2.1.1 椭圆及其标准方程(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 1.D　[解析] 由题意知椭圆的长半轴长为5,∴点P到椭圆的两个焦点的距离之和为10,∵点P到椭圆的一个焦点的距离为5,∴点P到另一个焦点的距离为10-5=5,故选D. 2.B　[解析] 因为点A(a,1)在椭圆+=1的外部,所以+>1,解得a<-或a>,即a的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞),故选B. 3.C　[解析] 等式+=12表示点M(x,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为12,因为|F1F2|=4<12,所以动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=12,即a=6,又c=2,所以b2=a2-c2=36-4=32,所以动点M的轨迹方程为+=1.故选C. 4.B　[解析] 因为方程+=1表示椭圆,所以解得-3<k<2且k≠-.故选B. 5.B　[解析] 将点P的横坐标-代入椭圆方程,可得y=±,所以点P的坐标为或,故选B. 6.D　[解析] 设椭圆C的焦距为2c,则c2+1=a2,△PF1F2的周长为2a+2c=4,解得c=,a=.故选D. 7.BC　[解析] 由点F1(0,-3),F2(0,3),得|F1F2|=6,因为m>0,所以|PF1|+|PF2|=m+≥2=6,当且仅当m=,即m=3时等号成立.当m+=6时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时点P的运动轨迹是线段F1F2;当m+>6时,可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时点P的运动轨迹是椭圆.故选BC. 8.CD　[解析] 设椭圆的两个焦点为F1,F2,则由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a(常数),所以|PF1|·|PF2|≤==a2,当且仅当|PF1|=|PF2|=a时,等号成立,所以a2=13.又c=2,所以b2=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1或x2+=1,故选CD. 9.+x2=1(答案不唯一)　[解析] 由题意知椭圆的焦点在y轴上,c=1,所以一个符合题意的椭圆的标准方程为+x2=1(答案不唯一). 10.点在椭圆外　[解析] 因为点(3,2)在椭圆上,所以+=1,又m>0,n>0,所以+>+=1,故点(-3,3)在椭圆外. 11.　[解析] 因为焦点在x轴上的椭圆x2+=1的焦距为,所以0<m<1,a=1,b=,c=,因为a2=b2+c2,所以12=m+,解得m=. 12.　[解析] 由题意知a=5,b=,则c==2,F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),因为P为椭圆Γ上的一点且在第二象限,所以-5<x0<0,>y0>0,且+=1,又因为△PF1F2为等腰三角形,且|F1F2|=4<a,|PF1|<|PF2|,所以|PF1|==4,则可得所以点P的坐标为. 13.解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由题意可知2a=4,2c=2,则a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,则椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 将两点坐标代入上式,得解得则椭圆的标准方程为+=1. (3)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 则解得 故椭圆的标准方程为+=1. 14.解:(1)因为动点P满足|PF|+|PF'|=10>|FF'|=8,所以点P的运动轨迹是以F,F'为焦点的椭圆,设轨迹C的标准方程为+=1(a>b>0),则2a=10,2c=8,即a=5,c=4,所以b==3,故动点P的轨迹C的标准方程为+=1. (2)由(1)知,F,F'是椭圆C的两个焦点,设P(x0,y0),在△PFF'中,因为∠FPF'=90°,所以|FF'|2=|PF|2+|PF'|2,即|PF|2+|PF'|2=64.又|PF|+|PF'|=10,所以|PF|·|PF'|=[(|PF|+|PF'|)2-(|PF|2+|PF'|2)]=18,所以S△PFF'=|PF|·|PF'|=9,又S△PFF'=|FF'|·|y0|=9,所以|y0|=,所以点P的纵坐标为±. 15.C　[解析] 由题知F1(-1,0),F2(1,0),A(0,m),则|F1F2|=2,|AF1|=|AF2|=,在△F1AF2中,由余弦定理得cos∠F1AF2==,则m=±,又m>0,所以m=. 16.+=1(x≠0)　[解析] 因为B(0,-3),C(0,3),所以|BC|=6,因为三角形ABC的周长为16,即|AB|+|AC|+|BC|=16,所以|AB|+|AC|=10>|BC|=6,所以点A在以B(0,-3),C(0,3)为焦点,长轴长为10的椭圆上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则c=3,a=5,所以b==4,所以该椭圆的标准方程为+=1.又因为A,B,C三点不共线,所以点A不能在y轴上,所以顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 一、选择题 1.已知点P在椭圆+=1上,且点P到该椭圆的一个焦点的距离为5,则点P到另一个焦点的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.10 B.8 C.6 D.5 2.点A(a,1)在椭圆+=1的外部,则a的取值范围是 (　 ) A.(-,) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-2,2) D.(-1,1) 3.若点M(x,y)满足方程+=12,则动点M的轨迹方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 4.已知方程+=1表示椭圆,则k的取值范围为 (　 ) A.k>-3且k≠- B.-3<k<2且k≠- C.k>2 D.k<-3 5.[2024·河南周口高二期中] 已知椭圆+y2=1上一点P的横坐标为-,则点P的坐标为 (　 ) A. B.或 C. D.或 6.已知F1,F2为椭圆C:+y2=1(a>1)的两个焦点,P为椭圆C上一点,若△PF1F2的周长为4,则a= (　 ) A.2 B.3 C. D. 7.(多选题)已知点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=m+(m>0),则点P的运动轨迹可能是 (　 ) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 8.(多选题)已知椭圆的焦距为4,椭圆上的动点P与两个焦点间距离乘积的最大值为13,则该椭圆的标准方程可能是 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 二、填空题 9.试写出一个焦点坐标为(0,±1)的椭圆的标准方程:　　　　　　.  10.已知点(3,2)在椭圆+=1(m>0,n>0,m≠n)上,则点(-3,3)与椭圆的位置关系是　　　　　　.  11.已知焦点在x轴上的椭圆x2+=1的焦距为,则m的值为　　　　.  12.设F1,F2分别为椭圆Γ:+=1的左、右焦点,P为椭圆Γ上的一点且在第二象限.若△PF1F2为等腰三角形,则点P的坐标为　　　　.  三、解答题 13.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,焦距为2,椭圆上的点到两焦点的距离之和为4; (2)椭圆的两个焦点在坐标轴上,且经过点A(,-2)和B(-2,1); (3)椭圆经过点(1,2),焦点坐标为(0,),(0,-). 14.已知点F(-4,0),F'(4,0),动点P满足|PF|+|PF'|=10. (1)求动点P的轨迹C的标准方程; (2)当动点P满足∠FPF'=90°时,求点P的纵坐标. 15.椭圆+=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴的交点为A,若 ∠F1AF2=,则m等于 (　 ) A.1 B.2 C. D. 16.若△ABC的两个顶点分别为B(0,-3),C(0,3),其周长为16,则第三个顶点A的轨迹方程是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $