3.2.1&3.2.2 第1课时 空间向量的概念及运算(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§2　空间向量与向量运算 2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算 第1课时　空间向量的概念及运算 1.C　[解析] 对于A,零向量与它的相反向量相等,故A错误;对于B,将空间中的所有单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故B错误;对于C,空间向量与平面向量一样,既有大小又有方向,两个向量不能比较大小,故C正确;对于D,一个非零空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故D错误.故选C. 2.D　[解析] 由= 知四棱柱是平行六面体,所以每个面是平行四边形.对于A,与的方向相反,所以不是相等向量;对于B,与的方向相反,所以不是相等向量;对于C,与的方向不同,所以不是相等向量;对于D,与的方向相同,大小相等,是相等向量.故选D. 3.B　[解析] 连接BG,易知(+)=,∴(+)+=+=.故选B. 4.A　[解析] ∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,∴=3,则=.故选A. 5.D　[解析] 如图所示,由题意可得,=+=++,又∵=,=,∴=++=++=++(-)=++,故选D. 6.A　[解析] 　=+++=--++=-++,则x=-1,y=1,z=,可得x+y+z=.故选A. 7.ACD　[解析] 对于选项A,根据向量加法的交换律可知a+b=b+a,故A为真命题;对于选项B,|a|=|b|,说明向量a与b的长度相等但方向无法确定,所以a=±b不一定成立,故B为假命题;对于选项C,根据向量相等的定义可知,若m=n,n=p,则m=p,故C为真命题;对于选项D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,||=||,且与方向相同,所以=,故D为真命题.故选ACD. 8.ABD　[解析] 作出三棱柱ABC-A1B1C1,如图.对于A,当λ=1时,=+μ,则=-=μ=μ,又μ∈[0,1],所以点P在棱B1C1上,故A正确;对于B,当λ=μ时,=λ(+)=λ,又λ∈[0,1],所以点P在线段BC1上,故B正确;对于C,当λ=μ=时,由B知=,所以P为棱BC1的中点,故C错误;对于D,当λ+μ=1时,μ=1-λ,所以=λ+(1-λ),则-=λ-λ,即=λ,又λ∈[0,1],所以点P在线段B1C上,故D正确.故选ABD. 9.③④　[解析] 共线向量即为平行向量,两个共线向量的方向相同或相反,所以共线向量所在的直线平行或重合,所以①不正确.单位向量的模均为1,但方向并不一定相同,所以②不正确.若=,则AB=DC且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形,若四边形ABCD为平行四边形,则=,所以③正确.模为0的向量为0,0的方向是不确定的,方向不确定的向量是零向量,零向量的模为0,所以④正确.故填③④. 10.b-a-c　[解析] 如图,连接CA1,则=-=--=b-a-c. 11.0　[解析] 因为=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,所以=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3,又因为=4e1+2e2+8e3,A,C,D三点共线,所以存在唯一的实数y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],即解得 12.0　[解析] 因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数k,使=k,显然k≠0且k≠1,否则点A,B重合或点B,C重合, 则-=k(-),整理得(k-1)+-k=0,令λ=k-1,m=1,n=-k,显然实数λ,m,n不为0,因此存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,此时λ+m+n=k-1+1+(-k)=0. 13.解:(1)由题意,单位向量有,,,,,,,,共8个. (2)由题意,与相等的向量有,,. (3)由题意,与相反的向量有,,,. 14.解:(1)∵E是AA'的中点,∴=. ∵F在D'C'上,D'F=2FC',∴==, ∴=++=++. (2)连接BD,则=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=++,∴α=,β=,γ=. 15.-5　 [解析] ∵a∥b且a≠0,∴存在唯一实数λ,使得b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp,又m,n,p不共面,∴==,则x=-13,y=8,故x+y=-5. 16.重心　[解析] 取BC的中点E,连接AE,则+=2.由动点P满足=+λ(+),λ>0,得=2λ,则直线AP一定经过△ABC的重心. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　空间向量与向量运算 2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算 第1课时　空间向量的概念及运算 一、选择题 1.下列说法正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 2.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=, 则下列向量相等的是 (　 ) A.与 B.与 C.与 D.与 3.在四面体ABCD中,G是CD的中点,连接AG,则(+)+= (　 ) A. B. C. D. 4.若空间中四点A,B,C,D满足4+=4,则= (　 ) A. B.3 C. D. 5.已知三棱柱ABC-A1B1C1,点P为棱B1C1上一点,且=,则= (　 ) A.++ B.++ C.+- D.++ 6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M在BB1上,点N在DD1上,且BM=BB1,D1N=D1D,若=x+y+z,则x+y+z= (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)[2024·重庆一中高二期中] 下列命题中,是真命题的为 (　 ) A.设a,b是两个空间向量,则a+b=b+a B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=±b C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有= 8.(多选题)[2024·青海海南高二期中] 已知三棱柱ABC-A1B1C1,P为空间内一点,若=λ+μ,其中λ,μ∈[0,1],则 (　 ) A.若λ=1,则点P在棱B1C1上 B.若λ=μ,则点P在线段BC1上 C.若λ=μ=,则点P为棱CC1的中点 D.若λ+μ=1,则点P在线段B1C上 二、填空题 9.下列说法中正确的是　　　　.(填序号)  ①空间向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上; ②单位向量都相等; ③在四边形ABCD中,“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“=”; ④“模为0”是“一个向量方向不确定”的充要条件. 10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=　　　　.(用a,b,c表示)  11.[2024·辽宁沈阳高二期中] 设向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三点共线,则λ=　　　　.  12.已知A,B,C三点共线,则对空间中任一点O,若存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,则λ+m+n的值为　　　　.  三、解答题 13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1.在以长方体的八个顶点中的两点为起点或终点的向量中: (1)单位向量共有多少个? (2)写出与相等的所有向量. (3)写出与相反的向量. 14.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E是AA'的中点,F在D'C'上且D'F=2FC'. (1)用,,表示; (2)设M是底面ABCD的中心,N在侧面BCC'B'的对角线BC'上,且BN=3NC',若=α+β+γ,试求α,β,γ的值. 15.已知a=3m-2n-4p(a≠0),b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面,若a∥b,则x+y=　　　　.  16.A,B,C是一个平面上不共线的3个点,O是该平面外一定点,一动点P满足=+λ(+),λ>0,则直线AP一定经过△ABC的　　　　.(填外心、内心、重心、垂心中的一个)  学科网（北京）股份有限公司 $