2.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（一）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质(一) 一、选择题 1.抛物线x2=4y的对称轴是直线 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x=-2 B.y=2 C.y=0 D.x=0 2.在下列抛物线中,开口最小的是 (　 ) A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x 3.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是 (　 ) A.(-m,-n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-n,-m) 4.若坐标原点到抛物线y=mx2 的准线的距离为2,则m= (　 ) A.± B.± C.±4 D.±8 5.已知O是坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P(x0,4)是C上一点,且|PF|=4,则△POF的面积为 (　 ) A.8 B.6 C.4 D.2 6.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C.若|BC|=2|BF|,且|AF|=8,则抛物线的方程为 (　 ) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 7.(多选题)关于抛物线y2=-2x,下列说法正确的是 (　 ) A.开口向左 B.焦点坐标为(-1,0) C.准线方程为x=1 D.对称轴为x轴 8.(多选题) 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则 (　 ) A.△ABF是等边三角形 B.|BF|=3 C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2=6x 二、填空题 9.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点F到准线的距离为1,若点M在抛物线上,且|MF|=5,则点M的纵坐标为　　　　.  10.[2024·上饶高二期末] 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线-y2=1的一个焦点,则p= 　　　　.  11.设O为坐标原点,A,B是抛物线C:x2=2py(p>0)与圆E:x2+(y-8)2=r2(r>0)关于y轴对称的两个交点,若|AB|=|OA|=r,则p=　　　　.  12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,PF交C于M,N两点,且满足=2,则|NF|=　　　　.  三、解答题 13.[2024·浙江台州高二期中] 已知A为抛物线C:y2=4x上的一个动点,F为C的焦点. (1)当|AF|=2时,求点A的坐标; (2)若点B的坐标为(4,0),求|AB|的最小值. 14.已知抛物线E的顶点在原点,焦点为F(2,0),过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P,Q两点. (1)求抛物线的方程; (2)若|FP|=2|FQ|,求k的值. 15.已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点K为点F关于原点的对称点,点M在抛物线C上,则下列说法错误的是 (　 ) A.使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个 B.使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个 C.使得∠MKF=的点M有且仅有4个 D.使得∠MKF=的点M有且仅有4个 16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别相交于点A,B,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为2,则p=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质(一) 1.D　[解析] 因为抛物线x2=4y的焦点在y轴的非负半轴上,所以该抛物线的对称轴为直线x=0.故选D. 2.A　[解析] 在抛物线的标准方程中,一次项的系数的绝对值越小,说明对应抛物线的开口越小.观察四个选项发现,A选项中一次项的系数的绝对值最小,故选A. 3.B　[解析] 由抛物线y2=-13x关于x轴对称易知,点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B. 4.A　[解析] 由题意得,m≠0,抛物线y=mx2的标准方程为x2=y, 则抛物线的准线方程为y=-.由坐标原点到准线的距离为2,得=2,解得m=±,故选A. 5.C　[解析] 由题可知解得所以△POF的面积为×2×4=4,故选C. 6.A　[解析] 如图,过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线与x轴交于G点.设|BF|=a,∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2a.由抛物线定义得|BD|=|BF|=a,故∠BCD=30°.在直角三角形ACE中,∵|AF|=8,∴|AE|=8,|AC|=8+3a,∵2|AE|=|AC|,∴8+3a=16,∴a=.∵BD∥FG,|FG|=p,∴=,即=,∴p==4,∴抛物线的方程为y2=8x.故选A. 7.AD　[解析] 由抛物线的方程为y2=-2x,可知该抛物线开口向左,焦点坐标为,准线方程为x=,对称轴为x轴.故选AD. 8.ACD　[解析] 根据题意作图,如图所示,因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,所以|FA|=|FB|,又∠ABD=90°,所以AB⊥l,又A在抛物线上,所以|FA|=|AB|,所以△ABF为等边三角形,故A正确;因为∠ABD=90°,所以AB∥x轴,过F作FE⊥AB于点E,则点E为AB的中点,点E的横坐标为,点B的横坐标为-,所以点A的横坐标为,则|AB|=2p,所以S△ABF=|AB|2=×4p2=9,得p=3,则|BF|=|AB|=2p=6,故B错误;焦点F到准线的距离为p=3,故C正确;抛物线C的方程为y2=6x,故D正确.故选ACD. 9.　[解析] 抛物线的标准方程为x2=y,其焦点为F,准线方程为y=-,由抛物线的焦点F到准线的距离为1,得=1,可得a=,所以抛物线的标准方程为x2=2y,其准线方程为y=-.设点M(x0,y0),由抛物线的定义可得|MF|=y0+=5,解得y0=. 10.6　[解析] 双曲线-y2=1的左、右焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),因为抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线-y2=1的一个焦点,且抛物线的准线方程为x=-,所以=3,可得p=6. 11.　[解析] 不妨设点A在第一象限,连接OB,易知|OA|=|OB|,因为|AB|=|OA|=r,所以△OAB为等边三角形,故A.将点A的坐标代入x2+(y-8)2=r2,解得r=,则A,将点A的坐标代入抛物线方程x2=2py,解得p=. 12.　[解析] 抛物线C:y2=4x的准线方程为x=-1,因为=2,所以F是MP的中点,设P(-1,t),因为F(1,0),所以M(3,-t),将点M的坐标代入抛物线方程得t2=12,不妨设t>0,则t=2,即M(3,-2).设N,由于M,N,F三点共线,所以=,整理得+4y0-4=0,解得y0=或y0=-2(舍去),所以N,所以|NF|=+1=. 13.解:(1)由题知,抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,设A(x,y),由|AF|=2得x+1=2,解得x=1,将x=1代入y2=4x,得y=±2,所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2). (2)设A(x1,y1),则x1≥0,=4x1, 则|AB|=== ≥2,当且仅当x1=2时,等号成立, 此时|AB|取得最小值,且最小值为2. 14.解:(1)因为抛物线E的顶点在原点,焦点为F(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x. (2)若k>0,不妨设|QF|=a,则|PF|=2a,设抛物线的准线为l,过点P作PH⊥l,垂足为H,过点Q作QG⊥PH,垂足为G,过点Q作QM⊥l,垂足为M.由抛物线的定义可得|PH|=|PF|=2a,|QM|=|QF|=a,所以|PG|=a,在Rt△PQG中,|PG|=a,|PQ|=3a,所以由勾股定理可得|QG|=2a,所以k=tan∠QPG==2. 同理当k<0时,k=-2.综上,k=±2. 15.C　[解析] 因为△MFK为等腰三角形,所以若|KF|=|MF|,则满足条件的点M有2个;若|MK|=|MF|,则满足条件的点M不存在;若|MK|=|FK|,则满足条件的点M有2个.所以使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个,故A中说法正确.在△MFK中,若∠MFK为直角,则满足条件的点M有2个;若∠MKF为直角,则满足条件的点M不存在;若∠FMK为直角,则满足条件的点M有2个.所以使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个,故B中说法正确.若∠MKF=,则当点M在第一象限时,可得直线MK的方程为y=x+,设M,将其坐标代入抛物线的方程,整理可得x2-px+=0,解得x=,满足条件的点M只有1个,当点M在第四象限时,由对称性可得满足条件的点M只有1个,所以使得∠MKF=的点M有且只有2个,故C中说法错误.若∠MKF=,则当点M在第一象限时,可得直线MK的方程为y=,设M,将其坐标代入抛物线的方程,整理得x2-5px+=0,Δ=25p2-p2=24p2>0,可得满足条件的点M有2个,当点M在第四象限时,由对称性可得满足条件的点M也有2个,所以使得∠MKF=的点M有且只有4个,故D中说法正确.故选C. 16.2　[解析] 由双曲线方程知,渐近线方程为y=±x,由抛物线方程知,准线方程为x=-,由得y=-,∴|AB|=.∵双曲线的离心率e===2,∴=,则|AB|=p,∴S△AOB=|AB|·=p2=2,得p=2. 学科网（北京）股份有限公司 $