3.3.2 第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示 一、选择题 1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.4 C.5 D. 2.若向量a=(1,λ,0),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则实数λ等于 (　 ) A.0 B.- C.0或- D.0或 3.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),向量a=(m,-1,n),且向量a与,都垂直,则|a|= (　 ) A.4 B.2 C.2 D. 4.若A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),则△ABC的形状是 (　 ) A.不等边的锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.定义a􀱋b=|a|2-a·b,若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则a􀱋b的取值范围是 (　 ) A.[0,6] B.[6,12] C.[-1,5] D.[0,12] 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD为边长为2的正方形,E为BC的中点,则异面直线BD与PE夹角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)已知空间中三点A(0,1,1),B(2,2,1),C(2,1,0),则 (　 ) A.||=2 B.方向上的单位向量坐标是 C.在方向上的投影数量为 D.与夹角的余弦值是 8.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在底面ABCD上移动,且满足B1P⊥D1E,则下列结论正确的是 (　 ) A.线段B1P的长度的最大值为3 B.线段B1P的长度的最小值为 C.线段B1P的长度的最大值为2 D.线段B1P的长度的最小值为 二、填空题 9.与空间向量a=(2,2,-1)同方向的单位向量的坐标是　　　　　　.  10.在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为,则向量a的一个坐标为　　　　.  11.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,|b|=12,则<b,c>=　　　　.  12.已知空间向量a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos<a,b>=-,若向量a+kb与2a+b的夹角为钝角,则实数k的取值范围是　　　　.  三、解答题 13.[2024·天津武清区高二期中] 已知点A(1,0,2),B(-2,1,3),O为坐标原点,向量a=,b=. (1)求与向量a同方向的单位向量a0; (2)求|a-2b|; (3)求cos<a,b>. 14.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点. (1)求线段BM,BN的长; (2)求△BMN的面积. 15.已知a,b是空间中相互垂直的两个单位向量,且|c|=5,c·a=c·b=2,则|c-ma-nb|的最小值是　　　　.  16.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且EF⊥A1E.若AB=2,AD=1,AA1=3,则B1F的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示 1.D　[解析] 3a+b=(3,3,0)+(-1,0,2)=(2,3,2),故|3a+b|==. 2.C　[解析] 由题意得a·b=2-λ=|a||b|cos<a,b>=××,解得λ=0或λ=-.故选C. 3.D　[解析] =(-2,-1,3),=(1,-3,2).因为a=(m,-1,n)与,都垂直,所以解得所以a=(-1,-1,-1),所以|a|==.故选D. 4.A　[解析] =(-5,-1,-3),=(-2,3,-1),=(3,4,2),由·=10-3+3=10>0,可得A为锐角,同理可得B,C也为锐角.||==,||=,||=,∴△ABC为不等边的锐角三角形.故选A. 5.B　[解析] 由题意可得|a|==3,|b|=1,设<a,b>=θ,则a􀱋b=|a|2-a·b=|a|2-|a|·|b|cos θ=9-3cos θ,因为θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],所以a􀱋b∈[6,12].故选B. 6.A　[解析] 因为PA⊥底面ABCD,AB,AD⊂底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),B(2,0,0),E(2,1,0),D(0,2,0),=(2,1,-2),=(-2,2,0).设异面直线BD与PE的夹角为θ,θ∈,则cos θ===,所以异面直线BD与PE夹角的余弦值为.故选A. 7.BD　[解析] 因为A(0,1,1),B(2,2,1),C(2,1,0),所以=(2,1,0),=(0,-1,-1),=(2,0,-1).由=(0,-1,-1),得||=,A错误;方向上的单位向量为=,B正确;由=(2,0,-1),得在方向上的投影数量为||cos<,>===,C错误;由=(2,1,0),=(2,0,-1),得cos<,>===,D正确.故选BD. 8.AD　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),E(1,2,0),B1(2,2,2),设P(a,b,0),0≤a≤2,0≤b≤2,则=(1,2,-2),=(a-2,b-2,-2),由B1P⊥D1E,可得·=0,即a-2+2(b-2)+4=0,即a+2b-2=0,即a=2-2b,∴点P的轨迹是一条线段.当a=0时,b=1;当b=0时,a=2.∴0≤a≤2,0≤b≤1.设棱CD的中点为F,连接AF,故点P的轨迹为线段AF,||2=(a-2)2+(b-2)2+4=(-2b)2+(b-2)2+4=5b2-4b+8,易知二次函数y=5x2-4x+8的图象的对称轴为直线x=,又0≤b≤1,∴当b=时,||2取得最小值,即线段B1P的长度的最小值为,当b=1,即P为棱CD的中点时,||2取得最大值9,即线段B1P的长度的最大值为3.故选AD. 9.　[解析] ∵a=(2,2,-1),∴|a|===3,∴与空间向量a同方向的单位向量为=. 10.(1,2,2)(答案不唯一)　[解析] 设a=(x,y,z),则由题意得得 则向量a的一个坐标为(1,2,2). 11.　[解析] 由题得,(2a+b)·c=2a·c+b·c=8+b·c=(0,-5,10)·(1,-2,-2)=-10,∴b·c=-18,又c=(1,-2,-2),|b|=12,∴cos<b,c>===-,又<b,c>∈[0,π],∴<b,c>=. 12.(-∞,-1)　[解析] 因为a=(1,1,0),b=(m,0,2),cos<a,b>=-,所以cos<a,b>===-,解得m=-1,所以b=(-1,0,2),所以a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).因为向量a+kb与2a+b的夹角为钝角,所以(a+kb)·(2a+b)=1-k+2+4k<0,解得k<-1.若向量a+kb与2a+b共线,则==,解得k=,显然∉(-∞,-1).综上可得k的取值范围为(-∞,-1). 13.解:(1)由题意得a=(1,0,2),则|a|==, 因此a0==. (2)因为a=(1,0,2),b=(-2,1,3), 所以a-2b=(1,0,2)-2(-2,1,3)=(5,-2,-4), 则|a-2b|==3. (3)因为a=(1,0,2),b=(-2,1,3),所以|a|==,|b|==, 则cos<a,b>===. 14.解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则B(0,1,0),M(1,0,1),N. (1)=(1,-1,1),=,所以||==,||==,故线段BM的长为,线段BN的长为. (2)cos∠MBN=cos<,>===,所以sin∠MBN==,故S△BMN=·BM·BN·sin∠MBN=×××=,即△BMN的面积为. 15.3　[解析] 因为a,b是空间中相互垂直的两个单位向量,所以可设a=(1,0,0),b=(0,1,0),再设c=(x,y,z),因为c·a=c·b=2,所以x=y=2,则c=(2,2,z),又|c|==5,所以z2=9,所以|c-ma-nb|==≥3,当且仅当m=n=2时,等号成立,所以|c-ma-nb|的最小值是3. 16.2　[解析] 以点C1为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1-xyz,则A1(2,1,0),设E(2,0,m),F(0,1,n),0≤m≤3,0≤n≤3,则=(0,-1,m),=(-2,1,n-m).因为EF⊥A1E,所以·=0,即-1+m(n-m)=0,化简得mn=1+m2,当m=0时,显然不成立,所以0<m≤3,则n=+m≥2,当且仅当m=,即m=1时,等号成立,故B1F的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $