3.2 空间向量与向量运算-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§2空间向量与向量运算 2.1从平面向量到空间向量 白题 基础过关 限时：20min 题组空间向量的基本概念及理解 5.（多选)下列说法正确的是 1.(2025·广东深圳高二月考)下列命题是真命 A.空间的任意三个向量都不共面 题的是 ( B.空间的任意两个向量都共面 A.空间向量就是空间中的一条有向线段 C.三个向量共面，即它们所在的直线共面 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.若三个向量两两共面，则这三个向量不一 C.任一向量与它的相反向量不相等 定共面 D.向量BA与向量AB的长度相等 6.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 2.(多选)(2025·陕西西安高二期中)下列命题 IABI=3,IADI=2,IAA1I=1,E,F分别是 为真命题的是 AB,AA1的中点，则在以八个顶点中的两个分 A.若空间向量a,b满足Ia1=Ib1,则a=b 别为起点和终点的向量中： B.在正方体ABCD-AB,C,D1中，必有AC= 4,C C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p, 则m=p (1)单位向量是 D.空间中，a∥b,b∥c,则a∥c (2)A4的相反向量是 3.下列关于空间向量的说法中正确的个数是 (3)EF的共线向量为 ( (4)模为5的向量是 ①若向量AB,CD满足IAB1>1CD1,则AB>CD; 7.如图所示，在正四棱台ABCD-AB,C,D1中， ②将空间中所有的单位向量移到同一个起点， 以A,B,C,D,E,A1,B1,C1,D1这九个点中的两 则它们的终点构成一个圆； 个点为向量的起点和终点，分别写出满足下列 ③零向量与任意向量共线： 条件的向量. ④若向量AB,CD共线，则A,B,C,D四点不 (1)与BC平行且方向相同的向量； 定共面 (2)与AD相等的向量. A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025·广东汕头高二月考) D 如图，在底面为正方形的平 行六面体ABCD-A'B'C'D'的 棱中，与向量AA'模相等的向 量有 A.0个 B.3个 C.7个 D.9个 第三章黑白题073 2.2空间向量的运算 第1课时空间向量的加减与数乘运算 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量的加减运算 题组3向量共线与共面问题 1. 人教B版教材习题已知四棱柱ABCD- 5.（多选)下列说法中错误的是 ( AB,C1D1的底面ABCD为平行四边形，且 A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 AB=a,AD=b,AA:=c,BD= ( B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 A.a+b+c B.-a+b+c C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 C.a-b+c D.-a+b-c D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.(2025·广东深圳高二期中)在空间四边 6.下面关于空间向量的说法正确的是（ 形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等 A.若向量a,b平行，则a,b所在直线平行 的是 ( B.若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b A.AC+CD B.AC+BC 不共面 C.D元+CB-DA D.AC+BD-BC C.若A,B,C,D四点不共面，则AB,CD不共面 题组2空间向量的数乘运算 D.若A,B,C,D四点不共面，则AB,AC,AD不共面 3.如图，已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为线 7.(2025·陕西西安西工大附中高二月考)在下 段AB,0C的中点，且0A=a,0店=b,0元=c,用 列条件中，使M与A,B,C一定共面的是 a,b,c表示M,则M等于 ( ( A.2(c+a+b) B.2(b-a-c) A.0M=0A-0-0d C 2(a-c-b) 1 D.2(c-a-b) B.oi=写oai+oi+oc D C.MA+MB+M元=0 D.0M+0i+0i+0元=0 8.(2025·河南许昌高二期中)已知0是空间任 -- 意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共 (第3题) (第4题) 4.人教A版教材变式(2025·福建厦门高二期 线，但四点共面，且0A=2xB0+3yC0+4zDd, 中)如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D1 则4x+6y+8z= () 中，M为AC和BD的交点，若AB=a,AD=b, A.2 B.-2 c.1 D.-1 AA1=c,则下列式子中与MB,相等的是( 9.(2025·安徽毫州一中高二月考)设e1,e2是 A. 1 1 两个不共线的空间向量，若A=2e1-e2,B元= B.2a+2b-c 2 3e1+3e2,CD=e1+he2,且A,C,D三点共线，则 11 C.- 11 atbic 21 D.- 2a-2bte 实数k的值为 选择性必修第一册·BS黑白题074 第2课时空间向量的数量积 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量数量积的概念及运算 题组4空间向量的模 1.（2025·河北唐山高二期中)关于空间向量a, 7.（2025·广东湛江高二期中)如图，在平行六 b,c,下列运算错误的是 ( 面体ABCD-AB,C,D1中，底面是边长为1 A.a·b=b·a 的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1= B.(a+b)·c=a·c+b·c 3,则AC,的长为 C.(λa)·b=入(a·b) A.3 B.√/13 D.(a·b)c=a(b·c) 2.(多选)(2025·陕西西安高二月考)已知空间 C.4 D.17 四边形ABCD每条边和对角线长都为a,点E, F,G分别是AB,AD,DC的中点，则下列向量 B 的数量积等于a2的是 ( A.2AB.AC B.2AD.DB C.2FC.AC D.2EF.CB (第7题) (第10题) 题组2空间向量的夹角 8.(2025·安徽蚌埠高二月考)已知空间向量a, 3.(2025·山西大同高二期中)已知a,b是空间 b,c两两夹角均为60°，其模均为1，则1a+ 2则 两个向量，若1a1=2,1b1=2,a·b= b-2cl= cos(a,b〉= 9.在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成 4.(2025·广东深圳高二月考)在四棱锥 60°角，且OA=0B=0C=2,E为OA的中点，F P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底 为BC的中点，则E,F间的距离为 面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点， 题组5空间向量的投影向量与投影数量 则PD与BE的夹角余弦值为 10.（2025·江西上饶高二月考)如图，在八面 题组3空间向量垂直的应用 体ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底 5.(2025·山东临沂高二期中)已知空间向量4， 面ABC,且AE=BE=AF=CF,则下列向量中 b,1al=1,1b1=√2，且a-b与a垂直，则a与 与向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是 b的夹角为 ( A.60° B.30° C.135° D.45° A. 6.如图，三棱锥0-ABC中， .2 LAOB=LBOC=LAOC= 3,0 D.-BC-A元 0A=20B=2,若CB⊥OA,则 11.在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2,AA'=3, 0C= () 则向量AC在AB方向上的投影数量与向量AC A.1 B.2 C.√2 D.√3 在A'A方向上的投影数量之和为 第三章黑白题075 黑题 应用提优 限时：50min 1.(2025·浙江绍兴高二期中)已知动点Q在 A.P,A,B,C四点可以共面 △ABC所在平面内运动，若对于空间中任意 一点P,都有P=-2P+4P+mC,则实数m B.P( 的值为 A.2 B.0 C.-1 D.1 C.1E=2 2.(2025·山东潍坊高二期中)A,B,C,D是空间 不共面的四点，且满足A店·AC=0,AC·AD D.cos(A,c币= 6 0,AB.AD=0,M为BC的中点，则△AMD是 6.已知空间向量a,b,a1=2,1b1=1,〈a,b》= ( 60°，则使向量a+入b与入a-2b的夹角为钝角 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 的实数入的取值范围是 3.（2025·江西赣州高二期中)如图，在三棱 7.(2025·河北秦皇岛高二期中)如图，已知PA1 锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD=4, 平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则 ∠BC0-点E为AC的中点，则成.励 向量PC在BC上的投影向量等于 D (第7题) (第10题) A.8 B.4 C.-8 D.-4 8.(2025·河南洛阳高二月考)在长方体 4.（多选)(2025·山东枣庄高二月考)在四面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=√3，AD=22, P-ABC中，下列说法正确的是 P为CD1的中点，M为BC的中点，则AM与 A.若而-}d+号应，则C-2顾 PM所成的角为 B.若Q为△ABC的重心，则3P0=PA+9.在三棱锥0-ABC中，0A1OB,0A1OC, PB+P元 ∠B0C=60°，OA=OB=OC=2,若E为OA的 C.若PA.B元=0，P元.A=0,则A元.P=0 中点，F为BC的中点，则EF= D.若四面体P-ABC的棱长都为a,点M,N分 10.(2025·四川成都高二期中)如图，已知二面 别为PA,BC的中点，则1M=号 角-l-B的大小为60°，A,B两点在棱1上， 5.（多选)(2025·江苏无锡高二月考)已知空间 线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平 单位向量PA,PB,PC两两夹角均为60°，PA= 面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=BD= 2P它，BC=2B产，下列说法中正确的是( 6,则CD的长度为 选择性必修第一册·BS黑白题076 11.(2025·山东泰安高二月考)如图，在长方13.如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥ 体ABCD-A1B1C1D1中，AB=A41=2,AD=4, PC,PB⊥PC,PA⊥PB,求证：P在平面ABC E,F分别为AB1,AD1的中点.计算： 上的射影H是△ABC的垂心. (1)BC.ED (2)B.AB; (3)EF.FC. 12.人教A版教材变式(2025·广东深圳高二期 中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C,D 中，底面ABCD是边长为1的正方形， ∠BM4,=∠DA=3,4M=4 压轴挑战川 (1)求AC1的长； (2)若M,N分别为DC1,CB,的中点，求 1.(2025·四川南充高二月考)已知 AC与M的夹角余弦值 EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，点M在正方体表面上运 MF的最小值为 A.-48 B.-32 C.-16 2.已知空间向量0A,0B,0C两两夹 角均为写，且10i=10i=101. 若存在非零实数入，，使得0P=入(OA+0B), B0=u(0元-OB),且0p.P0=B0.P=0, 则入= 进阶突破拔高练P06 第三章黑白题07§1阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：由题图可知，A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),由中点坐标 公式可得BC的中点坐标为(1,1,0)，根据空间两点间距离公式得 BC边上的中线的长为√2+12+(-1)下=3故选C. 2.B解析：由题意，点A(4,-2,8)到平面z0x的距离与其到平面y0z 的距离的比值等于子引-分故达品 3.ACD解析：因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1= 3,所以点B1的坐标为(4,5,3)，故A正确.C1(0,5,3),B(4,5,0),设 25,*3 点G关于点B对称的点为(00)，则宁=4，。5。 ”2=0, 解得x0=8,yo=5,o=-3,则点C1关于点B对称的点为(8,5，-3)， 故B错误由立体几何的特征知，点A关于直线BD1对称的点为 C1(0,5,3),故C正确.由立体几何的特征知，点C关于平面ABB,A 对称的点为(8,5,0)，故D正确.故选ACD 4.B解析：·点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，∴，可设点 B(m,1-m,0),由空间两点之间的距离公式，得IAB1= √/（-1-m)2+[-1-(1-m)]2+(2-0)2=√2m2-2m+9,令t=2m2-2m+ 9=2(。）广，只当m=号时的装小值为号当m=号 时.4a的最小富为，√受-区年4，B丙点问的是短距离是 ” 故选B. 5.ABD解析：设空间一点的坐标为(x,y,z),方程z=0,说明点在坐标平 面x0y,故A正确；x2+y2+z2=1可化为√(x-0)2+(y-0)2+(z-0)2=1, 表示以坐标原点为球心，1为半径的球面，故B正确：方程x2+y2=1可 化为√(x-0)2+(y-0)2=1,表示以z轴为轴，1为半径的圆柱面，故C 不正确：由方程x2+y2=0可得x=y=0,所以表示z轴，故D正确.故 选ABD. 6.(1,-3,2)解析：由题意知，在空间直角坐标系0-xyz中，点P(a, b,2a)关于平面z0x的对称点为Q(a,-b,2a),又Q(2-a,-b,b+5), (2-a=a, 所以b=6,解得=1；所以点P的坐标为(1，-3,2).故答案为 b=-3. b+5=2a, (1,-3,2). 7√而解析：由题意，点A(1,7,2与点8(2,0，-1的空间直角坐标分别 为(0,1,2)，(2c0s0,2sin0,-1),所以14B1=√4cos20+(2sin0-1)2+9= √14-4in0≥√/10，当且仅当sin0=1时等号成立故答案为√10. 8.解：(1)由题意，知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).由 IPB1=21PAI可知，点P为线段AB的三等分点（靠近点A),故P1, 号，子)，所以M(1,行，子），所以up1 *+(兮-（号号2 3 (2)因为点P是面对角线的中点，所以P(,子，子），而点Q 在面对角线DC上运动，故设点Q(a,1,a),a∈[0,1]，则1PQ1= a-i2+(1-)+(a-√2x2-a+- √2(a)+尽，ae[0,1,所以当a=是时，1P01取得最小 6 选择性必修第一册·BS §2空间向量与向量运算 2.1从平面向量到空间向量 白题 基础过关 1.D解析：对于A,有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二 者完全等同起来，故A错误：对于B,不相等的两个空间向量的模也 可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误；对于C,零向量的 相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误：对于 D,BA与AB仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确，故选D. 2.BC解析：对于A选项，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅 模要相等，而且还要方向相同，而A中向量α与b的方向不一定相 同，故A为假命题.对于B选项，AC与AC的方向相同，模也相等，故 A元=A1C,故B为真命题对于C选项，向量的相等满足传递性，故C 为真命题.对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当b=0时， 与c不一定平行，故D为假命题.故选BC. 3.A解析：对于①，向量作为矢量不能比较大小，故①错误；对于②，将 空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个 球面，所以②借误：对于③，零向量与任意向量共线，所以③正确；对 于④，若向量AB,C⑦共线，则A,B,C,D四点不一定共线，但一定共 面，故④错误故选A. 4.C解析：由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量 A4模相等的向量分别为A,BB,B方，CC,C元，DD,Di,共7个.故 选C. 5.BD解析：对于A,如图所示，在正方体中， D C AA,A店，BB三个向量共面，故A错误；对于 A B,通过平移，两个向量的起点总可以在同一 点，故任意两个向量都共面，故B正确；对于 C,如图所示，AB,A,D心三个向量共面，但 Di- 它们所在的直线不共面，故C错误；对于D, 如图所示，在正方体中，A1B,A店，D元三个向 量两两共面，且这三个向量共面；在正方体中，AA,A,A三个向量 两两共面，但这三个向量不共面，故D正确. 6.(1)AA,A A,BB,B B,CC,CC,DD,DD (2)AA,BB,C C DD (3)A B,BA,CD,D:C (4)AD:,D A,A D,DA,BC,CB, BC,CB 解析：(1)因为1AM1I=1,所以单位向量有AM,41A,BB,B1B,CC, C,C,DD,D1i.(2)AA的相反向量为A1A,B1B,C1乙，D,i.(3)E的 共线向量为A1B,BA,CD,Dt.(4)由于长方体左、右两侧的面的对 角线长均为5，故模为5的向量有AD,D1A,A1i,DA,BC,C1B, B C,CB. 7.解：(1)与BC平行且方向相同的向量有：B1C,A,A1D,4正，E (2)与AD相等的向量有：BC. 2.2空间向量的运算 第1课时空间向量的加减与数乘运算 白题 基础过关 1.B解析：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BD=B+B武+B1=-AB+ AD+AA1=-a+b+c.故选B. 2.C解析：在空间四边形ABCD中，对于A,A心+Ci=A≠A店，A错误： 对于B,A花+B元≠A花，B错误；对于C,D元+C-Di=D成-Di=A应，C正 确；对于D,A元+Bi-B武=A元+C=A≠A店，D错误故选C. 3.D解析：点M,N分别为线段AB,OC的中点，则M=Mi+Ad+O= 号-ai+号成分o耐-)-i+号成成-号成+ 0成=(ca-b),放选D 2 4.A解析：因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的 交点，又店=a,市=b,=c,所以M丽=城+B丽=2成+d 黑白题048 -动+d号访}动子1e故选A 四方法总结 用已知向量表示指定向量的方法： (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示 出来. 5.ABC解析：A.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误：B.在 空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误；C.在平面内 共线的向量在空间一定共线，故错误；D.在空间共线的向量，平移到 同一平面内一定共线，故正确.故选ABC. 6.D解析：对A:若非零向量a,b平行，则a,b所在直线可能平行，也 可能重合，若其中一个向量为零向量，则α，b所在直线位置关系不确 定，故错误；对B:若向量a,b所在直线是异面直线，则a,b可以通过 平移从而共面，故错误：对C:若A,B,C,D四点不共面，则AB,C可 以通过平移从而共面，故错误：对D:若A,B,C,D四点不共面，则AB, AC,A可以两两共面，但是三个向量无法共面，故正确故选D. 7.C解析：对于A,由于OM=0A-O店-0心不满足右边式子的系数和为 1,所以四点不一定共面，故A错误；对于B,由于O成=】O成++ 成，不调足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故B错 误；对于C,由Mi+M+M心=0可得M=-M-M心，根据向量共面定 理，结合三向量有公共点，可知四点一定共面，故C正确；对于D,由 0M+0A+0+0元=0可得0M=-Oi-0-0元，不满足右边式子的系数 和为1，所以四点不一定共面，故D错误故选C. 8.B解析：由0i=2xBd+3yCd+4zDd,得0i=-2x0i-3y0元-4z0i! 而0是空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四 点共面，因此-2x+(-3y)+(-4z)=1,即2x+3y+4z=-1,所以4x+6y+ 8z=-2.故选B. -解析：A=2e1-e2,BC=3e1+3e2,Ci=e1+e2,A花=AB+ B元=5e1+2e2又：A,C,D三点共线，.Ad∥Ci.:e1,e2不共线， 衣-5d2-5=0=号放答案为号 第2课时空间向量的数量积 白题 基础过关 1.D解析：根据空间向量数量积的运算律可知a·b=b·a,(a+ b)·c=a·c+b·c,(Aa)·b=入(a·b)均成立，即A,B,C正确； (a·b)c为与c共线的向量，a(b·c)为与a共线的向量，所以(a· b)c与a(b·c)不一定相等，故D错误故选D. 2.AC解析：由题意易知在空间四边形ABCD中，AB,AC夹角为60°，所 以2AB·AC=2×|AB1×|AC1cos60°=a2,故A正确：AD,DB夹角为 120°，所以2A.DB=2×1A1×1DB1cos120°=-a2,故B错误；因为 点F,C分别是AD,DC的中点，所以FG∥AC且IF忘=子，所以 Ad,F心夹角为0°，所以2F元.A花=2x1F心1×1A心1cos0°=a2,故C正 确；因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD且IEI= 子励1，所以成，成夹角为120，所以2成.成：2×11× 1Gds120=子2放D错误放选AC 3日解折ab宁放oma,B)-日i流令故答案为日 4V0解析：由于PAL底面ABCD,AD,BC平面ABCD,所E PA1AB,PA⊥AD,而底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD,Pi=A市-A =v-=6425,成=2（励+=( 2 +动，所以感=之=子4+46=6，市. 参考答案 破子(d-动)·（心-店+动=分×(16-4）=6所以P市与成的 夹角余弦值为6=V30 25×后10故答案为0 5.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= a-1al.1 tb1ow(,wb=1-反osaa,)=0,所以cmab-又 0°≤(a,b〉≤180°，所以(a,b〉=45°.故选D. 6.A解析：由题意可知C=O成-Od,而CB⊥0A,故C⊥Oi,:.C. 0i=0,即(0i-0心)·0i=0,所以0成.0i-0元.0i=0,则1×2× cs号-210d1,6m号=-0，解得10d1=1,即0C=1,故选 7.D解析：因为A花=A应+B武+CC=A店+A市+A,所以1AC12= (A成+A市+A)2=A+A+A+2A店.A市+2A店.AM+2A市， =11+9+2x0+2x1x3x+2x1x3x3=17,即1aG1=万，故 选D. 8.3解析：la+b-2cl=√(a+b-2c)7= √a2+b2+4c2+2a·b-4a·c-4h·c= √/1a2+lb12+4lc2+2lal·1b1cos60°-4lal·lclcos60°-4Ib1·1 clcos60 =/1+1+4+2x1x1×2 41141x1x=.故答案为6 9万解桥：应=+a+(应+)=号+[（应 oi+(成-o1=oii+元=o+脉， 4成x(号）好成.i2x(号）兮d.元2x好 号成.0心=2=，即E,F间的距离为反 10.C解析：取P,Q分别为AC,AB的中点，连接FP,EQ,PQ,因 为AE=BE=AF=CF,所以EQ⊥AB,FP⊥AC.因为平面ABE⊥平 面ABC,平面ABE∩平面ABC=AB,EQC平面ABE,所以EQ⊥平 面ABC,同理可得FP⊥平面ABC,所以向量EF在平面ABC上的投 影向量为0耐，且亦-}成故选C, 11.-1解析：由图可知，向量A花在AB方向上的投影数量为1A心1· cosLBAC=A1=2,向量AC在A'A方向上的投影数量为1AC1· cos(T-∠A'AC)=-1AM1=-3,所以向量A元在A店方向上的投影数 量与向量AC在A?方向上的投影数量之和为2-3=-1.故答案为-1. B B 黑题 应用提优 1.D解析：由题意可知Q,A,B,C四点共面，且P=-2P+4P 黑白题049 mP元，则-2+4+(-m)=1,所以实数m的值为1.故选D. 2.C解析：因为M为8C的中点，所以矿=之(+心)，可得矿. 市=（应+衣）·市=号应.市+花.市=0，所以成1市， 即AM LAD,可得△AMD是直角三角形.故选C. 3.B解析：破-（威+心），成.市=成.市+成 市-0+44议写=4放选B 4c解析：对于A:亦=}花+子应3市=衣2应2诚 2A成=A心-A市，.2B励=D元，.3B励=Bi+Dd,即B成=3B励，故A错 误；对于B:若Q为△ABC的重心，则Qi+Q+Q元=0，.3P=3P+ Qi+Q+Q元=Pi+P+P元，故B正确；对于C:Pi·B武=0，P元· A店=0，.pi.B武+Pt.AB=pi.B武+P元·(Ad-BC)=pi·B武+ P庇.At-Pt.Bt=(Pi-Pt).B就+P元.A花=C.B武+P元.A花= A花.C+P元.A花=A花.(C+P心)=A花.P店=0，故C正确；对于D: -成-成2(ndp成(i+成-im }in成-pi,又n成-威i =√Pm+PB2+P02-2Pi.Pi-2Pi.Pt+2Pi.P元 otoo-2aaxt-2.aak3v2.aax7-a. 1m1-气，放D错说故选C 5.BC解析：由于单位向量Pi,P,P元两两夹角均为60°，所以P· Pi-pi.Pt-nt.P店=1x1xos60°=2假设PA,B,C四点可以 共面，则P,P,P心共面，所以存在x,y,使得P=xP+yP元，分别用 成，破，武=：y成点乘，则}+，由于该方程组无 .1 11 22*+y, 解，所以不存在x,y,使得Pi,P店，P心共面，故P,A,B,C四点不共面， 故A错误；对于B,Pi.(B武+AC)=P.(P元-P+P元-P)=P. (2成=171=分，放B正确：对于c,由可=2店得 }=店，由武-2成得元-成=2成-2店时心，庐所以 -pi-in心+-则11_nd+P-pi-√nn }V成，，+2武.n-2武.-2p- 之111可可=竖放c正确；对于D,衣-市-。 可在，市成尼分 2 2 2 4,放cs(矿，G<0,放D错误放达BC 6.（-1-5,-1+3)解析：由题意知a+b):（a-2b)<0, cos(a+λb,λa-2b〉≠-1， 08:491a61-a-.-15-15 1.成解扬：PAL平面ABC,.PAC,元.成=(i++ 选择性必修第一册·BS B脑·Bd=pi,Bi+M店：Bd+Bd.Bd=0+6x6x+6=54,向量 戒在成上的技影有量为心配，广。成：成故答案为 IBCIIBCI 36 成 8.90°解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为CD1的中点，M为 BC的中点，且AB⊥AD,AB1AA1,AD⊥AA1,则A=A店+BM=A店+ 号动，成成-亦-+2市-（试+可-店+号市-（属 4可+0内=应+本-（团+动+应）应市-d。 所以成.成=(+市）小·（分访市-试）瓜 2-破.+动.成亦-动.杯=分×4 子×8=0，即L成，则AM与PM所成的角为90故答案为90 9.2解析：成=o成-o成=(oi+0心)-2o成2=}(o+ 心-oi2=(oi+0心+0亦+20i.0d-20i.o-20d.0. 又由已知得10i1=101=101=2,Oi1O成，010，O成.0元=2× 2x了=2剂2=×(4+4+4+4)=41=2，即EF=2故答 案为2. 10.2√13解析：因为线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB,又二面角a-l-B的大小为60°，所以(CA,B)= 180°-60°=120°.因为Ci=CA+AB+B,所以C市=C2+A+B+ 2C.Ai+2Bi.C+2A店.B=62+42+62+2×0+2×6×6× (号）2x0=2所以-2v万，所以0m的长度为2v佰放 答案为2√13. 11.解：(1)设A店=a,A=b,A4=c,则1al=lc1=2,1b1=4,a·b= 。c=ca=0,武=子(ca),成.前-成.（武+4）=6 (2)脉.瓜=(m+·(+d)=（c-a+之b）(a+ c)=c2-a2=22-22=0. (3)成.P元=（武+（丽+nG=[分(-+ 动]（分动）[片e-)+2](分*） 12.解：(1)1A1=A1=1,1AA1=4,且A店.A币=0，A店.AA=A市. AA=1×4×c0s60°=2.因为AC=A店+A+A4,所以1AC12= (A+Ad+A)2=A店12+A市12+1AA12+2(A店.A市+A店.A4+ Ai.AA)=1+1+16+2×(0+2+2)=26.所以AC1=√26. (2)因为-成-矿-(+矿+2市）（材+d+2) 子动，成.配分（店-动）·(+市+不) 子（前+痛.市+应.众-店.动--动.不） 子(1+042-01-2)=0，所以1C故与不的夹角余孩值 为0. 黑白题050 13.证明：，PA⊥PC,PB⊥PC,PA⊥PB, .Pi.P心=0，P店.Pd=0,Pi.Pi=0,PA1平面PBC .P.B元=0.由题意可知，PH⊥平面ABC, Pi.B武=0，Pi.A成=0，Pi.A元=0. .Ai.B武=(Pi-pi.Bt=Pi.B武-Pi.Bt=0. .Ai⊥BC,.AH⊥BC 同理可证BH LAC,CH⊥AB..H是△ABC的垂心 四方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以通过向量共线 确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. (3)可以通过lal=√a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问 题求解 压轴挑战 1.B解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，其长度为√82+82+82=83.设EF中点为 0,则0市=-02，且101=101=45，则M应· M求=(Md+0)·(Md+0)=(Md+O2)·(Md 02)=1Md12-10212-1Md12-(43)2=10M12- 48.由于点M在正方体表面上运动，故1012的最 小值为0点与正方体一个面的中心连线的长，即为正方体棱长的一 半，为=4，所以店.丽的最小值为4-48=-2放选B 2品是解折：设0d=0=成-1，则0.成-成.成- a,0成-，由动=成-0成=u(成-0.可得0成=μ0成+(1 μ)0成.0市.P=0币.(0-0币)=0币.0-0=a(0i+0成). 0配+1-e)01-(0.:=0,化简得}-3A=00 B或.P=B.(0戒-0)=u(0元-0)·[u0t+(1-u)0成 A(可+01=-0，化简可得-子了u=02,联立02用 [31 22u-3M=0, 解得3 5 故答案为入=业=了 3 11 2+2w=0=1 §3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1空间向量基本定理 白题 基础过关 1.C解析：对于A,因为BD∥B励，所以AB,A,B1D}中三个向量 共面，不能作为空间向量的基底，A错误；对于B,因为在四棱台中， AB∥C,D,所以{A店，AA,C1D1中三个向量共面，不能作为空间向 量的基底，B错误；对于C,A1D∥A,且A店，A1在，A市不共面，所以 A店，AA,AD}中三个向量不共面，能作为一个基底，C正确：对于 D,因为AM,A元，CC三个向量均在平面ACC,A1内，所以AA,Ad, CC}不能作为空间向量的基底，D错误故选C. 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相 垂直的一组向量故选C 3.0解析：{e1,e2,e3}是空间的一个基底，.e1,e2,e3为不共面的向 量.又：Ae1tue2+e3=0,∴.A=u=u=0,A2+u2+m2=0. 4.D解折由E,G分别是cD,BE的中点，则成-2成，成=动， 花=+成=+2=+子(+成)=+子（花-+ 2动)=+2花2+（励-心）=2+动+}花故 选D. 5.0解析：在四棱柱ABCD-A,B1C,D1中，底面ABCD是平行四边形， 参考答案 点E为BD的中点，所以A立=A+应+成=A+应+)B成=A+ +2(动)=+2+2动，又4店x+y访+：动所 以=-l1,y=分=分，即t打=0放答案为0 6.A解析：因为C成=C+A应，所以B.C应=BM.(C+A)=B.C+ 威应，又=1d1,=,威，=牙，（威） 行所赋.店11a号1x宁om行故选 7.D解析：如图，以{A,A心，A!为基底，则 IA1=IA元I=IAiI=6,∠BAC=∠BAD= LCAD=60°，所以A店.A花=A店.A市=A元. Ai=6×6×c0s60°=18.因为P=A0-A=B-: 0 所以=（号+衣市） 号+号+子破.元号应.心亦 16+9+9-12-12+9=19.所以P1=√9.故选D. 8.证明：设A=a,AA=b,Ad=c,有a·b=0,a·c=0,c·b=0,则 店，d动为一个正交基底，则成-丽+B产=子（丽+ B,)=之(+励)=之(+动-)=子(b+e-a),品-+ B丽=+=a+b成.品=2(b+e-a）·(a+b)=之(b12- |aI2)=0,EF⊥AB1.同理可得EF⊥B1C.AB1∩B1C=B1,EF⊥ 平面B1AC. 黑题应用提优 1.A解析：由空间向量基本定理可知若向量a,b与任何向量都不能构 成空间的一个基底，则一定有a与b共线.故选A. 2.AC解析：对于选项ACD,由OM=xOi+yO+zO元(x+y+z=1),可 得M,A,B,C四点共面，即MA,M,Md共面，所以选项A中，M,M成， MC不共面，可以构成基底；选项C中，MA,M店，MC不共面，可以构成 基底；选项D中，因为60M=0i+20+30心，所以0成=10i+ 号0成0成，可得M,AB,C因点共面，即.应，正共面，无法构 成基底，故选项D错误：对于选项B,根据平面向量基本定理，因为 MA=M+M元，得MA,M店，M心共面，无法构成基底，故选项B错误故 选AC. 3B解析：因为成-2庄，所以成：成，所以店-店-而-+ 成-(+M)=+多武-(+)=+子市-(+)= 戒+1A市-故选B 2 4.ACD解析：对于A,由空间向量基本定理，可知只有当ij,k不共面 时，i,j,k才能作为基底，才能得到m=xi+y+zk,故A错误；对于B,若 {ij,k}是空间的一个基底，则，j,k不共面，设i-3对=入(U+k)+ (入=-3， 4(k-2i)=ji-2i+(入+)k,则{-2μ=1，因为入，u无解，所以i-3j, （λ+4=0. +k,k-2i也不共面，所以{i-3jj+k,k-2i}也是空间的一个基底，故 B正确：对于C,若i⊥j,k⊥j,则i,k不一定平行，故C错误；对于D, 若i,j,k所在直线两两共面，则i,j,k不一定共面，故D错误故 选ACD. 5.解：存在.假设存在实数入，4，v使a4=Aa1+μa2+ua3成立，则有3i+2j+ 5k=入(2i-j+k)+u(i+3j-2k)+v(-2i+j-3k)=（2入+u-2u)i+(-入+ 3μ+v)j+(入-2-3v)k.:{ij,k}是一个基底，∴.ij,k不共面. 黑白题051