2.3.1 抛物线及其标准方程(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 一、选择题 1.抛物线x2=-8y的准线方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x= B.y=4 C.x= D.y=2 2.抛物线y=4x2的焦点坐标为 (　 ) A.(0,1) B.(0,-1) C. D. 3.将抛物线y2=mx绕其顶点顺时针旋转90°之后,正好与抛物线y=2x2重合,则m= (　 ) A.- B. C.-2 D.2 4.[2024·江西景德镇高二期末] 动圆M经过定点P(4,-1),且与y轴相切,则圆心M的轨迹为 (　 ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 5.已知F是抛物线C:x2=-4y的焦点,A,B是抛物线C上的两点,|AF|+|BF|=10,则线段AB的中点到x轴的距离为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知抛物线E的焦点为F,其准线与其对称轴的交点为A,点P在抛物线E上,且满足=,则sin∠PFA= (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则 (　 ) A.x0=2 B.y0=4 C.|OM|=2(O为坐标原点) D.点F的坐标为(0,2) 8.(多选题)已知点P(x0,y0)是抛物线C:y2=4x上的动点,则 (　 ) A.C的焦点坐标为(2,0) B.C的准线方程为x+1=0 C.x0+1= D.x0+的最小值为 二、填空题 9.已知抛物线C的焦点在直线x-2y+3=0上,则抛物线C的标准方程为　　　　　　　　.  10.若抛物线y=mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3,则m=　　　　.  11.如图所示,已知抛物线x2=4y,点A在抛物线上且点A在第二象限,若|AF|=4,则点A的坐标为　　　　.  12.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B,过点B作准线l的垂线,垂足为M.若AM⊥MF,则p=　　　　.  三、解答题 13.根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的右顶点; (2)抛物线的焦点F在x轴的非负半轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,且|AF|=5. 14.[2024·浙江嘉兴高二期中] 已知动点P到直线x+=0的距离与它到点M的距离之差为1. (1)求点P的轨迹方程,并写出该轨迹的焦点坐标和准线方程; (2)设点P的轨迹为曲线C,若曲线C的准线与x轴的交点为K,点A在曲线C上,曲线C的焦点为F,且|AK|=|AF|,求△AFK的面积. 15.(多选题)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,圆C2:(x+1)2+y2=1,圆C3:(x-1)2+y2=16,圆C4:(x-2)2+y2=4,直线l:x=2,则 (　 ) A.与圆C1,C4都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B.与圆C2外切且与圆C3内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C.过点C1且与直线l相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D.与圆C1,C2都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 16.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为点F,点P是抛物线C上的动点,过点F作直线(m+1)x-3m+y-5=0的垂线,垂足为Q,则|PQ|+|PF|的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ §3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 1.D　[解析] 抛物线x2=-8y的准线方程是y=2.故选D. 2.C　[解析] 抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,则其焦点坐标为.故选C. 3.A　[解析] 根据题意可得抛物线y2=mx的焦点坐标为,抛物线y=2x2的标准方程为x2=y,可得其焦点坐标为,易知点绕原点顺时针旋转90°之后得到点,即可得=-,解得m=-.故选A. 4.D　[解析] 由于动圆M经过定点P(4,-1),且与y轴相切,所以圆心M到定点P(4,-1)的距离等于圆心M到y轴的距离,根据抛物线的定义可知,圆心M的轨迹为抛物线.故选D. 5.B　[解析] 抛物线C:x2=-4y的准线方程为y=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义得|AF|=1-y1,|BF|=1-y2,由|AF|+|BF|=10,得1-y1+1-y2=10,解得y1+y2=-8,因此线段AB中点的纵坐标为=-4,所以线段AB的中点到x轴的距离为4.故选B. 6.C　[解析] 作PB⊥x轴,PC⊥准线,垂足分别为B,C,令|PF|=a,|PA|=2a,a>0,由抛物线定义可知|PF|=|PC|,所以|AC|=|PB|=a,所以sin∠PFA=sin∠PFB==.故选C. 7.AC　[解析] 由题可知点F的坐标为(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,由|MF|=x0+2=4,=8x0,得x0=2,y0=±4,|OM|===2.故选AC. 8.BCD　[解析] 由抛物线C:y2=4x,得其焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,故A错误,B正确;根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,即x0+1=,故C正确;因为=4x0,所以x0+=+=+-≥2-=,故x0+的最小值为,故D正确.故选BCD. 9.y2=-12x或x2=6y　[解析] 易知直线x-2y+3=0与坐标轴的交点为(-3,0),.当焦点为(-3,0)时,可知抛物线的标准方程为y2=-12x;当焦点为时,可知抛物线的标准方程为x2=6y.故抛物线的标准方程为y2=-12x或x2=6y. 10.　[解析] 因为抛物线y=mx2上一点的坐标为(t,2),所以m>0,因此抛物线的准线方程为y=-.由抛物线y=mx2上一点(t,2)到其焦点的距离等于3,结合抛物线定义得2+=3,解得m=. 11.(-2,3)　[解析] 设点A的坐标为(xA,yA),由题意可得F(0,1),准线方程为y=-1.∵|AF|=4,∴由抛物线定义可得yA+1=4,解得yA=3,代入抛物线方程可得xA=2或-2,∵点A在第二象限,∴点A的坐标为(-2,3). 12.　[解析] 由抛物线的定义可得|BM|=|BF|,F,又AM⊥MF,所以点B为线段FA的中点.因为点A(0,2),所以B,又点B在抛物线上,所以1=2p×,得p=. 13.解:(1)双曲线的标准方程为-=1,易知其右顶点的坐标为(3,0).由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y2=12x. (2)由题意设抛物线的方程为y2=2px(p>0),A(m,-3)(m>0),由抛物线的定义得5=|AF|=m+,又(-3)2=2pm,∴p=1或p=9,故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x. 14.解:(1)设P(x,y),因为点P到直线x=-的距离与它到点M的距离之差为1,所以点P到直线x=-的距离与它到点M的距离相等, 由抛物线定义可得点P的轨迹方程为y2=2x,该轨迹的焦点坐标为,准线方程为x=-. (2)由(1)可得K,F,因为点A在曲线C上,所以设A.因为|AK|=|AF|,所以=,化简可得y0=±1,又|KF|=1,所以S△AFK=|KF||y0|=. 15.ABC　[解析] 由题知圆C1的半径为1,圆心C1(-2,0),圆C2的半径为1,圆心C2(-1,0),圆C3的半径为4,圆心C3(1,0),圆C4的半径为2,圆心C4(2,0).对于选项A,设与圆C1,C4都外切的圆的圆心为A,半径为r1,则|AC1|=r1+1,|AC4|=r1+2,故|AC4|-|AC1|=1<4=|C1C4|,则圆心A的轨迹是双曲线的一支,A正确;对于选项B,设与圆C2外切且与圆C3内切的圆的圆心为B,半径为r2,则|BC2|=r2+1,|BC3|=4-r2,故|BC2|+|BC3|=5>2=|C2C3|,则圆心B的轨迹是椭圆,B正确;对于选项C,设过点C1且与直线l相切的圆的圆心为C,半径为r3,故点C到定点C1和定直线l的距离相等,即为r3,则圆心C的轨迹是抛物线,C正确;对于选项D,设与圆C1,C2都外切的圆的圆心为D,半径为r4,则|DC1|=r4+1,|DC2|=r4+1,故|DC1|=|DC2|,即圆心D在线段C1C2的垂直平分线上,又D在圆C1与圆C2外部,所以圆心D的轨迹是两条射线(不含端点),D错误.故选ABC. 16.3-　[解析] 由题知F(1,0).直线方程(m+1)x-3m+y-5=0可化为m(x-3)+x+y-5=0,得直线过定点(3,2),记为M点.连接FM,∵过点F作直线(m+1)x-3m+y-5=0的垂线,垂足为Q,∴易知Q点的轨迹是以FM为直径的圆,其圆心为FM的中点,记为点H,则H(2,1),半径r=|MH|=.∵P在抛物线C:y2=4x上,其准线方程为x=-1,∴|PF|等于P到准线的距离.过P作准线的垂线,垂足为R,若|PF|+|PQ|取得最小值,即|PR|+|PQ|取得最小值,则R,P,Q三点共线且三点连线后直线RQ过圆心H(Q在P,H之间),如图所示,∴(|PF|+|PQ|)min=|HR|-r=3-. 学科网（北京）股份有限公司 $