课时分层评价24 空间向量基本定理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价24 空间向量基本定理用P247 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,O元不能构成空 间向量的一组基，则( A.OA,Oi,O元共线 B.OA,O共线 C.O°，O元共线 D.O,A,B,C四点共面 答案：D 解析：由OA,O,O元不能构成一组基知，OA,Oi,O元三向量共 面，所以一定有O,A,B,C四点共面.故选D 2.(多选题)给出下列命题，其中是真命题的是( A.若{a,b,c心可以作为空间向量的一组基，d与c共线，c≠0，d≠ 0,则{a,b,心也可以作为空间向量的一组基 B.己知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间向量的一组基 C.已知A,B,M,N是空间中的四点，若{BA,B应，B}不能构成 空间向量的一组基，则A,B,M,N四点共面 D.若，b是两个不共线的向量，而c=十b(2,u∈R且u≠0)， 则{a,b,c能构成空间向量的一组基 答案：ABC 解析：对于A,假设d与a,b共面，则存在实数2，u,使得d=@ 十ub,因为d与c共线，c≠0，所以存在实数k,使得d=kc,因为d ≠0，所以k≠0，从而c=十b,所以c与a,b共面，与已知条 件矛盾，所以d与a,b不共面，故A是真命题；对于B,根据基的 概念，知空间中任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 显然B是真命题；对于C,由BA,B,B有公共点B,所以A,B, M,N四，点共面，故C是真命题；对于D,因为，b,c共面，所以 {,b,c不能构成空间向量的一组基，故D错误.故选ABC. 3.已知{a,b,c是空间向量的一组基，p=a十b,q=a一b,一定可 以与向量P,q构成空间向量的另一组基的是() A.a B.b C.c D.专p-2q 答案：C 解析：因为，b,c不共面，所以p,q,c不共面.若存在x,y∈R, 使c=十yq=(x十y)a十(x-yb成立，则a,b,c共面，这与已知{a, b,C是空间向量的一组基矛盾，故p,q,c不共面.故选C 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意 一点，设OA=a,O苑=b,O元=c,则向量Oi可用a,b,c表示为( A.a-b+2c B.a-b-2c C.-克a十b十c D.号a-号b十c 答案：D 解析：O=0元+cD=O元+BA=O元+(OA-O)=a-b十c 故选D 5.已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能 确定点M与点A,B,C一定共面的是( A.OM=OA+OB+O元 B.0M=0A+2oB+30元 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.C0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 C.OM=OA+号Oi+号0元 D.oM=号oA+oi+号o元 答案：D 解析：由OM=号OA+号Oi+0C,得O应-OA=(O2-O4)十 (OC-OA),即A应=青AB+AC,所以A,B,C,M四点共面.故选 D. 6.若a=e1+e2十e3,b=e1-e2-e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3 (e1,e2,e3为空间向量的一组基)且d=xa十yh十c,则x,y,之的值 分别为() A.,-,-1 B.号，，1 C.-号，，1 D.,-,1 答案：A 解析：d=xa十yb+zc=(x十y十z)e1+(x-y+z)e2十(x一y)e3.又因为d (x+y+z=1, (x=, =e1+2e2十3e3,所以 x-y+z=2,解得y=-克，故选A. x-y=3, z=-1. 7.在正方体ABCD-AB1CD1中，点E,F分别是底面A1C和侧面CD1 的中心，若E十AD=0(2∈R),则入= 答案：一 解析：如图所示，连接A1C1,CD,则E在A1C1上，F在CD上， 易知EF=AD,所以EF=A1D,即E-A1D=0,所以M=- 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 8.如图，在正方体ABCD-ABCD1中，用{AC,AB1,AD1}作为空间 向量的一组基，则AC1= 答案：AD1+AB1+AC) 解析：因为2AC1=2AA1+2AD+2AB=(AA1+AD)+(AA1+AB)十 (AD+AB)=AD1+AB1+AC,所以AC1=(AD:+AB1+AC) 9.(一题多解)已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外的任意一 点，若点P在平面ABC内，且OP=专OA+号O亦+mO元，则实数m 答案：品 解析：法-：O=OA-OA+号O+mo元-号OA+号OA-mOA十m OA=OA+(Oi-OA)+m(O元-OA)+号OA+mOA-0A=OA+ 号A2+mA元+（号+m-美）0A,即A乎=号A正+mA元+(m-品)oA, 由共面向量定理可得m一是=0，故m=品 法二：因为，点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，所以 O=xOA+yO成十O元，且x十y十=1，利用此结论可得吉十号十m =l,解得m=是 10.(13分)如图，己知平行六面体OABC-OABC',且0A=a,O元=b, 00=c. 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (I)用a,b,c表示向量AC; (2)设G,H分别是侧面BB'CC和OABC的中心，用，b,c表示 GH 解：(I)AC=A元+CC=O元-OA+O0=b+c-a. (2)Gi=G0+0i=-0元+0i=-(0B'+0C)+(0B'+00 =-0元+号00=(c-b), 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)设x=a十b,y=b+c,z=c十a,且{a,b,c}是空间的一 组基，则能作为空间一组基的向量组是( A.fx,y, B.{,y,} C.b,c, D.fa,b,x 答案：ABC 解析：如图所示，作平行六面体ABCD-AB1CD1,使AB=a,AD=b, AA1=c,则AC=x,AD1=y,AB1=z,由平行六面体的性质知：向 量x,y,z不共面；向量x,y,M不共面；向量b,c,z不共面.又由 x=a十b可知，向量a,b,x共面.故选ABC. 12.在平行六面体ABCD-AB1CD1中，F为棱DD1的中点，E为棱 BB1上一点记E=A成十yAD十AA1,若x十y十x=寺，则器= 答案：言 解析：如图所示，设器=，因为EF=驼十BA十AD十DF=一入 BB-AB+AD+DD1=-AA-AB+AD+AA=-AB+AD+ ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (克-入)AA1,又已知EF=xAB十yAD十2AA1,所以x=-1,y=1,之 =号一1.又因为x十y十之=号一1=号，所以观=名 D 13.(新角度)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD1中，P为正方体内 一动点（包括表面），若A亚=xAB十yAD十之AA1,且0≤x≤y≤z≤1.则 点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 ；表面积是 答案：名1+2 解析：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足O≤x≤y ≤1的点P在三棱柱ACD-A1CD1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三 棱柱AAD1-BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的，点P 在这两个三棱柱的公共部分（如图），即三棱锥A-A1CD1内，其体积是 寺×寺×1×1×1=言，其表面积是2××1×1+2×号×1×V2=1 +2. 14.(15分)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与 BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点. (1)求证：DE∥平面ACF; (2)求证：BD⊥AE; 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 (3)若AB=√2CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE？ 若存在，求出器的值；若不存在，请说明理由： 解：(I)证明：设CB=a,CD=b,C正=c,则{a,b,c}构成空间向 量的一组基，且|a|=|b|,ab=bc=ca=0. 依题意得D2=C2-CD=c一b,CA=CB+BA=a十b,C京=(CB+ c)=a十号c 设DE=xCA十yC(x,y∈R),则c-b=x(a十b)十y(号a+c) (x+y)a十h+vc (x+y=0, x=-1, x=-1, 解得 因此 y=2 y=1, 又CA与C下不共线，所以DE,CA,C下共面 又直线DE不在平面ACF内， 所以DE∥平面ACF (2)证明：依题意得BD=BA+BC=b-a,A正=AC十C它=AD十DC十 CE=-a-b+c=c-a-b, 则BD·A正=(b-m)(c-a-b)=-b2+2=0, 因此BD⊥A正，从而BD LAE (3)由AB=√2CE,设|a|=|b|=2,则|c|=V2 假设在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE. 由O,G,E三点共线，设CG=(1-2)C正+Cò=a十号b十(1-) c(0≤1≤1)， 则一定有CG⊥DE,而D正=c-b, 所以CGD定=[λa+入b+(1-入)c](c-b)=(1-)c2-支b2=2-41 =0,解得1=支， 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 易知CGLBD,所以，点G是线段EO的中点时，满足题意，此时需= @创新拓展 15.(5分)已知四面体O-ABC,G1是△ABC的重心，G是OG1上一点， 且OG=3GG,若O元=xOA十yO苑十0元，则(x,y,z)为() A.(,) B.(年，，) C.(,) D.(号，) 答案：A 解析：如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E,则点E为BC的 中点，所以A正=(AB+AC)=(OB-2OA+oOC),AG1=号A正- (O范-20A+0元)，因为O元=3GG1,所以O心=0G-(OA+ AG1)=(OA+号Oi-号OA+号OC)=OA十OB十0C.所以x=主， y=字，之=.故选A. G 16.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M 在PG上，且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB, PC于点D,E,F,若PD=mPA,PE=npB,P厅=P元，求证：点十 是十为定值，并求出该定值， D G 证明：连接AG并延长交BC于点H,连接D(图略) 由题意，可令{PA,PB,PC}为空间的一组基， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 则PM=PG-PA+AG)=PA十是×号Ai=PA+×AB+ AC)=PA十(PB-PA)十PC-PA)=PA十PB十PC 因为点D,E,F,M共面， 所以存在实数几，u使得DM=DE十DF, 即PM-PD=(PE-PD)十PF一PD), 所以PM=(1-2-w)PD+2PE+PF=(1-元-)nPA+nPB十t PC, 由空间向量基本定理， 知字=(1-入-u)m,寺=n,章=ut, 所以品+员十=4(1-1-m)十41十4=4， 即品十品十为定值，定值为4 ·独家授权侵权必究·