2.2.2 第2课时 双曲线的几何性质的综合问题(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　双曲线的几何性质的综合问题 1.D　[解析] 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则依题意可得可得 所以C的方程为-=1.故选D. 2.C　[解析] 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,直线x+2y+3=0的斜率为-,所以由题可知,=2,所以双曲线的离心率e==.故选C. 3.A　[解析] 因为双曲线两顶点间的距离为8,所以2a=8,所以a=4.因为离心率e==,所以c=5,所以b=3.因为双曲线的顶点在y轴上,所以双曲线的标准方程为-=1,故选A. 4.C　[解析] e====,因为a≥1,所以+1∈(1,2],故e∈(,].故选C. 5.D　[解析] 设P(x0,y0),则-=1,即b2-a2=a2b2,该双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,不妨取点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1==,d2==,因为|F1F2|2=16d1d2,所以d1d2====,可得c4=4a2b2,即c2=2ab,又由c2=a2+b2,可得(a-b)2=0,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,故选D. 6.B　[解析] 由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由 =16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 7.BCD　[解析] 由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得=2,又由==2,可得=,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.对于A,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,不符合题意;对于B,双曲线-x2=1的渐近线方程为y=±x,符合题意;对于C,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,符合题意;对于D,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,符合题意.故选BCD. 8.AC　[解析] 当a=b时,两渐近线的斜率为1或-1,此时直线AF与另一渐近线平行,不满足题意.当a>b时,如图①所示,∵sin∠ABO=,∴cos 2∠BOF=,∴2cos2∠BOF-1=,又由0< ∠BOF<,得cos∠BOF=,∴sin∠BOF=,∴sin∠BOx=, cos∠BOx=,∴tan∠BOx=,即渐近线OB的斜率为=,∴e===.当a<b时,如图②所示,设BF与x轴交于点P, ∵sin∠ABO=,∴cos 2∠BOP=,∴2cos2∠BOP-1=,又由0<∠BOP<,得 cos∠BOP=,∴sin∠BOP=,∴tan∠BOP=,即渐近线OB的斜率为=,∴e===.综上,双曲线C的离心率为或.故选AC. 9.-=1(答案不唯一)　[解析] 设所求双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0),当λ=1时,所求双曲线和原双曲线完全相同,故λ≠1,令λ=2,得到所求双曲线的一个标准方程为-=1(答案不唯一). 10.2　[解析] 由题意知c==3,双曲线的渐近线方程为2x±y=0,焦点为(±3,0),所以焦点到其渐近线的距离为=2. 11.(1,2) 　[解析] 由题意知|AE|=|BE|,则△ABE为等腰三角形,∵△ABE是锐角三角形, ∴∠AEF<45°.将x=-c代入-=1可得y=±,故在Rt△AFE中,|AF|=,|FE|=a+c,则|AF|<|FE|,∴<a+c,化简整理得2a2-c2+ac>0,∴e2-e-2<0,解得-1<e<2,又e>1,∴1<e<2. 12.-=1　[解析] 因为A,B分别为椭圆+=1的左、右顶点,所以A(-2,0),B(2,0),设直线MA与直线NB的交点为P(x,y),M(x1,y1),N(x1,-y1),由kPA=kMA,kPB=kNB,得=,=,两式相乘得===,整理得-=1,即所求轨迹方程为-=1. 13.解:(1)方法一:由题意可设所求双曲线的方程为-=1(mn>0),由题意得解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二:由题意可设所求双曲线的方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32, 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)方法一:由椭圆方程可得双曲线的焦点坐标为(-3,0),(3,0),即c=3且焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),因为e==,所以a=2,则b2=c2-a2=5,故所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(16<λ<25), 因为e=,所以=-1,解得λ=21, 故所求双曲线的标准方程为-=1. 14.解:(1)因为双曲线C1:-=1,所以a=2,b=,c==3,所以双曲线的离心率e==,渐近线方程为y=±x=±x. (2)设椭圆C2的方程为+=1(m>n>0), 根据题意得解得所以椭圆C2的标准方程为+=1. 15.B　[解析] 延长QF2,与双曲线交于点P',因为F1P∥F2P',所以根据对称性知|F1P|=|F2P'|.设|F1P|=|F2P'|=2t,则|F2P|=5t,|F2Q|=10t,可得|F2P|-|F1P|=3t=2a,即t=a,所以|P'Q|=12t=8a,连接QF1,则|QF1|=|QF2|+2a=a,|F1P'|=|F2P|=a,可得|P'Q|2+|F1P'|2=|QF1|2,所以∠F1P'Q=90°,在△P'F1F2中,由勾股定理得|F2P'|2+|F1P'|2=|F1F2|2,即+=4c2,解得e==.故选B. 16.　[解析] 根据双曲线的光学性质可知F1,A,D三点共线,F1,B,C三点共线,故F1A⊥AB, tan∠ABF1=-tan∠ABC=,不妨设|AF1|=5x,则|AB|=12x,|BF1|=13x.由双曲线的定义可知|F1B|-|F2B|=2a=|F1A|-|F2A|,则两式相加可得18x-(|F2A|+|F2B|)=4a=6x,所以2a=3x,所以|AF1|=,|AF2|=,由勾股定理可知|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即+=4c2,所以e2=,故e=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　双曲线的几何性质的综合问题 一、选择题 1.[2024·江苏常州高二期中] 已知焦点在x轴上的双曲线C的离心率为,虚轴长为4,则C的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3x2-4y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+3=0垂直,则该双曲线的离心率为 (　 ) A.2 B. C. D. 3.顶点在y轴上,两顶点间的距离为8,且离心率e=的双曲线的标准方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 4.已知双曲线-=1(a≥1),则该双曲线的离心率的取值范围是 (　 ) A.(1,+∞) B.(0,) C.(,] D.[,+∞) 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右支上一点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1,d2,若|F1F2|2=16d1d2,则双曲线C的渐近线方程为 (　 ) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 6.已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是 (　 ) A.32 B.16 C.84 D.4 7.(多选题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是 (　 ) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-=1 8.(多选题)[2024·江苏盐城高二期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,过焦点F作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,并与另一条渐近线交于点B,若sin∠ABO=(其中O为坐标原点),则C的离心率可能为 (　 ) A. B. C. D. 二、填空题 9.与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线的一个标准方程为　　　　　　.(不同于原双曲线)  10.双曲线-=1的焦点到其渐近线的距离等于　　　　.  11.[2024·浙江金华高二期中] 已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是　　　　.  12.已知A,B分别为椭圆+=1的左、右顶点,点M,N为椭圆上的两个动点,且线段MN与x轴垂直,则直线MA与直线NB的交点的轨迹方程为　　　　　　.  三、解答题 13.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2); (2)与椭圆+=1有公共焦点,离心率为. 14.已知双曲线C1:-=1. (1)求双曲线的离心率e与渐近线方程; (2)若椭圆C2与双曲线有相同的焦点,且椭圆经过点A,求椭圆C2的标准方程. 15.[2024·浙江金华高二期中] 如图,已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P,Q为双曲线C上两点,满足F1P∥F2Q,且|F2Q|=2|F2P|=5|F1P|,则双曲线C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 16.双曲线的光学性质为:从双曲线的右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1(如图①).某“双曲线灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,若由焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足DA⊥AB,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $