2.3.2 抛物线的简单几何性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦抛物线定义与几何性质，通过基础巩固与综合运用两级训练，系统提炼焦点弦性质、定义转化等解题方法，培养几何直观与模型观念，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|10题|焦点弦性质、定义转化、参数计算|从标准方程到焦点准线，结合图像辨析与简单应用| |B级综合运用|4题|几何模型构建、最值推理、实际建模|关联双曲线与抛物线，通过圆与抛物线综合、实际问题深化性质应用|

3.2　抛物线的简单几何性质 1.（2026•烟台月考）已知抛物线y=2x2的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2=（　　） A．－　 B．－　　 C．－1　 D．－2 2.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2=1与3x＋2y2=0的曲线大致为（　　） 3.若抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为5和3，则p的值为（　　） A.1　　 B.2 C.1或9　　 D.2或9 4.一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为（　　） A． m　 B． m　　 C． m　 D． m 5.〔多选〕下列关于抛物线y=4x2的叙述正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线关于x轴对称 C．顶点在原点，焦点为（1，0） D．准线方程为y=－ 6.〔多选〕设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，若y轴上存在点A（0，2），使得•=0，则p的值可以为（　　） A．2　　 B．4　　 C．6　　 D．8 7.直线4kx－4y－k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x＋=0的距离等于　　　　． 8.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为　　　　． 9.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M（1，y0）在抛物线C上，|MF|=，则tan∠FAM=　　　　． 10.已知双曲线C1：－=1（a＞0）的离心率e=2，抛物线C2的准线经过C1的左焦点． （1）求抛物线C2的标准方程及其准线方程； （2）若过抛物线C2焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与抛物线C2的准线相切． 11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，A（－1，0），点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，|PF|=（　　） A．1　 B．2 C．2　 D．4 12.〔多选〕设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD=90°，且△ABF的面积为9，则（　　） A．△ABF是等边三角形 B．|BF|=3 C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2=6x 13.已知曲线C由抛物线y2=2x及抛物线y2=－2x组成，A（1，2），B（－1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为　　　　． 14.如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电． （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； （2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 3.2　抛物线的简单几何性质 1.B　y＝2x2即x2＝y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 2.D　将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D. 3.C　因为点M到对称轴的距离为3，所以不妨设M（x0，3）.因为点M到准线的距离为5，所以所以＋＝5，解得p＝1或p＝9，均满足题设.故选C. 4.A　如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），点A（1，）在抛物线上，所以＝2p，则＝，所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 m.故选A. 5.AD　由抛物线方程y＝4x2得其标准方程x2＝y，其中p＝，焦点F（0，），准线方程为y＝－，抛物线开口向上，关于y轴对称. 6.AD　由题意可得，以MF为直径的圆过点（0，2），设点M（x，y），由抛物线定义知｜MF｜＝x＋＝5，可得x＝5－.因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知可得圆的半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即点M（5－，4），代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8. 7.　解析：如图，直线4kx－4y－k＝0过定点，抛物线y2＝x的焦点F（，0），设弦AB的中点为M，分别过点A，M，B作准线x＝－的垂线，垂足分别为点P，Q，R，则｜MQ｜＝（｜AP｜＋｜BR｜）＝｜AB｜＝2，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝. 8.　解析：设抛物线上点的坐标为（x，±），此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为. 9.　解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为点N，则｜MN｜＝y0＋＝，故y0＝2p.又M（1，y0）在抛物线上，故y0＝，于是2p＝，解得p＝，∴｜MN｜＝＝.∴tan∠FAM＝tan∠AMN＝＝. 10.解：（1）由题意可知，双曲线C1的离心率为e＝＝＝2， 解得a＝1或a＝－1（舍去），则c＝2a＝2， 所以抛物线C2的准线方程为x＝－2. 设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则＝2，解得p＝4， 所以抛物线C2的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. （2）证明：抛物线C2的焦点为F（2，0）. 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则线段AB的中点为E， 则点E到C2的准线x＝－2的距离为d＝＋2， 所以｜AB｜＝x1＋x2＋4＝2（＋2）＝2d， 所以以AB为直径的圆与抛物线C2的准线相切. 11.B　由题意知，抛物线的准线方程为x＝－1，如图，过点P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义知｜PQ｜＝｜PF｜，∴＝＝sin∠PAQ.由正弦函数的性质知，要使最小，则∠PAQ最小，即∠PAF最大，即直线PA斜率的绝对值最大，即直线PA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为y＝k（x＋1），联立整理得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，则Δ＝（2k2－4）2－4k4＝0，解得k＝±1，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入y2＝4x得y＝±2.∴P（1，2）或P（1，－2）.利用焦半径公式得｜PF｜＝2. 12.ACD　∵以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得｜AB｜＝｜AF｜＝｜BF｜，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为｜BF｜2＝9，∴｜BF｜＝6.又点F到准线的距离为｜BF｜sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x. 13.1＋　解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F（，0），则四边形ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2（｜AM｜＋｜MF｜）≥1＋2｜AF｜＝1＋，当且仅当A，M，F三点共线时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋. 14.解：（1）如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）. 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线. 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. （2）要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小. 如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜， 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $