2.3.1 抛物线及其标准方程-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§3抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 白题 基础过关 限时：30min 题组1抛物线定义的理解及应用 7.(2025·重庆沙坪坝区高二月考)某学习小组 1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨 研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现 迹为 ( 其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物 2.动点P(x,y)到点F(3,0)的距离比它到直线 线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图② x+2=0的距离大1，则动点P的轨迹是( 所示).已知接收天线的口径（直径）为2.4，深 A.椭圆 B.双曲线 度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距 C.双曲线的一支 D.抛物线 离为 题组2抛物线标准方程的求解及应用 3.（2025·黑龙江哈尔滨高二期末)已知抛物线 C:y2=2x,则抛物线C的准线方程为( A.x=-1B.y=-1 C.x=-2 D.y=- 4.苏教版教材变式(2025·辽宁沈阳高二月考) 重难聚焦 顶点在原点，焦点是F(0,3)的抛物线的标准 题组4利用抛物线的定义求最值 方程是 ( 8.(2025·浙江杭州高二月考 A.y2=21x B.x2=12y 抛物线y2=4x上一动点，F c产 n克 物线焦点，定点P(3,1),则IMPI+IM1的最 小值为 5.(2025·河南郑州高二期中)若抛物线y=ax2 A.3 B.4 C.5 (a>0)上一点(m,1)与焦点的距离等于2，则 9.（2025·河南新乡高二期末)E a= 抛物线C:y=4x的准线为l, 题组3抛物线的实际应用 L':√3x+y+53=0,动点M在 6.(2025·江苏扬州高二期中)如图是抛物线形 点M到直线l与1'的距离分别为d1,d2,则 拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面 d+d2的最小值为 () 4m,当水面下降1m后，水面宽为 A.23 B.33 C.43 D.63 14m三 10.已知抛物线E:y2=8x的准线为1，A(0,3), 16m B是E上任意一点，过点B作BC⊥l,垂足 A.43mB.45mC.83mD.85m 为C,则IABI+IBC1的最小值为 选择性必修第-册：BS黑白题050 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·山东枣庄高二月考)抛物线y=-8x25.M是抛物线C:y2=4x上一点，F是抛物线C 的焦点坐标是 ( 的焦点，l为抛物线C的准线，MM,⊥1于 A.(0,-2) B.(-2,0) 点M1,若1MF1=4,则△MMF的周长为 c.() no,2》 ( A.8+3B.8+23C.10 D.12 2.(2025·江苏盐城高二月考)如图所示，一隧 6.（2025·重庆江北区高二月考)已知抛物线C: 道内设双行线公路，其截面由一个长方形和 y2=8x的焦点为F,M为C上的动点，N为 抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部 圆A:x2+y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M (设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之 到y轴的距离为d,则IMNI+d的最小值为 差至少要有0.5m,已知行车道总宽度AB= ( 6m,那么车辆通过隧道的限制高度为( A.1 B.2 C.3 D.4 A.2.25mB.3.25mC.3.5mD.3.75m 7.（多选)(2025·福建莆田高二期末)设抛物线 C:y2=4x的焦点为F,M为C上一动点，E(3, 抛物线 1)为定点，则下列结论正确的是 A.准线1的方程是x=-2 B.IME1+|MFI的最小值为4 C.IME1-IMF1的最大值为5 (第2题) (第4题) D.以线段MF为直径的圆与y轴相切 3.(2025·福建福州高二月考)若动圆M与 8.已知A是抛物线x2=2py(p>0)上的一点，F为 圆C:(x-2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相 抛物线的焦点，0为坐标原点.当1AF1=4时， 切，则动圆圆心的轨迹方程为 A.x2=8y B.y2=4x ∠0FA=,则10A1 C.y2=2x D.y2=8x 压轴挑战1 4.(多选)如图所示是某家用汽车远光灯示意 (2025·山东淄博高二期末)1 图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源 体ABCD-A,B,CD,的棱长为 在抛物线的焦点处，且灯口直径是20cm,灯 点M在棱AB上，且AM=2,点P是止万体下低 深10cm,则 面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直 ( 线AD,的距离与点P到点M的距离的平方差 A.远光灯光线按照路径F→A→B射向远处 为9，则1PB1的最大值是 ( B.光源F到反光镜顶点O的距离是5cm A.2 B.2√2 C.√6 D.3 C.与抛物线对称轴垂直的光线长度为12.5cm D.灯口上任意一点到焦点F的距离是12.5cm 进阶突破拔高练P03 第二章黑白题0515.ABD解析：设双曲线的右焦点为F1,依题意，四边形AFBF1为平行 四边形，如图.由双曲线C:169 =1知a=4,b=3,c=5,对于 A,IABI=10=IFF1I,则口AFBF1为矩形，AF⊥BF,A正确；对于B, 由双曲线定义得IAFI-IAF1I=8,而IFF,I=10,AF⊥BF,则IAF 12+AF12=1FF12,(AFI-IAF1)2+21AFIAF1=1FF12, 1 是1AFI·IAE=18,因此△ABF的面积S=2 LAFIIAF1I=9,B正 确：对于C,在t△A5M中，AE=,AM+FM号 ,IFMT产 IAMI2' 双酸c后苦 3 1的渐近线方程为y=±x,直线4F的斜率 即南品小（传c误，对于 IAMI 3 D,IAFI-IAM1=2a+1AF1I-1AM≥8，当且仅当1AF1I=IAMI时取等 号，D正确故选ABD. (第5题) (第7题) 6.2x2 45=1(y≥2)解析：由题意，a=xi+(y+3)j,b=+(y-3j,所 以1al=√x2+(y+3)2,1b1=√x2+(y-3)2,又因为1a1-1b1=4,所以 √+(y+3)7-√x2+(y-3)7=4,所以点(x,y)与定点(0，-3)，(0， 3)的距离之差为4，小于两定点间的距离，符合双曲线的定义，是双 曲线的一支，则a=2,c=3→b2=c2-a2=5.则点M(x,y)的轨迹方程是 4方1(0≥2)，放答案为22 y2 x2 45=1(y≥2). 7.[5,√10]解析：如图，由题意可得F1(-c,0),F2(c,0),由于四边 形MFNF2为平行四边形，故NF2∥MF1,直线MF2的方程为y= 2(x),渐近线方程为y=-。,联立日，x 2ac y=2(x-c) 2a+6,y= -2bc 故w( 2ac -2bc 2a+b -2bc-26 2a+b'2a+b ,所以kw2=kM=2c 4ac+bc 4a+b' 因此6、-26 2a+6*c 7下6≤-号，化简得2a≤6≤3a→2≤名≤3，放离心率 2 b2 为e=后√1+停e[5,而]故答案为机5,0]， 8.5解析：由题知，共轭双曲线C1和C2的半焦距相等，记为c, 则e,=c e1sc,e,=C,所以1+2-a20,又a2+b2=c2,故设a=ccos0, b=m0(0<0<7）,所以+2-a+20.s642in0。 e1 e2 c .c0s=2/5 cs0+2sin0=5m(0+p),其中mg=5, ，当咖(0+ p)=1时，cte2 ,1+2取得最大值5故答案为5. 9.解：(1)从B入口运送最近.理由：由题意可得A(-50,0),B(50,0), P(7,1),1AP1=√(7+50)2+(1-0)7=5130,1BP1= √(7-50)2+(1-0)2=5√/74，经过A入口时最短距离为1CA1+ IAPI=80+5√130，经过B入口时最短距离为ICB|+IBP|=88+ 5√74.因为80+5√130>88+5√74，所以从B入口运送最近. (2)设点P(x,y),已知1CAI+1API=ICB1+|BPI,可得1PA1-IPB1= ICBI-ICAI=8,所以点P所有可能的位置是以A,B为焦点的双曲线 的右支并且在苗圃内的部分，则2a=8,即a=4,又因为c=50,b2=c2 a2=2500-16=2484,所以点P所有可能的位置是双曲线16 参考答案 24841(>4,>0)在苗圃内所对应的点. 10,解：(1)当BFLAFE时，设点B(c,p),则S a2 b2 L,可得p= a =a,又因为1AF1=a+c,由1AF1=1BF1可得a+e= 则1BF1=62 a 2-a2_a+e)(c-a,可得-0=e-1=1,解得e=2,此时，双曲线C 0 a 的离心率为2. (2)存在如图，由(1)可知，行=2，则c=2a,6 Y √2-a2=3a,所以双曲线C的方程可化为 Y,1设点B(00),其中0>0，%>0，且 。子3如=1，若在轴的负半轴上存在定点 66 M(m,0),使得∠BFM=2∠BMF,且 30 tan∠BFM=-kBF=- 因为 %-2a:tan ZBMF ka= ∠BFM=2∠BMF,则tan∠BFM=tan(2∠BMF)= 2tan∠BMF 1tamn2zBWp,即 2y0 yo xo-m *0-2a 整理可得(m2+4ma+3a2)-(4a+4m)x0=0, 1% （x0-m 所以m4。’