4.1直线与圆锥曲线的交点同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学直线与圆锥曲线的交点同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念应用到综合问题解决，覆盖核心知识点，助力数学思维与运算能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一曲线交点计算|单选直接求椭圆与直线交点坐标，夯实联立方程基础| |提升层|多曲线综合应用|填空求双曲线与直线交点的参数范围，强化判别式应用| |综合层|复杂情境与存在性问题|解答题探究双曲线对称点存在性，发展逻辑推理与模型观念|

4.1　直线与圆锥曲线的交点 1.已知斜率为－2的直线经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标分别为（　　） A.（0，－2），　　B.（0，2）， C.（0，－2）， D.（0，2）， 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且仅有一个公共点，则斜率k的值是（　　） A. B.－ C.± D.± 3.已知双曲线方程为x2－＝1，过点P（1，0）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有（　　） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 4.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（　　） A.（－2，2） B.[－2，2） C.（－2，2] D.[－2，2] 5.（多选）若直线x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，则a的值可以是（　　） A.4 B.2 C.1 D.－2 6.（多选）过抛物线x2＝my（m≠0）的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（　　） A.4 B.－4 C.2 D.－2 7.若双曲线C：－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1有两个不同的公共点A，B，则实数a的取值范围为　　　　. 8.已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为　　　　. 9.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为　　　　. 10.已知椭圆C的右焦点F（1，0），离心率e＝，直线l过点F（1，0）且倾斜角为135°，求直线l与椭圆的交点坐标. 11.已知p：“｜a｜＝2”，q：“直线y＝ax＋1－a与抛物线y＝x2相切”，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.设F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线y＝x交双曲线左、右两支于A，B两点，若｜BF1｜，｜BF2｜恰好是Rt△F1BF2的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（　　） A.＋1 B. C.2 D. 13.（多选）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是（　　） A.若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B.若C与l有且仅有两个公共点，则｜m｜＜2 C.若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D.若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 14.已知直线l过点A，且与抛物线x2＝2py（p＞0）只有一个公共点，则直线l的方程为　　　　. 15.已知直线l：y＝ax＋1，双曲线C：3x2－y2＝1，是否存在a∈R使得直线l与双曲线C有唯一的公共点，若存在求出a的值，若不存在，说明理由. 16.已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4对称的两点A，B，求实数k的取值范围. 4.1　直线与圆锥曲线的交点 1.A　由题意知F1（－1，0），故直线AB的方程为y＝－2（x＋1），由得或 2.C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±. 3.B　因为双曲线方程为x2－＝1，则P（1，0）是双曲线的右顶点，所以过P（1，0）并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P（1，0）分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条. 4.A　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2. 5.BD　由题设，双曲线顶点坐标为（±2，0），要使x＝a与双曲线－y2＝1仅有一个交点，所以a＝±2，故选B、D. 6.AB　由题设，抛物线的焦点为（0，），则A，B坐标为（±，），故｜AB｜＝｜m｜，所以S△ABO＝×｜AB｜×＝2，可得m＝±4，故选A、B. 7.（0，1）∪（1，）　解析：将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1（a＞0）中得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.依题意∴0＜a＜且a≠1. 8.2　解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1（a＞2），与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4（a2－3）y2＋8（a2－4）y＋（16－a2）（a2－4）＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2. 9.[1，5）　解析：∵直线y＝kx＋1过定点M（0，1），∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M（0，1）必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m＜5. 10.解：由题意知c＝1，＝，故a＝， 所以b2＝a2－c2＝2－1＝1， 故椭圆的方程为＋y2＝1. 又因为直线l的斜率为k＝tan 135°＝－1且过点F（1，0）， 故直线l的方程为y＝－（x－1）＝－x＋1. 由得3x2－4x＝0，所以x1＝0，x2＝. 故或 故直线l与椭圆的交点坐标为（0，1），. 11.B　p：a＝±2，联立可得x2－ax＋a－1＝0.因为直线与抛物线相切，所以两者只有一个交点，所以Δ＝a2－4（a－1）＝a2－4a＋4＝0，解得a＝2.所以q：a＝2，所以p是q的必要不充分条件，故选B. 12.A　如图所示，由题意可知，｜OB｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜＝c，∠BOF2＝60°，所以｜BF2｜＝c，｜BF1｜＝c，由双曲线的定义可得，c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.故选A. 13.BCD　联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则判别式Δ＝12（8－m2），A：令Δ＝12（8－m2）≥0，则有｜m｜≤2，错误；B：令Δ＝12（8－m2）＞0，则有｜m｜＜2，正确；C：令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12（8－m2）＝0，即m＝±2，直线y＝x＋3与y＝x－2的距离d＝＝5，正确；D：如图，直线y＝x－分别与y＝x－2和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，正确，故选B、C、D. 14.x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p　解析：当直线l斜率不存在时，方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点.当直线l斜率存在时，设l：y－p＝k与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－3kp2＝0，∴Δ＝4p2k2＋4（2p2＋3kp2）＝0，解得k＝－1或k＝－2.∴直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0.综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p. 15.解：假设存在a∈R使得直线l与双曲线有唯一的公共点. 联立⇒（3－a2）x2－2ax－2＝0. ① 当a2＝3，即a＝±时，方程①仅有一解，直线l与双曲线C交于一点； 当即a＝±时，方程①有两个相等的实数解，直线l与双曲线C相交于一点. 综上所述，存在a＝±或a＝±时，直线l与双曲线C恰有一个公共点. 16.解：当k＝0时，显然不成立.当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，代入3x2－y2＝3中，得（3k2－1）x2＋2kbx－（b2＋3）k2＝0. ∴3k2－1≠0，Δ＝（2kb）2－4（3k2－1）·[－（b2＋3）k2]＞0， 即k2b2＋3k2－1＞0， ① 设AB的中点为M（x0，y0），则 ∵点M（x0，y0）在直线l上，∴＝＋4， 即k2b＝3k2－1， ② 把②代入①得k2b2＋k2b＞0，解得b＞0或b＜－1. ∴＞0或＜－1， 即｜k｜＞或｜k｜＜，且k≠0. 故k的取值范围是（－∞，－）∪（－，0）∪（0，）∪（，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $