第3章一元一次不等式全章7大综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，聚焦含参讨论、跨知识综合等核心问题，通过题型模版实现方法迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1个核心框架|提炼不等式性质应用、数轴分析法、参数分类讨论等5大解题策略|从解法原理到综合应用，构建“性质-解法-应用”逻辑链| |7大题型|每题型1典例+3-7变式|针对含参讨论、方程不等式综合等题型建立“特征识别-方法选择-步骤规范”解题模型|按“基础计算-参数推理-实际应用”梯度编排，强化知识间横向联系| |压轴挑战|15道综合题|融合新定义、几何背景等复杂情境，训练符号意识与模型观念|通过多知识点交叉渗透，提升问题转化与逻辑推理能力|

第3章 一元一次不等式（7大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、含有字母参数的不等式组解集讨论问题 题型2、由不等式（组）的解集求字母参数范围 题型3、方程与不等式的综合问题 题型4、方程（组）与不等式的综合 题型5、几何背景下不等式（组）问题 题型6、自定义背景下的不等式问题 题型7、一元一次不等式的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次不等式（组）的核心是解法、解集表示和含参讨论。解题时要熟练掌握不等式的基本性质（尤其两边乘除负数时不等号方向改变）；解不等式组要分别求解每个不等式，再借助数轴找公共部分；含字母参数时要根据参数取值分类讨论解集情况；方程与不等式综合题要善于用方程消元，再代入不等式求参数范围；几何背景下要结合三角形三边关系、角度关系等建立不等式；应用题要找准不等关系关键词（至少、至多、不超过、不少于等），注意实际意义对解集的限制。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、含有字母参数的不等式组解集讨论问题 题型模版 题型特征：不等式组中含有字母参数，要求根据参数取值讨论解集情况。 解题方法：分别解出每个不等式；在数轴上表示解集；根据参数与常数的大小关系分类讨论公共解集。 典例1关于x的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④ D．①③④ 变式1-1已知关于的不等式组，下面是某数学学习小组给出的结论：①当时，此不等式组无解；②若不等式组的解集是，则；③若此不等式组有整数解，则；④若不等式组的整数解只有，，，则．其中结论正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 变式1-2关于的不等式组，下列四个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则；其中正确的结论是__________． 变式1-3【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 题型2、由不等式（组）的解集求字母参数范围 题型模版 题型特征：已知不等式（组）的解集，反求字母参数的取值范围。 解题方法：先解出含参不等式（组）；与已知解集对比端点；注意端点是否能取等号，常借助数轴分析。 典例2如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2-1已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 变式2-2对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式2-3已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是_________． 题型3、方程与不等式的综合问题 题型模版 题型特征：方程的解满足某个不等关系，求参数范围。 解题方法：用参数表示方程的解；把解代入不等式；解关于参数的不等式，注意参数取值范围。 典例3如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（） A． B． C． D． 变式3-1若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的最大值与最小值的差是（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 变式3-2若关于x的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数a有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 变式3-3关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为______． 题型4、方程（组）与不等式的综合 题型模版 题型特征：方程组的解满足不等式，或不等式组的解满足方程条件。 解题方法：解方程组用参数表示解；代入不等式得到关于参数的不等式；求解并检验。 典例4已知关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 变式4-1若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 变式4-2若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为__________． 变式4-3阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 题型5、几何背景下不等式（组）问题 题型模版 题型特征：在三角形、四边形等几何图形中建立不等关系。 解题方法：利用三角形三边关系、角度关系、边长为正等建立不等式；结合图形性质化简求解。 典例5如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则________． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为________． 变式5-1如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    变式5-2如图1，已知纸片A是边长为的正方形，纸片B是相邻两边长分别为、的长方形，且纸片A、B的周长相等． (1)当时． ①若，则的取值范围为__________； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、，若纸片的面积比纸片的面积小，求、的面积之和； (2)如图3，将纸片、叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①__________（用含、的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有4个正整数解，则的取值范围是__________． 变式5-3甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型6、自定义背景下的不等式问题 题型模版 题型特征：定义新运算、新规则，要求按定义列出并解不等式。 解题方法：理解新定义，把新运算转化为一元一次不等式；注意不等号方向和取值范围。 典例6定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 变式6-1请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 变式6-2定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：， (1)填空：______． (2)若，则的取值范围为______． (3)利用以上新运算化简： (4)已知，求的取值范围． 变式6-3如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是　 　 （填写正确结论的序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围． 题型7、一元一次不等式的应用 题型模版 题型特征：用一元一次不等式解决实际问题（方案选择、最多最少、范围限制等）。 解题方法：找出不等关系关键词；设未知数，列不等式；求解后结合实际意义取整数或范围。 典例7三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100元． (1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？ (2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表． Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） 甲店 15 20 乙店 12 16 设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑． ①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？ ②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 　　箱水果．（直接写出答案） 变式7-1一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 变式7-2有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． (1)求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） (3)若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 变式7-3根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．    素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 变式7-4综合与实践：“大运河杯”赛事餐营养配比探究 【活动背景】 2026年清江浦区第二届“大运河杯”青少年足球赛开赛，某中学为参赛运动员定制营养赛事餐，营养师给出三类食材的蛋白质占比：高纤蔬菜蛋白质占比，纯瘦牛肉蛋白质占比，低脂纯牛奶蛋白质占比． 【活动任务】 结合二元一次方程组、一元一次不等式组，探究赛事餐的营养配比与选择方案． (1)【探究1：基础营养计算】 若某份试做早餐搭配50克高纤蔬菜、100克纯瘦牛肉、150克低脂纯牛奶，该份早餐的总蛋白质含量为 克； (2)【探究2：标准餐配比建模】 标准赛前早餐总质量为300克，其中固定搭配100克高纤蔬菜，经检测这份标准餐总蛋白质含量为26克．求这份标准早餐中纯瘦牛肉和低脂纯牛奶的质量分别为多少克？ (3)【探究3：集训套餐方案设计】 集训共7天，组委会提供A、B两款午餐套餐（配给如下表），要求：①一周内A、B两款套餐均需选择；②一周主食总摄入量不超过1500克；③一周肉类总摄入量不超过700克．请写出所有符合要求的午餐选择方案． 套餐类型 主食（克） 肉类（克） 蔬菜（克） A套餐 B套餐 变式7-5近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩分别需要多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？ (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 变式7-6武汉作为国家新能源汽车产业集群核心城市，正全力打造世界级新能源汽车产业高地．某车企为扩大新能源汽车动力电池产能，计划购进甲、乙两种自动化组装设备．已知购买台甲型、台乙型共需万元；购买台甲型、台乙型共需万元． (1)甲、乙两种自动化组装设备每台的价格分别是多少万元？ (2)已知每台甲型设备可组装电池日产量组，每台乙型设备可组装电池日产量组．若该车企计划用不超过万元购买两种设备，且甲型设备数量比乙型设备少台，为确保电池日产量不低于组，共有几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，随着市场行情变化，甲型设备每台降价万元，乙型每台涨价万元（其中），若最低费用为万元，求的值． 变式7-7阅读与思考 【问题情境】为了丰富学生的综合文化知识，培养学生的创新实践素养，提高学生的团队协作与临场应变能力，小明所在的班级计划开展“趣味挑战·智趣成长”主题知识竞赛活动，需到某商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 【素材展现】素材1：该商店在无促销活动期间，若买10个A款运动盲盒、15个B款运动盲盒，共需220元；若买20个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需400元． 素材2：该商店开展促销活动期间，有两种优惠方案，方案一：花费35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买A款运动盲盒打八折，购买B款运动盲盒打七五折（小明此前并非该商店会员）；方案二：不办理会员卡，购买A款运动盲盒打九折，购买B款运动盲盒打八五折． (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求A，B两款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个． ①若按方案一购买，共需要______元；若按方案二购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） ②请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量m至少为多少时，按方案一购买才更划算？ ③班长联系了小明又提出要求：购买A，B两款运动盲盒的总数量仍为40个，但A款盲盒的数量比B款盲盒的数量至少要多6个，且总预算不能超过325元．请你帮小明先选定更划算的方案，并在选定的方案下，列出m可取的所有整数值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 2.如果不等式组的整数解仅为2，3，4，那么适合这个不等式组的整数，各是哪些数？ 3.定义运算：（，为常数），已知，，若关于的不等式恰有2个负整数解，则的取值范围是________． 4.关于、、的三元一次方程组，给出了个结论： ①若，则方程组的解为； ②与满足的关系为； ③若，都为正数，则满足的条件是； ④代数式的值始终为定值； ⑤若，，都为非负数，的最大值与最小值的差为． 其中正确的是________． 5．已知关于的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则的取值范围是（） A． B． C． D． 5.关于的二元一次方程的部分解如表： … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … (1)这个二元一次方程为__________； (2)若关于的方程组的解为负数，求的取值范围； (3)当时，对于的每一个值，方程中的值记为，中的值记为，若，直接写出的取值范围． 7.【发现问题】：已知，求的值. 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值； 方法二：将，求出的值； 【提出问题】：怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】：为了得到方法二，可以将， 可得． 令等式左边， 比较系数可得，求得． 【解决问题】： (1)对于方程组，求的值；（参考方法一或二的思路也可以用自己的思路） (2)已知实数，满足，，当取最大值时，求的值． (3)定义为数集中最大的数，已知，若，记，求的最小值． 8.对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 9.已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 10.如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 11.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 12.对实数，，我们定义一种新运算：（其中，为非零常数）．例如：，．已知，． (1)________，________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 13.某餐厅打算在A、B两个平台根据点餐金额采用不同的优惠措施 在A平台实施方案如下： A平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 超过60元，但不超过160元 减15元 超过160元 减40元 在B平台实施方案如下： B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过50元的部分 无优惠 超过50元，但不超过210元的部分 打折 超过210元的部分 打折 (1)小华某次点餐金额为70元，如果选择A平台，则他的实际付款金额是______元；如果选择B平台，则他的实际付款金额是______元． (2)若小华点餐金额为n元（），那么小华在A和B平台上的实际付款金额分别是多少？（用含n的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元．其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低，设在A平台的点餐金额是x元，求两次实际付款金额共多少？（用含x的代数式表示） 14.根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 15.根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式（7大题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、含有字母参数的不等式组解集讨论问题 题型2、由不等式（组）的解集求字母参数范围 题型3、方程与不等式的综合问题 题型4、方程（组）与不等式的综合 题型5、几何背景下不等式（组）问题 题型6、自定义背景下的不等式问题 题型7、一元一次不等式的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次不等式（组）的核心是解法、解集表示和含参讨论。解题时要熟练掌握不等式的基本性质（尤其两边乘除负数时不等号方向改变）；解不等式组要分别求解每个不等式，再借助数轴找公共部分；含字母参数时要根据参数取值分类讨论解集情况；方程与不等式综合题要善于用方程消元，再代入不等式求参数范围；几何背景下要结合三角形三边关系、角度关系等建立不等式；应用题要找准不等关系关键词（至少、至多、不超过、不少于等），注意实际意义对解集的限制。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、含有字母参数的不等式组解集讨论问题 题型模版 题型特征：不等式组中含有字母参数，要求根据参数取值讨论解集情况。 解题方法：分别解出每个不等式；在数轴上表示解集；根据参数与常数的大小关系分类讨论公共解集。 典例1关于x的不等式组，下列五个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则； ⑤当时，不等式组有解． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】先将不等式组的解集用含参数的式子表示，再结合各结论的条件建立关于的等式或不等式求解判断． 【详解】解：不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ①若不等式的解集是， ， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故①正确； ②不等式组的解集中任意都在范围内， ， 解得：，与结论中不符， 故②错误； ③不等式组仅有5个整数解，且， 整数解为4，3，2，1，0， ， 解得：， 故③正确； ④不等式组无解， ， 解得：， 故④正确； ⑤当时，，此时不等式组解集为且，无解， 故⑤错误； 综上所述，正确的结论为①③④． 变式1-1已知关于的不等式组，下面是某数学学习小组给出的结论：①当时，此不等式组无解；②若不等式组的解集是，则；③若此不等式组有整数解，则；④若不等式组的整数解只有，，，则．其中结论正确的有（     ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解，再根据不等式组解集的判定规则，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式：得， 解不等式，得， 逐个判定结论： ①当时，与没有公共解集，因此不等式组无解，因此①说法正确； ②若不等式组解集为，则，因此②说法正确； ③若不等式组有整数解，则需满足，当时，不等式组无整数解，因此③说法错误； ④若不等式组的整数解只有，，，则的取值范围是，并不一定等于，因此④说法错误； 综上，正确的结论是①②． 变式1-2关于的不等式组，下列四个结论： ①若不等式的解集是，则不等式的解集是； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则的取值范围是； ③若不等式组仅有5个整数解，则； ④若不等式组无解，则；其中正确的结论是__________． 【答案】①④/④① 【分析】先化简原不等式组，根据不等式的解集是，求出，进而可判断①正确；根据不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，得出，可判断②错误；根据不等式组仅有5个整数解，得出，进而可判断③错误；根据不等式组无解，可得，进而可判断④正确． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ①若不等式的解集是，则， 解得， 将代入不等式得， 解得，故①正确； ②若不等式组的解集中任意一个的值都在的范围内，则， 解得，结论给出的错误，故②错误； ③若不等式组仅有个整数解，，则个整数解为， ∴， 解得，与结论给出的范围不符，故③错误； ④若不等式组无解，根据不等式组解集法则，可得， 解得，故④正确． 综上可知，正确的结论是①④． 变式1-3【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 【答案】(1)① ；；③； (2)； (3)8 【分析】（1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】（1）解：解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， ， 解题思想二：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． （2）解：∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； （3）解：∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， ． 题型2、由不等式（组）的解集求字母参数范围 题型模版 题型特征：已知不等式（组）的解集，反求字母参数的取值范围。 解题方法：先解出含参不等式（组）；与已知解集对比端点；注意端点是否能取等号，常借助数轴分析。 典例2如果关于的不等式组仅有四个整数解：，，，，那么满足这个不等式组的整数，组成的有序数对最多共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，再根据已知的四个整数解确定和的取值范围，找出范围内的整数，计算有序数对的个数即可． 【详解】解不等式组： 解不等式得；解不等式得； ∴不等式组的解集为 ∵不等式组仅有四个整数解，，，， ∴，， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，，共个， 解不等式，得， ∵是整数， ∴的取值为，，共个， ∴有序数对共有个． 变式2-1已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据已知条件求出a，b的值成为解题的关键． 先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值，进而确定的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解， ∴ ， ∵不等式组的整数解，有且仅有4个：， ∴必须满足，解得， ∵a、b为整数， ∴或或，或6， ∴整数对有、、、、、，共6个． 故选：D． 变式2-2对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算规则化简不等式组，求解得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解：，， 原不等式组化为：， 不等式组的解集为． 不等式组有且只有2个整数解，大于的最小两个连续整数为， ， 解不等式组得． 变式2-3已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据“只有1个负整数解”的条件确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有个负整数解， ∴原不等式组的负整数解为， ∴． 题型3、方程与不等式的综合问题 题型模版 题型特征：方程的解满足某个不等关系，求参数范围。 解题方法：用参数表示方程的解；把解代入不等式；解关于参数的不等式，注意参数取值范围。 典例3如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，再根据方程的解为整数找出符合条件的整数a，最后计算和即可． 【详解】解：∵不等式组有且只有三个整数解， ∴三个整数解为， 可得 不等式两边同乘5得 ， 解得， ∵方程有整数解， ∴为整数，即是3的倍数， 在的整数中，符合条件的为和 ∴符合条件的所有整数的和为． 变式3-1若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的最大值与最小值的差是（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为负整数筛选出所有符合条件的整数，最后计算最大值与最小值的差即可． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得； 解不等式②得， 不等式组的解集为． 不等式组有且只有个整数解，两个整数解为和， ， 解得， 解关于的方程得， 方程的解是负整数， 是的负约数，即，对应得， ∴符合条件的整数为和，最大值为，最小值为，差为． 变式3-2若关于x的方程的解为整数，且不等式组无解，则这样的非负整数a有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】先解分式方程，根据解为整数得到a的所有可能取值，再结合不等式组无解得到a的取值范围，最后筛选出符合条件的非负整数a并统计个数即可． 【详解】解：对分式方程，两边同乘（）， 去分母，得 ，整理得 ， 当时，方程左边为，右边为，方程无解，故， ∴ ， ∵ 方程的解为整数，且， ∴ 是的整数约数，即，解得， 解不等式组， 解第一个不等式得 ， ∵ 不等式组无解， ∴ ， 筛选符合条件的非负整数，得，共个． 变式3-3关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 题型4、方程（组）与不等式的综合 题型模版 题型特征：方程组的解满足不等式，或不等式组的解满足方程条件。 解题方法：解方程组用参数表示解；代入不等式得到关于参数的不等式；求解并检验。 典例4已知关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有正整数解确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和，得到正确选项． 【详解】解：解不等式， 去分母得， 整理得， ． 解不等式得． 不等式组的解集为， ． 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 整理得， 解得． 将代入，得． 方程组的解为正整数，且为整数， 是的正因数， 的正因数有． 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时均为正整数； 当时，，满足条件，此时均为正整数． 所有满足条件的整数的和为． 变式4-1若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，根据恰有3个整数解确定m的取值范围，再解方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数m，最后计算所有符合条件的m的和． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， ∴； 得，解得， 由④得， ∵原方程组有整数解， ∴只需要保证x为整数，即可保证原方程组有整数解， ∴是整数， 又∵m为整数， ∴或或， 解得（舍去）或或或（舍去）或（舍去）或， ∴所有符合条件的整数的和为． 变式4-2若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， ③+④得： ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，而为整数， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和． 变式4-3阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 题型5、几何背景下不等式（组）问题 题型模版 题型特征：在三角形、四边形等几何图形中建立不等关系。 解题方法：利用三角形三边关系、角度关系、边长为正等建立不等式；结合图形性质化简求解。 典例5如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则________． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为________． 【答案】 30 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、解不等式等知识点，画出图形发现当为锐角时，点D在的内部成为解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答； （2）先画图发现当为锐角时，点D在的内部；然后根据三角形内角和定理、角平分线的定义得到，再根据为锐角列不等式并结合实际意义即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． （2）如图：当为锐角时，点D在的内部，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴，解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 变式5-1如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是______．    【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 变式5-2如图1，已知纸片A是边长为的正方形，纸片B是相邻两边长分别为、的长方形，且纸片A、B的周长相等． (1)当时． ①若，则的取值范围为__________； ②如图2，以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、，若纸片的面积比纸片的面积小，求、的面积之和； (2)如图3，将纸片、叠合在一起，记阴影部分的周长为． ①__________（用含、的代数式表示）； ②若关于的不等式恰有4个正整数解，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①先根据纸片A、B的周长相等和，及的取值范围，列出关于的不等式组求解，求出的取值范围； ②先纸片的面积比纸片的面积小及，求出的值，再根据，求出，即为、的面积之和； （2）①先根据图形，用式子表示出阴影部分周长，再化简； ②先根据，，求出的范围，再根据“关于的不等式恰有4个正整数解”，列出关于的不等式组求解． 【详解】（1）解：①∵纸片A、B的周长相等，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵纸片的面积比纸片的面积小，， ∴， ∵， ∴， ∵以纸片的相邻两边为边长分别向外作正方形、， ∴、的面积之和为； （2）①阴影部分周长为 ， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∵关于的不等式恰有4个正整数解， ∴， 解得：， ∵纸片A是边长为的正方形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，求一元一次不等式的整数解，完全平方公式在几何图形中的应用，整式加减的应用，已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟悉上述知识，并能运用求解． 变式5-3甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在． 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 题型6、自定义背景下的不等式问题 题型模版 题型特征：定义新运算、新规则，要求按定义列出并解不等式。 解题方法：理解新定义，把新运算转化为一元一次不等式；注意不等号方向和取值范围。 典例6定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程的解直接代入各不等式验证，选出成立的序号即可； （2）先解方程组用含的式子表示，，再代入不等式组，解出的范围后取整数解； （3）先求出方程的解与不等式组的解集，再根据整数解的和确定整数解的范围，最后联立不等式求的取值范围． 【详解】（1）解：，解得，符合条件， 把代入①，可得左边，不成立； 把代入②，可得左边，左右两边相等，不成立； 把代入③，可得左边，成立， 故是方程和的“梦想解”． （2）解：已知， ，可得， 代入可得， 即二元一次方程组的解为， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 将代入， 可得， 解得， 为整数， 为或． （3）解： ，可得， 解不等式组，可得， 据题意可知，所有整数“梦想解”的和为， 整数“梦想解”为，，，，或，，，， 且，解得且， 综上的取值范围为． 变式6-1请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)或. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解问题； （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据新定义的含义即可得答案； （2）不等式组的“青一距离”，可得不等式组的解集为：，再分，，讨论即可得答案； （3）根据不等式组的“青一距离” ，得出值，得出不等式组，再表示不等式组的解集，根据恰有2个“求真点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，. （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， 解得：， 由③得：， ∵不等式组的“青一距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即时，不等式③成立， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时：， 综上：. （3）解：∵不等式组的“青一距离” ， ∴， 解得：， ∴化为， 由①得：， 由②得：， ∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”， ∴不等式组的解集为：，且有2个整数解， 则存在这样的整数满足： ， 由③得：， 由④得：， 当时，可得：， 此时， 当时，可得：， 此时， 当时，符合题意， 当为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或. 变式6-2定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：， (1)填空：______． (2)若，则的取值范围为______． (3)利用以上新运算化简： (4)已知，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)的取值范围为：或. 【分析】（1）由，利用进行计算即可； （2）结合新定义与，可得，再解不等式即可； （3）由，可得，再利用新定义运算即可； （4）分两种情况讨论：当时，即；可得，当时，即；可得，再解不等式即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：当时， ∴，即； ∴， ∴， 综上，此时； 当时， ∴，即； ∴， ∴， 解得：， 综上：此时； 综上：的取值范围为：或. 【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式，一元一次不等式的应用，理解新定义的运算法则是解本题的关键. 变式6-3如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是　 　 （填写正确结论的序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）分别解不等式和不等式组，再根据“整数同解”的定义判断即可； （2）分别解两个不等式组，再根据“整数同解”的定义得到关于的不等式组，求解即可； （3）分别解两个不等式组，设“整数同解”解集中的最大整数为，根据“整数同解”的定义得到关于的不等式组，进而求出，即可得解． 【详解】（1）解：不等式的解集为，其所有整数解为大于3的全体整数， ①不等式的解集为，其所有整数解为大于等于4的全体整数， ②不等式的解集为，其所有整数解为大于等于3的全体整数， ③不等式组的解集为，其所有整数解为大于的全体整数， 则与是“整数同解”的是①③； （2）解：不等式组的解集为， 不等式组的解集为， 两个不等式组是“整数同解”的， ， 解得：； （3）解：不等式组的解集为， 不等式组的解集为， 设“整数同解”解集中的最大整数为，则， 则，解得：， ， 解得：， ． 题型7、一元一次不等式的应用 题型模版 题型特征：用一元一次不等式解决实际问题（方案选择、最多最少、范围限制等）。 解题方法：找出不等关系关键词；设未知数，列不等式；求解后结合实际意义取整数或范围。 典例7三垟瓯柑享誉世界．水果商贩李大姐从三垟柑农处批发进货，她获知Ⅰ级瓯柑每箱60元，Ⅱ级瓯柑每箱40元．李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，共花费了3100元． (1)求Ⅰ级瓯柑和Ⅱ级瓯柑各购买了多少箱？ (2)李大姐有甲、乙两家店铺，每售出一箱不同级别的瓯柑获利不同，具体见表． Ⅰ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） Ⅱ级瓯柑每箱获利（单位：元/箱） 甲店 15 20 乙店 12 16 设李大姐将购进的瓯柑分配给甲店Ⅰ级瓯柑a箱，Ⅱ级瓯柑b箱，其余都分配给乙店．因善于经营，两家店都很快卖完了这批瓯柑． ①李大姐在甲店获利660元，则她在乙店获利多少元？ ②若李大姐希望获得总利润为1000元，则分配给甲店共 　　箱水果．（直接写出答案） 【答案】(1)Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱； (2)①292；②53或52． 【分析】（1）设Ⅰ级瓯柑买了箱，Ⅱ级瓯柑买了箱，利用总价单价数量，结合“李大姐本次购得的Ⅰ级瓯柑比Ⅱ级瓯柑多10箱，且共花费了3100元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，再将其代入中即可求出结论； ②利用总利润每箱的利润销售数量，即可得出关于，的二元一次方程，化简后可得出，结合，，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合，均为整数，即可求出，的值，将其相加即可求出结论． 【详解】（1）解：设Ⅰ级瓯柑买了箱，Ⅱ级瓯柑买了箱， 依题意得：， 解得：． 答：Ⅰ级瓯柑买了35箱，Ⅱ级瓯柑买了25箱． （2）解：①依题意得：， ， ． 答：她在乙店获利292元． ②依题意得：， ． ，， 即， ． 又，均为整数， 或， 或， 分配给甲店共53或52箱水果． 故答案为：53或52． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 变式7-1一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， 又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为 ∴的最小值为 答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值． 变式7-2有一批产品需要生产装箱，台型机器一天刚好可以生产箱产品，而台型机器一天刚好生产箱产品．已知每台型机器比每台型机器一天多生产件． (1)求每台型、型机器一天可分别生产多少件产品？ (2)现需生产箱产品，若用台型机器和台型机器同时生产，需几天完成？（不足一天按一天算） (3)若每台机器运输安装费用元（运输安装一次可使用天），每台型机器一天的租赁费用是元，可供租赁的型机器有台，每台型机器一天的租赁费用是元，租赁的型机器台数不限，现要在天内（含天），则租赁的型机器 台，费用最省，最省的总费用为 元．（机器租赁不足一天按一天费用结算）． 【答案】(1)每台型机器一天可生产件产品，每台型机器一天可生产件产品； (2)需天完成； (3)，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． 设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品，根据每箱中产品的件数相同，可列方程：，解方程即可求出结果； 由可知一箱产品有件，可得：用台型机器和台型机器同时生产件产品需要天； 因为，可知机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少，所以尽量多租用机器，设租赁的型机器台，可得不等式，解不等式求出的取值范围，根据为整数，可知型机器租赁的数量，再根据安装费和租赁费计算出最少费用即可 ． 【详解】（1）解：设每台型机器一天可生产件产品，则每台型机器一天可生产件产品， 根据题意得：， 解得：， ， 每台型机器一天可生产件产品，每台B型机器一天可生产件产品； （2）解：由知，箱产品有件， ， 需天完成； （3）解：， 机器生产件产品的费用比机器生产件产品的费用少， 型机器尽量多租用，才能使总费用更少， 设租赁的型机器台， 根据题意得：， 解得：； 为整数， 最小取， 租赁台型机器和台型机器，可以在天内完成任务， 所需要的最少费用是(元)． 故答案为：，． 变式7-3根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．    素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 【答案】任务1：A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；任务2：四种；任务3：6杯 【分析】任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，列出二元一次方程，可得，根据m，n均为正整数，即可求解； 任务3：设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料为b杯，则B的加料为杯，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，可得总花费为：，即可得，根据，可得，问题随之得解． 【详解】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元， 由题可知：， 解得：， 即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯， 则， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴解得：，，，， 即有共有四种方案； 任务3：买了6杯 设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯， ∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元， ∴总花费为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b是整数， ∴，， ∴（杯）． 【点睛】本题主要考查了二元次一方程组的应用，以及根据题意解二元一次方程等知识，问题的难点是任务三，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，列出总花费为：，是解答本题的关键． 变式7-4综合与实践：“大运河杯”赛事餐营养配比探究 【活动背景】 2026年清江浦区第二届“大运河杯”青少年足球赛开赛，某中学为参赛运动员定制营养赛事餐，营养师给出三类食材的蛋白质占比：高纤蔬菜蛋白质占比，纯瘦牛肉蛋白质占比，低脂纯牛奶蛋白质占比． 【活动任务】 结合二元一次方程组、一元一次不等式组，探究赛事餐的营养配比与选择方案． (1)【探究1：基础营养计算】 若某份试做早餐搭配50克高纤蔬菜、100克纯瘦牛肉、150克低脂纯牛奶，该份早餐的总蛋白质含量为 克； (2)【探究2：标准餐配比建模】 标准赛前早餐总质量为300克，其中固定搭配100克高纤蔬菜，经检测这份标准餐总蛋白质含量为26克．求这份标准早餐中纯瘦牛肉和低脂纯牛奶的质量分别为多少克？ (3)【探究3：集训套餐方案设计】 集训共7天，组委会提供A、B两款午餐套餐（配给如下表），要求：①一周内A、B两款套餐均需选择；②一周主食总摄入量不超过1500克；③一周肉类总摄入量不超过700克．请写出所有符合要求的午餐选择方案． 套餐类型 主食（克） 肉类（克） 蔬菜（克） A套餐 B套餐 【答案】(1) (2)纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克 (3)方案一：A套餐4天，B套餐3天；方案二：A套餐5天，B套餐2天 【分析】（1）根据题意，分别求得早餐中的蛋白质含量，相加即可求解． （2）设纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克，根据题意建立方程组，解方程，即可求解； （3）设选择A套餐天，则B套餐天，依题意，列出不等式组，根据为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：（克） （2）解：设纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克，根据题意建立方程组： 解得： 答：纯瘦牛肉质量为克，低脂纯牛奶质量为克 （3）解：设选择A套餐天，则B套餐天，依题意， 且为正整数， 解得： 又∵为正整数， ∴ ∴符合要求的午餐选择方案为： 方案一：A套餐4天，B套餐3天；方案二：A套餐5天，B套餐2天 变式7-5近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩分别需要多少万元？ (2)若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？ (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要万元和万元 (2)一共有种方案 (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.3万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，即可求解； （3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元； （2）设新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，18，19，20， 共有4种建造方案． （3）方案1：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩；总占地面积为 方案2：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；总占地面积为 方案3：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；总占地面积为； 方案4：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；总占地面积为． 在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择， ． 变式7-6武汉作为国家新能源汽车产业集群核心城市，正全力打造世界级新能源汽车产业高地．某车企为扩大新能源汽车动力电池产能，计划购进甲、乙两种自动化组装设备．已知购买台甲型、台乙型共需万元；购买台甲型、台乙型共需万元． (1)甲、乙两种自动化组装设备每台的价格分别是多少万元？ (2)已知每台甲型设备可组装电池日产量组，每台乙型设备可组装电池日产量组．若该车企计划用不超过万元购买两种设备，且甲型设备数量比乙型设备少台，为确保电池日产量不低于组，共有几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，随着市场行情变化，甲型设备每台降价万元，乙型每台涨价万元（其中），若最低费用为万元，求的值． 【答案】(1)甲种设备每台万元，乙种设备每台万元 (2)共有种采购方案 (3) 【分析】（1）设甲种设备每台万元，乙种设备每台万元，根据题意列方程组，即可求解； （2）设甲型设备有台，则乙型设备有台，根据题意列不等式组，即可求解； （3）分别讨论：当，即时，当时，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种设备每台万元，乙种设备每台万元， 根据题意可得， 解得， 答：甲种设备每台万元，乙种设备每台万元； （2）设甲型设备有台，则乙型设备有台， 根据题意得， 解得， 为整数， 可取，，， 共有种采购方案； （3）由（2）知，可取，，， 设总费用为， 则， 当，即时，随增大而减小， 时费用最低， 根据题意可得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时， 随增大而增大， 时费用最低， 根据题意可得， 解得； 综上，． 变式7-7阅读与思考 【问题情境】为了丰富学生的综合文化知识，培养学生的创新实践素养，提高学生的团队协作与临场应变能力，小明所在的班级计划开展“趣味挑战·智趣成长”主题知识竞赛活动，需到某商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 【素材展现】素材1：该商店在无促销活动期间，若买10个A款运动盲盒、15个B款运动盲盒，共需220元；若买20个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需400元． 素材2：该商店开展促销活动期间，有两种优惠方案，方案一：花费35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买A款运动盲盒打八折，购买B款运动盲盒打七五折（小明此前并非该商店会员）；方案二：不办理会员卡，购买A款运动盲盒打九折，购买B款运动盲盒打八五折． (1)【解决问题】该商店在无促销活动时，求A，B两款运动盲盒的销售单价各是多少？ (2)【拓展提升】小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个． ①若按方案一购买，共需要______元；若按方案二购买，共需要______元；（均用含m的代数式表示） ②请你帮小明算一算，购买A款盲盒的数量m至少为多少时，按方案一购买才更划算？ ③班长联系了小明又提出要求：购买A，B两款运动盲盒的总数量仍为40个，但A款盲盒的数量比B款盲盒的数量至少要多6个，且总预算不能超过325元．请你帮小明先选定更划算的方案，并在选定的方案下，列出m可取的所有整数值． 【答案】(1)A款运动盲盒销售单价为元，B款运动盲盒销售单价为元 (2)①，；②m至少为16个时，按方案一购买更划算；③选用方案一更划算，m可取的整数值是23，24，25 【分析】（1）该商店在无促销活动时，设A款运动盲盒销售单价为x元，B款运动盲盒销售单价为y元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种方法，分别列出代数式即可；②根据题意，列出不等式进行求解即可；③根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：该商店在无促销活动时，设A款运动盲盒销售单价为x元，B款运动盲盒销售单价为y元． 根据题意得，， 解得：． 答：A款运动盲盒销售单价为元，B款运动盲盒销售单价为元． （2）解：①按方案一购买，共需要元； 按方案二购买，共需要元； ②根据题意得，， 解得：， ∵m是整数， ∴m的最小值为16． 答：购买款运动盲盒的数量至少为16个时，按方案一购买更划算． ③∵购买A款运动盲盒m个，则购买B款运动盲盒个， 由题意：， 解得：， 由②可知选用方案一更划算． 由题意：． 解得：． 所以m的取值范围是， 综上所述，m可取的整数值是23，24，25． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1.已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 【详解】解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． 2.如果不等式组的整数解仅为2，3，4，那么适合这个不等式组的整数，各是哪些数？ 【答案】的整数值为，，，，；的整数值为，，，，，． 【分析】先解不等式组得出，根据整数解仅为2，3，4，得出，，进而求得整数解，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 不等式组的解集为：， 其整数解仅为2，3，4， ， ， 的整数值为，，，，； ， ， 的整数值为，，，，，． 3.定义运算：（，为常数），已知，，若关于的不等式恰有2个负整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据新定义和已知条件列二元一次方程组求出常数，再代入不等式化简得到关于的范围，最后根据不等式恰有2个负整数解列出关于的不等式组，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵，由，， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． ∵不等式恰有2个负整数解， ∴负整数解为， ∴， 解得． 4.关于、、的三元一次方程组，给出了个结论： ①若，则方程组的解为； ②与满足的关系为； ③若，都为正数，则满足的条件是； ④代数式的值始终为定值； ⑤若，，都为非负数，的最大值与最小值的差为． 其中正确的是________． 【答案】①④⑤ 【分析】先对原三元一次方程组消元，用表示出和，再逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】原方程组为， 对①乘以再减去②，得：， 化简得， 进一步整理得，， 当时，原方程组化为， 解得，①正确； 由计算得，②错误； 若，都为正数，则， 解得，③错误； 将，代入， 得：，值为定值，④正确； 若，，都为非负数，则， 解得， 将，代入， 得： ， 随增大而减小， 当时，；当时，， 最大值与最小值的差为，⑤正确； 综上所述，正确的为①④⑤． 5.已知关于的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据最大整数解与最小整数解互为相反数确定关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②：两边同乘得， 化简得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数， ∴不等式组的最小整数解为，最大整数解为， 可得， 解得． 6.关于的二元一次方程的部分解如表： … 0 1 2 … … 0 1 2 3 … (1)这个二元一次方程为__________； (2)若关于的方程组的解为负数，求的取值范围； (3)当时，对于的每一个值，方程中的值记为，中的值记为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）从表格取两组代入，解三元一次方程组求出，即可得到方程． （2）先联立两个方程，用表示出、，再根据，列不等式组求解． （3）先分别用表示、，列出不等式，整理成关于的一次不等式，结合恒成立求范围． 【详解】（1）解取表格中两组解：，代入： 当：， 当：， 再取：， 将代入： ，等式恒成立， 不妨令，则， 方程为：． （2）解：方程组：， 消去： ， 把代入： ， ， 由解为负数，得， 即， 解：， 解：， 取公共部分：． （3）解由得， 由变形：， 条件： ， ， ， 题意：当时，恒成立， 即区间全部包含在内，因此分界点满足： ， ． 7.【发现问题】：已知，求的值. 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值； 方法二：将，求出的值； 【提出问题】：怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】：为了得到方法二，可以将， 可得． 令等式左边， 比较系数可得，求得． 【解决问题】： (1)对于方程组，求的值；（参考方法一或二的思路也可以用自己的思路） (2)已知实数，满足，，当取最大值时，求的值． (3)定义为数集中最大的数，已知，若，记，求的最小值． 【答案】(1)4 (2)11 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法，进行求解即可； （2）设，求出，从而得出，要使取最大值，取最小，取最大，得出，求出a、b的值，再代入求值即可； （3）令，则，，，根据，，得出．整理得出，即可得出，从而可答案． 【详解】（1）解法一：得， ； 解法二：得③， 得，， 把代入①得，， ； 解法三：设， 联立，解得， 代入②得， 解得， 即； （2）解：设， 列方程组， 解得， ， 要取最大值，取最小，取最大， 此时， 解得， ∴； （3）解：令，则，，， ∴， ，， ． ，． ，． ，即的最小值为． 8.对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 9.已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) ①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）略 10.如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，再由‘恰有6个整数解’的条件求得，由‘偏解方程’的定义得到，取两个范围的交集即可． 【详解】（1）解：，解得， ①成立，故符合题意； ②不成立，故不符合题意； ③成立，故符合题意， 方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”， 故答案为：①③； （2） 解得， 方程组是不等式的“偏解方程组”， ， 解得； （3）， 解得， 关于x的方程是它的“偏解方程”， ， 解得， 不等式组恰有6个整数解， 设6个整数解为k，，，，，， 由题意得，， ， 解得， 有解， ， 解得， 的整数解为或， 当时，， ， 当时，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，解题的关键在于分类讨论． 11.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．    素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 2x 0 2x B型号（张数） 0 任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空） 【答案】探究一：（1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）最多能做6个礼品盒； 探究二：最多能做32个礼品盒； 探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）略 （2）根据题意可得， 即， 解得： ， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为32， 即最多能做32个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 12.对实数，，我们定义一种新运算：（其中，为非零常数）．例如：，．已知，． (1)________，________． (2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解． (3)若关于，的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据新定义得到二元一次方程，求出非负整数解即可； （3）根据新定义得到二元一次方程组，求出．根据得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，（其中，为非零常数）． ∴ 解得，； （2） 即： 为非负整数 当时，； 当时，（舍）； 当时，； 当时，（舍）； 方程的解为． （3） ①-②得： 即： ， 解得：． 13.某餐厅打算在A、B两个平台根据点餐金额采用不同的优惠措施 在A平台实施方案如下： A平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 超过60元，但不超过160元 减15元 超过160元 减40元 在B平台实施方案如下： B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过50元的部分 无优惠 超过50元，但不超过210元的部分 打折 超过210元的部分 打折 (1)小华某次点餐金额为70元，如果选择A平台，则他的实际付款金额是______元；如果选择B平台，则他的实际付款金额是______元． (2)若小华点餐金额为n元（），那么小华在A和B平台上的实际付款金额分别是多少？（用含n的代数式表示） (3)若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共320元．其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低，设在A平台的点餐金额是x元，求两次实际付款金额共多少？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)55；67 (2)A平台：元；B平台：元 (3)当时，两次实际付款金额元；当时，两次实际付款金额元；当时，两次实际付款金额元 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小华某次点餐金额为70元，且结合A平台和B平台的实施方案进行列式化简，即可作答； （2）根据小华点餐金额为元（），且结合A平台和B平台的实施方案进行列式化简，即可作答； （3）设在A平台的点餐金额是元，则B平台为元，依题意，得，即，然后进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，选择A平台，则他的实际付款金额是（元）， 选择B平台，则他的实际付款金额是（元）； 故答案为：55；67； （2）解：A平台：元， B平台：（元）； （3）解：∵两次点餐金额共320元，设在A平台的点餐金额是元， ∴B平台为元， ∵其中A平台点餐金额比B平台点餐金额低， ， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上，两次实际付款金额当时，；当时，；当时，． 14.根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 15.根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 解得：， ∵m必须能被3整除， ∴，，264，267， 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买258根长管子，2130根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买261根长管子，2125根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴购买264根长管子，2120根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买267根长管子，2115根短管子； ∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子， ∴长管子数越多制作的雪花模型越多， ∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $