2.4.1 直线与圆锥曲线的交点(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 一、选择题 1.[2024·辽宁大连高二期中] 已知椭圆C:+y2=1,直线l:x-2y+=0,则l与C的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.相交 B.相切 C.相离 D.以上选项都不对 2.已知点P是抛物线y2=2x上任意一点,则点P到直线l:x-y+=0的距离的最小值为 (　 ) A. B. C. D.2 3.已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的位置关系是 (　 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定,与m的取值有关 4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线准线上一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线交点个数的可能取值构成的集合为 (　 ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{1,2} 6.已知斜率为k(k>0)的直线l过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F,且与抛物线E交于A,B两点,直线l与圆x2+=p2交于C,D两点.若|AB|=2|CD|,则k的值为 (　 ) A. B. C.1 D. 7.(多选题)已知直线l的方程为ax-y+1=0,a∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.直线l与抛物线x2=2y有两个交点 B.直线l与椭圆+y2=1一定有两个交点 C.直线l与圆(x-1)2+y2=4一定有两个交点 D.满足与双曲线-y2=1有且只有一个交点的直线l有2条 8.(多选题)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“A型直线”.下列方程表示的直线是“A型直线”的是 (　 ) A.x-2y+6=0 B.x-y=0 C.2x-y+1=0 D.x+y-3=0 二、填空题 9.[2024·江苏南通高二期中] 写出满足下列两个条件的双曲线C的一个方程:　　　　　　.  ①实半轴长为,焦距为4; ②直线y=x-3与C的一支有2个公共点. 10.过抛物线y=x2上的点M(1,1)且与抛物线只有一个公共点的直线的方程为　　　　　　　　　　　.  11.[2024·江西抚州高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)上的点到焦点的最小距离为1,且C与直线y=x无交点,则a的取值范围是　　　　.  12.若关于x的方程=x+b有且只有一个实根,则实数b的取值范围为　　　　　　.  三、解答题 13.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F在直线x-y+1=0上. (1)求抛物线C的方程; (2)设直线l经过点A(-1,-2),且与抛物线C有且只有一个公共点,求直线l的方程. 15.[2024·浙江金华高二期中] 已知经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB=　　　　.  16.若关于x的方程k(x+4)-1=有解,则k的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 1.A　[解析] 由消去y并整理得x2+x-1=0,显然Δ=()2-4×1×(-1)=6>0,因此方程组有两组不同的解,所以l与C相交.故选A. 2.D　[解析] 设与抛物线相切,且与直线l平行的直线的方程为x-y+m=0.由整理得y2-2y+2m=0,所以Δ=4-8m=0,解得m=,所以满足条件的切线方程为x-y+=0,切线与直线l之间的距离d==2,即点P到直线l的距离的最小值为2.故选D. 3.A　[解析] (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0整理得m(2x+y-7)=-x-y+4,由得 所以直线l恒过点(3,1).因为+=<1,所以点(3,1)在椭圆的内部,因此直线l与椭圆C相交,故选A. 4.D　[解析] 由消去y,整理得(k2-1)x2+4kx+10=0,由题可知,方程(k2-1)x2+4kx+10=0有两个不同的正根,分别设为x1,x2,则 解得-<k<-1.故选D. 5.B　[解析] 由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=-,设点P,则线段PF的中点为,kPF=,当m≠0时,直线l的斜率k=,所以直线l的方程为y-=x,由得y2-2my+m2=0,因为Δ=4m2-4m2=0,所以直线l与抛物线只有一个交点(如图).当m=0时,线段PF的垂直平分线l与y轴重合,此时直线l与抛物线只有一个交点.综上,直线l与抛物线交点个数的可能取值构成的集合为{1},故选B. 6.C　[解析] 由题易知抛物线的焦点为F,直线l的方程为y=kx+,由得x2-2pkx-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2pk,又y1=kx1+,y2=kx2+,∴y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p,∴|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p.圆x2+=p2的圆心为F,半径为p,∴|CD|=2p,∵|AB|=2|CD|,∴2pk2+2p=2×2p,解得k=±1,∵k>0,∴k=1.故选C. 7.AC　[解析] 由题知直线l过定点M(0,1).对于A,因为点M(0,1)在抛物线x2=2y内部且直线l的斜率存在,所以直线l与抛物线x2=2y有两个交点,故A正确;对于B,M为椭圆的上顶点,则直线l与椭圆相交或相切,即有一个或两个交点,故B错误;对于C,因为(0-1)2+12=2<4,所以点M在圆内,则直线l与圆一定有两个交点,故C正确;对于D,满足题意的直线l有4条,其中有2条直线与双曲线相切,有2条直线与双曲线的一条渐近线平行,故D错误.故选AC. 8.BC　[解析] 因为|PM|+|PN|=4>|MN|=2,所以可得点P的轨迹为焦点在x轴上,对称轴为坐标轴的椭圆,且长轴长2a=4,焦距2c=2,所以短轴长2b=2,所以椭圆的方程为+=1.由“A型直线”的定义可知,要为“A型直线”,则此直线必与椭圆有公共点.对于A,由 整理得2y2-9y+12=0,所以Δ1=81-96<0,方程组无解,所以直线x-2y+6=0不是“A型直线”;对于B,直线x-y=0是过原点的直线,必与椭圆相交,所以直线x-y=0是“A型直线”;对于C,因为直线2x-y+1=0过点(0,1),且+<1,所以点(0,1)在椭圆的内部,所以直线2x-y+1=0必与椭圆相交,所以该直线是“A型直线”;对于D,由整理得7x2-24x+24=0,所以Δ2=24×24-28×24<0,所以直线x+y-3=0不是“A型直线”.故选BC. 9.-=1(答案不唯一)　[解析] 设双曲线C的虚半轴长为.当双曲线的焦点在x轴上时,双曲线C的方程为-=1(m>0,n>0),因为焦距为4,所以m+n=(2)2=12,则0<m<12,-=1,要使直线y=x-3与C的一支有2个公共点,则直线y=x-3与C的右支有2个公共点,由消去y,得(12-2m)x2+6mx+m2-21m=0,则 即解得6<m<.当双曲线的焦点在y轴上时,双曲线C的方程为-=1(m>0,n>0),因为焦距为4,所以m+n==12,则-=1,要使直线y=x-3与C的一支有2个公共点,则直线y=x-3与C的下支有2个公共点,由消去x,得(12-2m)y2-6my+m2-21m=0, 则即 解得6<m<.综上,满足题意的双曲线C的方程为-=1或-=1(选择一个填写即可). 10.2x-y-1=0或x=1　[解析] 当直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-1),与y=x2联立,可得x2-kx+k-1=0,因为直线与抛物线只有一个公共点,所以Δ=k2-4(k-1)=0,所以k=2,则直线方程为y=2x-1,即2x-y-1=0.当直线斜率不存在时,直线x=1与抛物线也只有一个公共点.故满足题意的直线方程为2x-y-1=0或x=1. 11.[1,+∞)　[解析] 设双曲线C上一点P(x0,y0),双曲线C的右焦点为F(c,0),若|PF|取最小值,则点P在双曲线C的右支上,所以x0≥a,所以|PF|====≥c-a=1,当且仅当x0=a时,等号成立.由可得(b2-3a2)x2=a2b2,因为C与直线y=x无交点,所以b2-3a2≤0,即c2-4a2=(a+1)2-4a2=-3a2+2a+1≤0,因为a>0,所以解得a≥1,即a∈[1,+∞). 12.[-1,0)∪[1,+∞)　[解析] 由题意可知x2-1≥0,可得x≥1或x≤-1,对于y=,可得x2-y2=1,x≥1或x≤-1,y≥0,表示左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),一条渐近线为y=x的双曲线在x轴及其上方的部分,设为曲线C,如图中实线所示.方程=x+b有且只有一个实根即为曲线C与直线l:y=x+b有且只有一个交点.当直线l:y=x+b过点A(-1,0)时,可得b=1;当直线l:y=x+b过点B(1,0)时,可得b=-1.由图可知实数b的取值范围为[-1,0)∪[1,+∞). 13.解:(1)由题意,椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为,可知e==,b==,所以a=2,c=,所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由可得9x2+8mx+2m2-4=0,Δ=64m2-36(2m2-4)=-8m2+144.当Δ=-8m2+144=0,即m=±3时,直线l与椭圆C相切,只有一个公共点;当Δ=-8m2+144>0,即-3<m<3时,直线l与椭圆C相交,有两个公共点;当Δ=-8m2+144<0,即m<-3或m>3时,直线l与椭圆C相离,无公共点.综上所述, 当m=±3时,直线l与椭圆C只有一个公共点; 当-3<m<3时,直线l与椭圆C有两个公共点; 当m<-3或m>3时,直线l与椭圆C无公共点. 14.解:(1)易知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在y轴上,且其开口向上,直线x-y+1=0与y轴的交点坐标为(0,1),则可知F(0,1),所以=1,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y. (2)当直线l的斜率不存在时,直线x=-1与抛物线只有一个公共点,满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1).由得+2=kx+k,即x2-4kx+8-4k=0,因为Δ=16k2-4(8-4k)=16k2+16k-32=0,即k2+k-2=0,所以k=1或k=-2,所以直线l的方程为y=x-1或y=-2x-4.综上所述,直线l的方程为x=-1或y=x-1或y=-2x-4. 15.　[解析] 由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2,与y2=8x联立,得x2-12x+4=0,解得x=6±4.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在第一象限,则x1=6+4,x2=6-4,所以y1=4+4,y2=4-4,所以A(6+4,4+4),B(6-4,4-4),故|AC|==4,|BC|==4,|AB|=x1+x2+4=16.由余弦定理得cos∠ACB===. 16.　[解析] 由题知k≠0,方程y=k(x+4)-1表示过点P(-4,-1)且斜率为k的直线,方程y=两边平方并化简得+y2=1(y≥0),所以y=表示椭圆+y2=1的上半部分.由题可知直线y=k(x+4)-1与曲线y=有交点.椭圆+y2=1的右顶点为B(2,0),所以kBP==.由k(x+4)-1=两边平方得k2(x+4)2-2k(x+4)+1=1-,即x2+(8k2-2k)x+16k2-8k=0,令Δ=(8k2-2k)2-4(16k2-8k)=0,整理得3k2-2k=0,即k(3k-2)=0,解得k=或k=0(舍去).结合题意可知,k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $