3.3.1 空间向量基本定理(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 一、选择题 1.设向量a,b,c不共面,则下列向量可构成空间向量的一组基的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a+b,b-a,a B.a+b,b-a,b C.a+b,b-a,c D.a+b+c,a+b,c 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段D1B上一点,且BP=2D1P,若=x+y+z,则x+y+z= (　 ) A. B. C. D.1 3.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,下列条件中能确定点M,A,B,C共面的是 (　 ) A.=++ B.=2-- C.=++ D.=++ 4.已知A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,O为该平面外一点,且=m++,则m的值为 (　 ) A.-1 B.-2 C.-3 D.1 5.如图,M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,设=a,=b,=c,若=xa+yb+zc,则x+y-z= (　 ) A.- B. C. D.- 6.若e1,e2,e3能构成空间向量的一组基,且向量a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基,则t= (　 ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 7.(多选题)[2024·四川内江高二期中] 若,,能构成空间向量的一组基,则下列说法中正确的是 (　 ) A.存在x,y∈R,使得=x+y B.-,-,也能构成空间向量的一组基 C.若=-+,则P,B,C,D四点共面 D.若=++,则直线AP与BD异面 8.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=a,=b,=c,若=,=2,则 (　 ) A.=a-b+c B.=a-b+c C.=a+b-c D.=a-b+c 二、填空题 9.设{a,b,c}是空间向量的一组基,且向量p=3a+b+c,若m=a+b,n=a-c,则用m,n,c表示向量p=　　　　　　.  10.如图,已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量=a,=b,=c,则=　　　　　　　　.(用a,b,c表示)  11.[2024·四川成都高二期中] 在三棱锥P-ABC中,N在棱PA上,满足PA=3PN,M是平面ABC内任意一点,4=5+x+2,则实数x=　　　　.  12.[2024·安徽黄山高二期中] 已知点D在△ABC确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,实数x,y满足=3-x-2y,则x2+2y2的最小值为　　　　.  三、解答题 13.如图,在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,F在AD上,且AF=2FD,=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)若底面BCD是等腰直角三角形,且BD=BC=AB=3,∠ABD=∠ABC=60°,求线段EF的长. 14.已知{e1,e2,e3}是空间向量的一组基,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. (1),,能否构成空间向量的一组基?若能,试用这一组基表示;若不能,请说明理由. (2)判断P,A,B,C四点是否共面. 15.(多选题)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,P点满足=λ+μ(0≤λ≤1,0≤μ≤1),下列结论正确的是 (　 ) A.当λ=1时,△PBB1的面积是定值 B.当λ=1时,△PAB1的周长是定值 C.当μ=1时,△PBC的面积是定值 D.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 16.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体内(包括表面)一动点,若=x+y+z,且0≤x≤y≤z≤1,则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是　　　　,表面积是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ §3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 1.C　[解析] 对于选项A,(a+b)-(b-a)=2a,三个向量共面,故不能构成空间向量的一组基;对于选项B,(a+b)+(b-a)=2b,三个向量共面,故不能构成空间向量的一组基;对于选项C,假设a+b,b-a,c三个向量共面,则存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(b-a)=(x-y)a+(x+y)b,则向量a,b,c共面,与题意矛盾,假设不成立,故a+b,b-a,c三个向量不共面,因此可以构成空间向量的一组基;对于选项D,a+b+c=(a+b)+c,三个向量共面,故不能构成空间向量的一组基.故选C. 2.B　[解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD,依题意,=,=+=+=+(-)=+(+)=-+,而=x+y+z,且,,不共面,所以x=,y=-,z=,所以x+y+z=.故选B. 3.D　[解析] 对于平面ABC外的任意一点O,点M,A,B,C共面的充要条件是=x+y+z,且x+y+z=1.对于A,由=++,得x+y+z=1+1+1=3≠1,所以点M,A,B,C不共面,A不符合题意;对于B,由=2--,得x+y+z=2+(-1)+(-1)=0≠1,所以点M,A,B,C不共面,B不符合题意;对于C,由=++,得x+y+z=1++≠1,所以点M,A,B,C不共面,C不符合题意;对于D,由=++,得x+y+z=++=1,所以点M,A,B,C共面,D符合题意.故选D. 4.B　[解析] 因为=-,所以由=m++,可得-=m++,即=m+2+,因为A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,O为该平面外一点,所以m+2+1=1,解得m=-2.故选B. 5.A　[解析] 连接ON,依题意,a,b,c不共面,则{a,b,c}可作为空间向量的一组基,因为M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,所以=-=(+)-=-a+b+c,又=xa+yb+zc,所以x=-,y=,z=,所以x+y-z=-+-=-.故选A. 6.A　[解析] 因为a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基,所以存在实数x,y,使得c=xa+yb,则e1+te3=x(e1+e2)+y(e2+e3),即e1+te3=xe1+(x+y)e2+ye3,因为e1,e2,e3能构成空间向量的一组基,所以解得故选A. 7.BCD　[解析] 对于A选项,假设存在x,y∈R,使得=x+y,则,,共面,与已知矛盾,所以假设不成立,A选项错误.对于B选项,若-,-,共面,则存在实数m,n,使得=m(-)+n(-),即=(m-n)-m+n,可得此方程组无解,所以-,-,不共面,-,-,也能构成空间向量的一组基,所以B选项正确.对于C选项,=-+,因为1+(-1)+1=1,所以P,B,C,D四点共面,C选项正确.对于D选项,=++,即-=--+-,整理得=-2+,因为1+(-2)+1=0≠1,所以P,B,A,D不共面,所以直线AP与BD异面,所以D选项正确.故选BCD. 8.ABC　[解析] 对于A,=-=(+)-=a-b+c,故A正确;对于B,=-=+-=+-=+(-)-=+-=-+=a-b+c,故B正确; 对于C,=-=a-b+c-(c-b)=a+b-c,故C正确;对于D,=-=-=a+b-c,故D错误.故选ABC. 9.m+2n+3c　[解析] 设p=xm+yn+zc,则x(a+b)+y(a-c)+zc=(x+y)a+xb+(z-y)c=3a+b+c,故解得故p=m+2n+3c. 10.a+b+c　[解析] 连接ON,∵=+,=(+),=,=-,=,∴=+=+=+(-)=+=×(+)+×=++=a+b+c. 11.　[解析] 由4=5+x+2,得=++=×++=++,因为A,B,C,M四点共面,所以++=1,解得x=. 12.　[解析] 因为=3-x-2y,且A,B,C,D四点共面,所以3-x-2y=1,即x=2-2y,所以x2+2y2=(2-2y)2+2y2=6y2-8y+4=6+≥,所以当y=时,x2+2y2取得最小值. 13.解:(1)依题意,E是BC的中点,F在AD上,且AF=2FD,则=++=+-=+-=+(-)-=-+=a-b+c. (2)因为BD=BC=AB=3,所以∠CBD=90°,又∠ABD=∠ABC=60°,所以a·b=0,a·c=,b·c=,由(1)知||== = ,所以线段EF的长是. 14.解:(1)假设向量,,共面,则存在实数m,n,使=m+n,即e1+2e2-e3=m(-3e1+e2+2e3)+n(e1+e2-e3),所以方程组无解,所以向量,,不共面,因此,,可以构成空间向量的一组基. 令=a,=b,=c, 由得所以=2e1-e2+3e3=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)=17a-5b-30c=17-5-30. (2)假设P,A,B,C四点共面,则存在实数x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1.由(1)知=17-5-30,但17-5-30=-18≠1,故P,A,B,C四点不共面. 15.ACD　[解析] 由题知点P在面BCC1B1上,△ABC,△A1B1C1为正三角形且正三棱柱的侧面都是正方形,它们的边长均为1.当λ=1时,P在线段CC1上运动,则△PBB1的面积是定值,而PB1=,PA=,△PAB1的周长为++,不为定值,故A正确,B错误;当μ=1时,P在线段B1C1上运动,则△PBC的面积是定值,而B1C1∥BC,B1C1⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC,所以点P到平面A1BC的距离不变,则三棱锥P-A1BC的体积为定值,故C,D正确.故选ACD. 16.　1+　[解析] 如图,连接AC,A1C1,AD1,BC1,AC1,根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理,知满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD-A1C1D1内(包括表面),满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1-BB1C1内(包括表面),故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分,即三棱锥A-A1C1D1内(包括表面),其体积是××1×1×1=,其表面积是2××1×1+2××1×=1+. 学科网（北京）股份有限公司 $