解得m=-a.因此，在x轴的负半轴上存在定 点M(-a,0),使得∠BFM=2∠BMF. 压轴挑战 C解析：由双曲线的定义可知IAF1I-1AF2I=2a,又IOAI=1OBI, IOF,I=1OF2I,可知四边形AF2BF1是平行四边形，所以IAF|+ MF,l=号，联立解得1A5l=a+片，Al=是a又线段F,P为圆的 直径，由双曲线的对称性可知四边形AF2BF1为矩形，所以四边形 A,B,的面积S=M1M,1:石2又p=4vs,所以-32S。 即pP=2(62）,潮得2=3，由a,12+4,1=f1区， 得2a2+ 6故选C g=4c,即3a2=2c,即e= §3抛物线 3.1抛物线及其标准方程 白题 基础过关 1.D解析：设P为满足条件的圆的圆心，则点P到点A的距离等于点 P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上， .点P的轨迹为抛物线.故选D. 2.D解析：，动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1， ∴.动点P到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离，∴.由抛物线 的定义知，该动点的轨迹是以点(3,0)为焦点，以直线x=-3为准线 的抛物线.故选D. 3.C解析：y2=2x中，2p=2,解得p=1,故准线方程为x=-卫=- 2 2 选C. 4,B解析：由题意知抛物线开口向上，号=3，P=6,故抛物线的标准方 程是x2=2py=12y.故选B. 5.4 解析：由y=ax2(a>0)得x2= 日，所以准线方程为了=女，因 为点(m,1)与焦点的距离等于2，所以点(m,1)与准线的距离等 于2，即1-（4 1 ）=2,解得a=号放答案为子 6.D解析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原 点且垂直于y轴的直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 设抛物线的方程为x2=-2py(>0),由题意可知点(8，-4)在抛物线 黑白题031 上，所以64=-2p×(-4),可得p=8,所以抛物线的方程为x2=-16y, 当水面下降1m后，即当y=-5时，x2=-16×(-5),可得x=±45，因 此，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为85m.故选D. 0 7.0.9解析：如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标 系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴 上，设抛物线方程为y2=2px(p>0),代入A(0.4,1.2),所以1.2× 1.2=2p×0.4,解得p=1.8,所以抛物线方程为y2=3.6x,则该抛物线的 焦点到顶点的距离为？=0.9故答案为0.9 2 A (第7题) (第8题) 重难聚焦 8.B解析：抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程x=-1,如图，设 点M在准线上的射影为D,由抛物线的定义知IMFI=IMD1,过点P 作PD垂直于准线于D',交抛物线于点M',则IM'F1=IMD'I,因 IMPI+IMFI=IMPI+IMDI>IPD'I=IM'PI+IM'D'I=IM'PI+ IM'FI,当P,M,D三点共线时取等号，所以IMPI+IMFI的最小值为 IPD'1=4.故选B. 9.B解析：设抛物线C:y=4x的焦点为F,由抛物线的定义可知 d1=IMFI.设MW⊥I'于点N,则d+d2=IMFI+|MNI.当M,N,F三点 共线，且M在N,F中间时，d1+d2取得最小值.由抛物线C:y2=4x,得 F(1,0),所以d+4的最小值为63 =3V3.故选B. √3+1 ↑y2=4x F1.0 (第9题) (第10题) 10.√13解析：如图，抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),根据抛物 线的定义得IBCI=IBFI,所以IAB1+IBCI=IAB1+IBFI,故当A,B, F三点共线时，IABI+IBCI取得最小值为IAFI,IAFI= √/10A12+10F2=√32+22=13.故答案为/13 黑题应用提优 1.D解析：根据题意，抛物线x2=- 名，所以焦点坐标是(0，立）】 故选D. 2.B解析：如图，取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴 建立平面直角坐标系，则C(4,-4).设抛物线的方程为x2=-2py(p> 0),将点C代入抛物线方程，可得P=2,则抛物线的方程为x2=-4y, 行车宽度AB=6m,将x=3代入抛物线的方程，可得y=-2.25,所以 限制高度为6-2.25-0.5=3.25(m).故选B. 6m B 3 m (第2题) (第4题) 选择性必修第一册·BS 3.D解析：因为圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径r=1.设动 圆圆心的坐标为M(x,y),半径为R,则ICMI=R+r=R+1.又动圆M 与直线x+1=0相切，即点M(x,y)到直线x+1=0的距离为R,所以 点M(x,y)到直线x+2=0的距离为R+1,所以点M(x,y)到C(2,0) 的距离与到直线x+2=0的距离相等，所以点M(x,y)的轨迹为抛物 线，其焦点为C(2,0),所以动圆圆心的轨迹方程为y2=8x.故选D. 4.AD解析：对于选项A,根据题意可知，远光灯光线按照路径F→A→ B射向远处，故A正确：对于选项B,如图，以O为坐标原点建立平面 直角坐标系，设抛物线的方程为y2=2px(p>0),可知C(10,10),可得 10=20p,解得p=5,所以抛物线的方程为y2=10x,焦点坐标为 F(2.5,0),光源F到反光镜顶点0的距离是？=2.5(cm),故B错 误；对于选项C,与抛物线对称轴垂直的光线长度为2.5+2.5=5(cm), 故C错误；对于选项D,灯口上任意一点到焦点F的距离是10+2.5= 12.5(cm),故D正确故选AD. 5.D解析：如图，设准线1与x轴交于点N,由抛物线C:y2=4x,可知F (1,0),准线方程l:x=-1.因为1MF1=1MM11=4=x1+1,所以xM=3, 代人抛物线方程可得yM=±23，不妨设M在第一象限，则yM=23. 所以IMNI=yM=25.又INFI=p=2,所以IMFI= /IM,NI2+1NF2=√12+4=4，所以△MM1F的周长为IMF|+ IMM1|+1M1F1=4+4+4=12.故选D. (第5题) (第6题) 6.B解析：根据已知得到F(2,0),圆A:(x+1)2+(y+4)2-1,所以 A(-1,-4),圆A的半径为1，抛物线C的准线为1：x=-2,如图，过 点M作ME⊥l,垂足为点E,则IMEI=d+2,由抛物线的定义可得d+ 2=IMEI=I|MFI,所以IMNI+d=IMNI+IMFI-2≥IAMI+IMF|- 1-2=√(2+1)2+(-4)2-1-2=2.当且仅当N,M为线段AF分别与 圆A、抛物线C的交点时，等号成立，因此，IMW1+d的最小值为2.故 选B. 7.BD解析：由抛物线C:y2=4x,则其焦点为F(1,0),准线为x= -1,A错误；如图所示，其中MA⊥准线于A,则IMFI=IMAI,故 IME1+IMFI=IMEI+IMAI,当且仅当E,M,A三点共线时IME1+ IMF|最小，为E到准线的距离4，B正确；由|IME1-IMFII≤IEFI= √5→-√5≤IME1-IMF1≤5，当且仅当E,F,M三点共线时取等号， 其最大值为，5，C错误：由M(?,m),则MP的中点坐标为 ()11- /4 +1,故 4 2 4+yi ,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，D正确.故选BD. (第7题) (第8题) 8.√2I解析：由抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，过点A作准 线的垂线AC,过点F作AC的垂线，垂足分别为C,B.如图所示，由题 意知，∠BA=L0FA-受否号-G因为1AFI=4,易知B12 又点A到准线的距离为d=IAB1+IBC1=p+2=4,解得p=2.在△AFO 中，10F1=1,MP1=4,∠0A=,由余弦定理得10M2=10F12 1FA2-210F11FAIm∠0FA=1+16-2x1x4x(2） =21,所以 黑白题032 I0A1=√21.故答案为√21 压轴挑战 B解析：如图①，作PQ⊥AD于Q,因为AB⊥平面ADD,A1,PQ∥AB,则 PQ⊥平面ADD1A1,过点Q作QR⊥AD1于R,因为AD∥AD1,故 PQ⊥A1D1,而QR∩PQ=Q,QR,PQC平面PQR,故A1D1⊥平面PQR,所 以PR长即为P到直线A1D1的距离.因为1PRI2-1PQ12=IRQ12=9, 1PR12-IPMI2=9,所以1PMI=1PQ1,所以点P的轨迹是以AD为准线， 点M为焦点的抛物线 D). -D M ① ③ 如图②建立平面直角坐标系，则M(1,0),B(2,0),则点P的轨迹方程 是4a(0≤y≤2).设P(任小，所以1P81=√(2) 4 N16 +4,所以当y2=8时，1PB1取得最大值2√2.故选B. 3.2抛物线的简单几何性质 白题基础过关 1.B解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m,-n)一定在该抛物线 上故选B. 2.BD解析：对于A,抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为 y=-1,故A错误：对于BC,由抛物线定义可得|MF1=5=yo+1,所以 yo=4,x品=16，解得x0=±4，故B正确，C错误；对于D,10M1= /16+16=42,故D正确.故选BD. 3.B解析：设等边三角形的边长为α，则由等边三角形和抛物线的对 称性可得等边三角形一个顶点的坐标为(。，号)，代入抛物线方 ,2a,解得a=8w5故选B 4.y2=-x(答案不唯一)解析：由题意，抛物线与直线x=1无公共 点，∴.抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为y2=-x,故 答案为y=-(答案不唯一) 5.B解析：由题意得p=6,1AB1=x1+x2+p=6+6=12.故选B. 6.B解析：设B(x1,m1),C(x2,m2),所以|AB1=5-x1,1BC1=x1+ 2+2,1CD1=5-为2，所以该光线经过的路程为12.故选B. 7.CD解析：因为抛物线以y轴为对称轴，故设抛物线方程为x2=2py 或2=-2y(p>0),由题意得通径长为号+号+p=2p=8,故p=4,所 以抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.故选CD. 8.A解析：如图，已知抛物线焦点F到准线的距离为2，即p=2,则抛 物线方程为y2=4x,F(1,0),设直线1与抛物线交点A(x1,y1), B(,),则kr=ke,即-0-h-0 21 ,1217,经1 4)·(y1y2)=0.因为y1≠y2,所以y1y2=-4,则x12=1.又由抛物线 可知1AP1=1AM1=X+1,1BF1=1B'1=+1,所以AF+BF 1 1 x1+x2+2 +1灯名+1，故选A (第8题) （第9题) 参考答案 9.60°解析：如图，设直线m为抛物线的准线，过点A,B分别作AM BN垂直于m,作BE⊥AM.因为IAFI=IAMI,IBFI=IBNI,且IAFI= 31BFI,所以IAMI=31BNI,则IABI=4IBFI,IAEI=IAMI-IMEI= 2BF1,所以c0s∠BAE=),则LBME=60,即直线1的倾斜角为 60°.故答案为60° 重难聚焦 10.D解析：设点P的坐标为(x,y),则x2=-5y,且1PA12=x2+ *》49=(）}'的又因为0所以当y=时 IPA2有最小值，所以IPA1的最小值为 2故选D. 11.A解析：如图，由抛物线C的方程为x2=4y, Y个 得焦点坐标为F(0,1),设过点F的直线与抛 物线的交点坐标为M(x1,1),N(x2,2), 则r=6p,即-1h- 00即4 0 1 X2 则(x1x2+4)(x1-x2)=0.因为x1≠x2,所以x1x2=-4,则y1y2=1.又 由抛物线可知1MF1=1+号=+1,1NF1=2+号=%+1，所以 1 1 1 1 =ty2+2 IMFI INFI y1+1 y2+1y12+y1+y2+1 1,则21MF1+21NF1= (2Iwr1+子r）·（Ma)=2+2w+2M+2≥ 1 2IMFI INFI 1 21MFI INFI 5 2INFI2IMFI2 故流心 -+2= 黑题 应用提优 1.B解析：由抛物线的定义，可知1MP1=6+号，又210F1=p, 1MF1=210F,则0+号=p,即=号，由点M(,4)在C上，得 16=2pxo,结合p>0,解得p=4.所以C的方程为y2=8x.故选B. 2.A解析：如图，设AB中点为M,过A,M,B作 准线的垂线，垂足分别为A',M',B′，又该直线 不经过抛物线的焦点，则MW'=2(AM'+ B)=（(aP+BP)>A,所以以线段A 为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是 B 相离.故选A. 3.BC解析：设M(,),因为1MF1=10,所以名+号=10因为 MM1F,所以减·=0，即(1-3)·（号-3)=0，所以 分-30-3)=0，所以-3(1-3)=0，解得1=6，所以36 4 2p,=2p(0-号)，解得p=2或p=18,所以抛物线C的方程为y= 4x或y2=36x.故选BC. 4.A解析：因为抛物线C1:y2=2x(p>0)过点(1,2)，则4=2p×1, 则2p=4,即抛物线的标准方程为y2=4x,焦点坐标F(1,0),准线方 程为x=-1;圆C2:(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径1，故直线PQ 过抛物线的焦点，设P(,),Q(g,),则r=,即0 1 y2-0 ,即1三2则(y2+4)y12)=0.因为≠2，所以 -1-1 4 4 1y2=-4,则x1x2=1,再由抛物线可知1PF1=x1+1,1QF1=x2+1,则 1 1 11x1+x2+2 IPFIOF1+1t,++11,所以1PMI+41QNI= 1PF1-1+4(1QF1-1)=1PF1+41QF1-5=(IPFI+41QFI)（PF 黑白题033