3.2.1&3.2.2 第2课时 空间向量的数量积(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　空间向量的数量积 1.B　[解析] 对于A,a·b=b·c⇔|a||b|cos<a,b>=|b||c|cos<b,c>,若b≠0,则|a|cos<a,b>=|c|cos<b,c>,得不出a=c,故错误.对于B,根据平面向量基本定理可知正确.对于C,(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,故错误.对于D,向量a在向量b方向上的投影数量为|a|cos<a,b>,可以为正数,可以为0,也可以为负数,故错误.故选B. 2.C　[解析] a在b方向上的投影数量为|a|cos 60°=4×=2,故选C. 3.D　[解析] ∵a,b是单位向量,∴a2=b2=1.∵|a|=|a+b|,∴a2+2a·b+b2=1,故a·b=-,∴·b=a·b+b2=-+=0.故选D. 4.D　[解析] 　·=||·||cos=0,·=||||cos=2×2×=2,·=||||cos=2×2×=2.由题意得=++=++,所以AC'=||== = =2.故选D. 5.C　[解析] 如图,取C1在下底面上的投影C,作CD⊥AB,垂足为D,连接CA,CO,则∠COD=,易知在方向上的投影向量是.设上底面的半径为r,可得OD=r,AD=r=AB,故在方向上的投影向量是.故选C. 6.A　[解析] 如图,根据堑堵的几何性质知AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为=+,=+=+(-),所以·=(+)·=·+-·++·-·=2+4=6.故选A. 7.AD　[解析] 由数量积的性质和运算律可知A,D正确;是实数,无法运算,B不正确;设a与b的夹角为θ,则(a·b)2=(|a|·|b|cos θ)2=|a|2·|b|2cos2θ,故当cos2θ≠1时,(a·b)2≠|a|2·|b|2=a2·b2,C不正确.故选AD. 8.AC　[解析] 如图所示,2·=2||||cos 120°=2a·acos 120°=-a2;2·=2||||cos 60°=2a·acos 60°=a2;2·=2||||cos 180°=2·· acos 180°=-a2;2·=2||||cos 120°=2··acos 120°=-.故结果为-a2的有A,C,故选AC. 9.　[解析] 设向量a+2b与向量a的夹角为θ,∵向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,∴a·b=2×1×cos=1,则|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12,∴|a+2b|=2,又∵(a+2b)·a=a2+2a·b=6,∴cos θ===,∵0≤θ≤π,∴θ=. 10.-1　[解析] 如图,易知向量在方向上的投影数量为||cos∠BAC=||=2,向量在方向上的投影数量为||cos (π-∠A'AC')=-||=-3,所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为2-3=-1. 11.2　[解析] 因为a·b=|a|·|b|·cos 120°=-|a|·|b|=-2,所以|a|·|b|=4,|2a-b|2=(2a)2-4a·b+b2=|2a|2+|b|2+8≥4|a|·|b|+8=24,当且仅当|2a|=|b|,即|a|=,|b|=2时等号成立,所以|2a-b|≥2,即|2a-b|的最小值为2. 12.　[解析] 　·=||||cos=1×1×=,·=||||cos=1×2×=1,·=||||cos=1×2×=1,∵=+=+=+(-)=+,=-,∴·=·(-)=·+-·-·=×+--=-,==++2××·=++=,||2=(-)2=+-2·=1+4-2=3,∴||=,||=.∴cos<,>===-,∴直线AD与直线PC夹角的余弦值为. 13.解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为DD1⊥BC,所以<,>=90°,因为=,所以<,>=<,>=135°. (2)如图,连接EC,因为DC⊥平面BCC1B1,CE⊂平面BCC1B1,所以DC⊥CE,又因为AD⊥DC,所以在向量方向上的投影向量为.因为DC=1,所以向量在向量方向上的投影数量为1. 14.解:(1)连接AC,=+=++,∴=+++2·+·+·=16+4+4+8+8+4=44,∴AM=2. (2)=+,则||==2,·=·=·++·++·+·=4+4+2+8+2+2=22,∴cos∠MAN==. 15.B　[解析] 作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D,则折叠前与折叠后的图形如图所示,在折叠后的图形中,连接AB,则=++,所以||== = =2.故选B. 16.　[解析] 由已知E为棱B1C1上的动点,设=λ(0≤λ≤1),因为=+=+λ=++λ,所以·=(++λ)·=·+·+λ·=1××cos 45°+λ×1××cos 45°=1+λ,所以向量在向量方向上的投影数量为=.又0≤λ≤1,所以1≤1+λ≤2,所以≤≤,所以向量在向量方向上的投影数量的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间向量的数量积 一、选择题 1.已知a,b,c为空间向量,则下列关于它们的说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.若a·b=b·c,且b≠0,则a=c B.若c=2a+3b,则a,b,c共面 C.(a·b)·c=a·(b·c) D.向量a在向量b方向上的投影数量一定是正的 2.若|a|=4,a和b的夹角为60°,则a在b方向上的投影数量为 (　 ) A.2 B. C.2 D.4 3.已知单位向量a,b满足|a|=|a+b|,则·b= (　 ) A. B.1 C. D.0 4.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=AA'=2,∠BAD=,∠BAA'=∠DAA'=,则AC'= (　 ) A.2 B.2 C.4 D.2 5.[2024·河北保定高二开学考] 如图,A1B1,AB分别是圆台上、下底面的直径,且AB=2A1B1,AB∥A1B1,C1是弧A1B1上靠近点B1的三等分点,则在方向上的投影向量是 (　 ) A. B. C. D. 6.我国古代数学名著《九章算术》中记载了一种几何体,名为“堑堵”,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,AC⊥AB,P为B1C1的中点,则·= (　 ) A.6 B.-6 C.2 D.-2 7.(多选题)设a,b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式中正确的是 (　 ) A.a2=|a|2 B.= C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 8.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线的长度都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个式子中结果为-a2的有 (　 ) A.2· B.2· C.2· D.2· 二、填空题 9.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则向量a+2b与向量a的夹角为　　　　.  10.[2024·江西十一校高二期中] 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AA'=3,则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为　　　　.  11.已知空间向量a,b的夹角为120°,且a·b=-2,则|2a-b|的最小值为　　　　.  12.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=1,PA=2,∠PAB=∠PAC=∠CAB=,点D在线段BC上,且BD=BC,则直线AD与直线PC夹角的余弦值为　　　　.  三、解答题 13.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为B1C1的中点. (1)求<,>,<,>的大小; (2)求向量在向量方向上的投影数量. 14.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1= ∠A1AD=,=2,N为CD的中点. (1)求线段AM的长; (2)求∠MAN的余弦值. 15.在平面直角坐标系中,已知A(-1,4),B(3,-6),现沿x轴将坐标平面折成120°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为 (　 ) A.2 B.2 C.8 D.3 16.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为棱B1C1上的动点,则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $