)如图②，、的角平分线交于点，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③，的角平分线交的反向延长线于点，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的倍时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； (4)t的值为或 【分析】（1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的，列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ， 解得， （3）略 （4）解：∵， ∴， 又∵和是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，． 18．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）某工厂要制作一款长方体木箱，木箱的长，宽，高分别为厘米，厘米和厘米．制作时，需要用三种规格的长方形木板裁剪出箱底，箱盖和四个侧面，裁剪方式如下：甲型木板可裁出个箱底和个长侧面，乙型木板可裁出个长侧面和个短侧面，丙型木板可裁出个箱盖和个短侧面． 已知制作一个木箱需要个箱底，个箱盖，个长侧面和个短侧面． (1)若时，求： ①乙和丙这两块木板的面积分别是多少？ ②仅用甲和乙木板恰好能生产个上述木箱，需要甲和乙两型木板各多少块？ (2)若a≠10时，现有甲，乙，丙三种木板共块，恰好用这块木板制作了个完整的有盖木箱（允许有剩余的箱盖和箱底，但长侧面和短侧面刚好用完），则甲，乙，丙三型木板各用了多少块？及求的值． 【答案】(1)①乙木板的面积为，丙木板的面积为；②需要甲型木板块，乙型木板块 (2)共有两组符合条件的结果：甲块、乙块、丙块，的值为；甲块、乙块、丙块，的值为 【分析】（1）当时，长侧面尺寸为，短侧面尺寸为，箱盖/箱底尺寸为，此时木箱的长侧面与箱盖/箱底形状相同且大小相同，两个短侧面是正方形， ①根据长方形的面积公式计算即可； ②设需要甲型木板块，乙型木板块，根据“此时木箱的长侧面与箱盖/箱底形状相同且大小相同，两个短侧面是正方形”列出关于、的二元一次方程组求解即可； （2）设甲型木板用了块，乙型木板用了块，丙型木板用了块，且，，，为正整数，得：，推出，，，进一步推出为正偶数，根据允许有剩余的箱盖和箱底，可得，确定（为正偶数），即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知：长侧面尺寸为，短侧面尺寸为，箱盖/箱底尺寸为， 当时，长侧面尺寸为，短侧面尺寸为，箱盖/箱底尺寸为， 此时木箱的长侧面与箱盖/箱底形状相同且大小相同，两个短侧面是正方形， ①∵乙型木板由个长侧面和个短侧面拼接而成，总长为：，宽为：， ∴乙型木板面积为：； ∵丙型木板由个箱盖和个短侧面拼接而成，总长为：，宽为：， ∴丙型木板面积为：； ②设需要甲型木板块，乙型木板块， 依题意，得：， 解得， 答：需要甲型木板块，乙型木板块； （2）解：设甲型木板用了块，乙型木板用了块，丙型木板用了块，且，，，为正整数， 依题意，得：， ②－③，得：， 把代入①，得：， 把代入②，得：， ∴， ∵为正整数， ∴为正偶数， ∴为正偶数， ∵允许有剩余的箱盖和箱底，但制作个木箱至少需要个箱底和个箱盖， ∴， ∴， 解得：（为正偶数）， ∴或， 当时，，，， 当时，，，， 综上所述，共有两组符合条件的结果：甲块、乙块、丙块，的值为；甲块、乙块、丙块，的值为． 19．（25-26七年级下·北京顺义·期末）对于数轴上的长度为a的线段（点M在点N的左侧）和点P给出如下定义：若，线段向左平移个单位长度，得到线段（点，分别是M，N的对应点）；若，线段向右平移个单位长度，得到线段（点，分别是M，N的对应点）．若点P在线段上，则称点P为线段的“b关联点” (1)如图，数轴上的M，N两点表示的数分别为0，1． ①若平移长度，数轴上的点，，表示的数分别为，，，在点，，中，线段的“b关联点”是________； ②数轴上点表示的数为，且点是线段的“b关联点”，则b的取值范围是________． (2)数轴上的点M，N，G，H表示的数分别为0，，，．点P是线段的“b关联点”，将点P向右平移个单位长度得到点Q．若线段上存在线段的“b关联点”，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）先根据线段长度判断平移方向，左移、右移且满足，①左移得，筛选落在上的点；②由落在到，解不等式可得b的范围； （2）右移得P的取值区间，推出，右移b个单位长度后得到所有可能的关联点范围，令该范围与有重合部分，联立不等式结合可求出最终范围． 【详解】（1）解：M，N分别为0，1， ， ①由题意得向左平移个单位， ，分别为，， ，不在到范围内， ，是端点，在线段上， ，是端点，在线段上， 线段的“b关联点”是，； ②由题得，的范围是到， 点是线段的“关联点”， 点在线段上， ， 由，得， 由，得， b的取值范围是； （2）解：由题得，的范围是到， 点P是线段的“b关联点”， 点在线段上， ， 点P向右平移个单位长度得到点Q， ， ， 的“b关联点”是向右平移个单位后线段上的点且， 的范围是到， 所有可能的的“b关联点”覆盖的总范围是到， G，H分别为，， 要让上存在的“b关联点”，则到必须和到有重合的部分， ，解得， 综上所述，b的取值范围是． 20．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）综合实践 【问题背景】潜望镜是潜水艇中用来从水下观察水面上事物的一种仪器，它通过两个平行的平面镜反射来实现观察，如图1，，根据光的反射原理，可以得到，． 【理解原理】 (1)如图1，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． ∴（     ）， ∵，， ∴（__________________）． ． 即__________________ （     ） 【尝试探究】 (2)改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图2，，入射光线经两次反射后，反射光线与平行，但方向相反，求； (3)如图3，若，，入射光线与反射光线的夹角，若三角形为锐角三角形，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；等量代换，；内错角相等，两直线平行； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质完成证明即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论； （3）先求出，根据三角形为锐角三角形列不等式组计算求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 由图可得，， ， ， 同理可得，， ， ∵三角形为锐角三角形， ，， 即． 解得． ◆题型6 用一元一次不等式组解决营销、方案问题 题型模版 1.特征：以成本、利润、单价、数量等经济量为背景，涉及方案选择与最优化。 2.方法：明确各量关系及约束；列不等式组求可行范围；结合整数、最值等要求确定最优方案。 21．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 22．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3) 有3种方案，理由： 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）略 23．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某营养餐公司为学生提供的克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为克，蛋白质含量占，谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示： 谷物食品 牛奶 项目 每克 项目 每克 能量 千焦 能量 千焦 蛋白质 克 蛋白质 克 脂肪 克 脂肪 克 碳水化合物 克 碳水化合物 克 钠 毫克 钠 毫克 (1)设该份早餐中谷物食品为克，牛奶为克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克用含有，的式子表示 (2)求出（1）中，的值． (3)该公司为学校提供的午餐有，两种套餐每天只提供一种： 套餐 主食克 肉类克 其它克 为了膳食平衡，建议在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过克，学生午餐肉类摄入总量不超过克，那么该校在一周里可以选择，套餐各几天？写出所有的方案说明：一周按5天计算 【答案】(1)， (2)的值为，的值为 (3)方案：选择套餐天，套餐天；方案：选择套餐天，套餐天 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是根据数量之间的关系列出方程组和不等式组． (1)根据统计表中不同食物中蛋白质的含量列出代数式； (2)根据早餐的总重量和蛋白质的含量列二元一次方程组求解； (3)设该校在一周里可以选择套餐天，则选择套装天，学生午餐主食摄入总量不超过克，学生午餐肉类摄入总量不超过克，列不等式组求出的取值范围，根据取值范围确定方案． 【详解】（1）解：由统计表可知，克谷物中含克蛋白质， 谷物中的蛋白质含量为， 克谷物中的蛋白质含量是克， 由统计表可知，克牛奶中含克蛋白质， 牛奶中的蛋白质含量为， 克牛奶中的蛋白质含量是克； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：的值为，的值为； （3）解：设该校在一周里可以选择套餐天，则选择套餐天， 根据题意得：， 解得：， ，均为非负整数， 可以为，， 该校在一周里共有种选择方案： 方案：选择套餐天，套餐天； 方案：选择套餐天，套餐天． 24．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个，②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个，其中方案②雪花总数最多，为89个． 【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被16整除，得出、，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个， 根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 把代入并解得：， ∵是整数， 所以m必须能被16整除， ∴，， 对应的采购方案为: ①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个， ②长管购买267个，赠89短管，购买短管2026个， 其中方案②雪花总数最多，为89个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（    ） ①当时，与相等；    ②是原方程组的解； ③无论为何值时，；    ④若，，则的最大值为11； A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【分析】①当时，则有即可求解；②当，取不同值时解不同，即可求解；③解此方程组得，即可求解；④可求，由，可求，进而可求解． 【详解】解：①当时，则有 ， 解得：， 故①错误； ②当，取不同值时解不同； 故②错误； ③解此方程组得， 所以， 故③正确； ④ ， 因为， 所以， 解得：， 因为， 所以， 所以， 所以的最大值为， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式组等，掌握方程组及不等式组的解法是解题的关键． 26．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于、的方程组（为常数），给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论取何值，的值始终为4；③方程组有且仅有三个正整数解；④的最大值为2．以上结论正确的是________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解法，配方法求二次式的最值.先解方程组得到，关于的表达式，再逐一判断四个结论即可． 【详解】解：解方程组，得， ①当时，代入得，， 将，代入，得，满足方程，故①正确； ②， 故不论取何值，的值恒为，故②正确； ③若方程组的解为正整数解，则，均为正整数，即， 解得， 要使，均为正整数，则必为整数， 仅满足条件，对应唯一正整数解，故③错误； ④， ， ，即， 故的最大值为，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 27．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）若关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和是（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解的条件得出的范围；再解分式方程，结合解为非负数且分母不为零的条件进一步确定的范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式组，得 ∵不等式组无解， ∴， ， 解分式方程，得， ∴且， 且， 且， ，，，，． ． 故选：A． 28．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算规则化简不等式组，求解得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解：，， 原不等式组化为：， 不等式组的解集为． 不等式组有且只有2个整数解，大于的最小两个连续整数为， ， 解不等式组得． 29．材料一：对于实数，用表示不超过实数的最大整数，即满足条件，例如：， ， ， 材料二：对于实数，我们定义一种新运算 （其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为其中，叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数． (1) ______；若 ，则 ______； (2)已知 ，请求出实数的取值范围； (3)已知 ， ， 求，的值； 若正格线性数 满足 ，求：满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；的值为或或 【分析】（1）根据所给定义求解即可； （2）根据题意可得，解不等式组即可得到答案； （3）①可求出，，则可得到方程组，解方程组即可得到答案；②根据正格线性数的定义可得都是正整数，则可求出，且a是整数；根据得到，解不等式组确定a的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解不等式得， 解不等式得， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵是正格线性数， ∴都是正整数， ∴， 解得，且a是整数； ∵， ∴， ∴， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， 综上所述，，且a是整数， ∴a的值为4或5或6． 30．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 【答案】(1)，2 (2)或或； (3)a的取值范围是． 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有，2； 故答案为：，2； （2）解：， 得：， 得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或， 或，解得或， ∴或或； （3）解：解得： ， ∵解集中恰好有3个解是连动整数， ∴四个连动整数解为，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， 31．已知是关于 x，y 的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）； (2)若 x - 3y = 10，求 a 的值； (3)若 x，y 之间（不含 x，y）有且只有一个整数，求 a 的取值范围． 【答案】(1)； (2)a=-2； (3)-≤a≤且a≠0． 【分析】（1）①+②得到x+y=6③，①-③求得x，②-③求得y； （2）将方程组的解代入，可求a的值； （3）分a＞0和a＜0两种情况，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②得：3x+3y=18， ∴x+y=6③， ①-③得：x=3-2a， ②-③得：y=3+2a， ∴方程组的解为； （2）解：∵x-3y=10， ∴3-2a-3（3+2a）=10， ∴a=-2； （3）解：①当a＞0时，x=3-2a＜3，y=3+2a＞3， ∴， ∴0＜a≤； ②当a＜0时，x=3-2a＞3，y=3+2a＜3， ∴， ∴-≤a＜0； 综上，-≤a≤且a≠0． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键． 32．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）【阅读材料】如图钢架中，焊上等长的钢条来加固钢架，若，问这样的钢条至多需要多少根？ （1）请将下列解答过程补充完整： 答案：∵， ∴ °， 又， ∴， 同理可得，， °， ∴， ∴这样的钢架至多需要 根． 【学以致用】是一个钢架，焊上等长的钢条来加固钢架， （2）如图1，若，求的度数． （3）若这样的钢条最多只能放6根，求的取值范围？ 【答案】（1）20，80，4    （2）   （3） 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及解一元一次不等式组，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角以及三角形外角性质填空即可； （2），设，然后连续使用三角形的外角性质以及等边对等角，最后得到，即可求解； （3）根据等边对等角以及三角形的外角性质得到，那么要使得这样的钢条只能焊上6根，则，由题意得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， 同理可得，， ， ∴， ∴这样的钢架至多需要4根， 故答案为：20，80，4； （2）解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图： ∵，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ∵要使得这样的钢条只能焊上6根， ∴，   由题意得 解得：． 33．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）问题与探索 【探索发现】 (1)已知，满足 ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． 小明：先解方程组，求出，的值，再代入，计算求值． 小红：将，得= ． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？没有解决方案的小明询问了智能机器人．请根据智能机器人的提示，先求，的值，再求的值． 设，其中，为常数 【解决问题】 (2)若，满足，为常数且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②；； (2) 【分析】（1）①根据题意进行计算即可求解； ②根据 ，得出，进而计算的值，即可求解； （2）设 ，求得，可得，根据，进而求得的范围． 【详解】（1）解：①将，得：； ②小红的解法不是巧合，能求的值． ． ∴ 解得：； ∴ （2）设 则 ∴ 解得：； ∴ ∵， ∴ ， ，即 ． 34．如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间 （秒）的变化情况如图②所示，例如当 时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计） 请根据上述信息，解决下列问题： (1)甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即 ）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由； (2)乙驾驶汽车在道路上以速度 （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即 ）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度 的取值范围； (3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度 （米/秒），使得该车在 秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即 ）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出 的取值范围；若不存在，请说明理由． （说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．） 【答案】(1)能不停车通过B路口，理由如下： 甲到达B路口的时间是（秒）， 由图②可知，路口B处于绿灯状态， ∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口； (2) (3)或 【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可； （2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可； （3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s， ∴． ∵要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口， ∴，且， 解得 且 ， ∴满足条件的行驶速度v的取值范围为； （3）解：当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得 ； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 当汽车在0秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； 当汽车在20秒时经过A路口，且在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，则 ，解得； ∴汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，速度v应满足． 综上所述，v的取值范围为或． 35．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 36．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：“大运河杯”赛事餐营养配比探究 【活动背景】 2026年清江浦区第二届“大运河杯”青少年足球赛开赛，某中学为参赛运动员定制营养赛事餐，营养师给出三类食材的蛋白质占比：高纤蔬菜蛋白质占比，纯瘦牛肉蛋白质占比，低脂纯牛奶蛋白质占比． 【活动任务】 结合二元一次方程组、一元一次不等式组，探究赛事餐的营养配比与选择方案． (1)【探究1：基础营养计算】 若某份试做早餐搭配50克高纤蔬菜、100克纯瘦牛肉、150克低脂纯牛奶，该份早餐的总蛋白质含量为 克； (2)【探究2：标准餐配比建模】 标准赛前早餐总质量为300克，其中固定搭配100克高纤蔬菜，经检测这份标准餐总蛋白质含量为26克．求这份标准早餐中纯瘦牛肉和低脂纯牛奶的质量分别为多少克？ (3)【探究3：集训套餐方案设计】 集训共7天，组委会提供A、B两款午餐套餐（配给如下表），要求：①一周内A、B两款套餐均需选择；②一周主食总摄入量不超过1500克；③一周肉类总摄入量不超过700克．请写出所有符合要求的午餐选择方案． 套餐类型 主食（克） 肉类（克） 蔬菜（克） A套餐 B套餐 【答案】(1) (2)纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克 (3)方案一：A套餐4天，B套餐3天；方案二：A套餐5天，B套餐2天 【分析】（1）根据题意，分别求得早餐中的蛋白质含量，相加即可求解． （2）设纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克，根据题意建立方程组，解方程，即可求解； （3）设选择A套餐天，则B套餐天，依题意，列出不等式组，根据为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：（克） （2）解：设纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克，根据题意建立方程组： 解得： 答：纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克 （3）解：设选择A套餐天，则B套餐天，依题意， 且为正整数， 解得： 又∵为正整数， ∴ ∴符合要求的午餐选择方案为： 方案一：A套餐4天，B套餐3天；方案二：A套餐5天，B套餐2天 37．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计36万元；若单次购买型汽车超过15辆，每辆车的进价打九五折；若单次购买型汽车超过15辆，每辆汽车的进价优惠万元．当购买型和型汽车各20辆时，共需694万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过275万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10万元，该公司有几种购进方案？ (3)为打开型汽车的销路，该公司决定每辆型汽车降价万元，型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为__________． 【答案】(1)该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价为16万元，1辆B型汽车的进价为20万元 (2)该公司有5种购进方案：购进型汽车7辆，B型汽车8辆；购进型汽车8辆，B型汽车7辆；购进型汽车9辆，B型汽车6辆；购进型汽车10辆，B型汽车5辆；购进型汽车11辆，B型汽车4辆 (3) 【分析】（1）设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价为x万元，1辆B型汽车的进价为y万元，根据1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计36万元，购买型和型汽车各20辆，共需694万元建立方程组求解即可； （2）设购进型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据购进费用不超过275万元和利润不低于10万元建立不等式组求解即可； （3）设总获利为W万元，用含a、m的代数式表示出W，根据（2）中所有方案获利相同可得W的值与m的值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价为x万元，1辆B型汽车的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价为16万元，1辆B型汽车的进价为20万元； （2）解：设购进型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：该公司有5种购进方案：购进型汽车7辆，B型汽车8辆；购进型汽车8辆，B型汽车7辆；购进型汽车9辆，B型汽车6辆；购进型汽车10辆，B型汽车5辆；购进型汽车11辆，B型汽车4辆； （3）解：设总获利为W万元， 由题意得，， ∵要使（2）中所有方案获利相同， ∴W的值与m的值无关， ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，，直线上有，两点，直线上有，两点，且． (1)求证：； (2)在直线，之间有一点，连接，，满足． ①当时，求的度数； ②如图2，当点在右侧，连接，，的值也是，若，则的取值范围为__________．（直接填写结果） 【答案】(1)证明：∵ ， ， 又， ， (2)①；②． 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①根据平行线的性质以及角平分线的定义即可求解； ②设,,通过比例关系即可用来构造，，进而根据不等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①当时， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∴ ②解：由（1）可知, 设,, ∵, ∴ ∵，． ∴,, ∴,, ∴, ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：． 39．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）在直角坐标系中，已知点，，，且是的立方根；其中，满足；为不等式组的最大整数解． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图，若为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，问是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图，若将线段向上平移个单位长度，点为轴上一点，点在过点且垂直于轴的第一象限内一动点，且纵坐标为，连接，，，若的面积等于由，，，四条线段围成图形的面积，求点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】(1)，， (2)存在，点 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据立方根可得，再根据非负数的性质可得，然后利用不等式组的整数解可得，从而确定三点的坐标； （2）如图，连接交轴于点，易得，进而得到；如图：过点作于点，即．设点，．易得，再根据求得，易得，从而确定点D的坐标； （3）如图，延长交轴于点，连接，设点，先根据平移的性质以及坐标与图形可得，再利用列方程可求得，即点，易得四边形的面积为；设点的横坐标为，，则，再分点在点右侧和左侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵为不等式组的最大整数解， ∴的最大整数解，即， ∴． （2）解：如图，连接交轴于点，； ，则； ； 如图：过点作于点， ， ． 设点，． ，解得， ∴点． ， ． 解得：． ∴， ∴点． （3）解：如图，延长交轴于点，连接，设点， ∵线段向上平移个单位长度， ∴点，点， ∵点， ， ， ，解得， ∴点， ∴四边形的面积， 设点的横坐标为，， ， 当点在点右侧时，，解得：， 当点在点左侧时，，解得， ∴点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $