2.2.2 双曲线的简单几何性质-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

(2)因为A(-30,0),C(0,30),设AC的垂直平分线方程为y=kx, 则k=0--30）-1,则4C的垂直平分线方程为y=-,与00 30-0 5001(x≤-20)联立可得2=2000，故x=-205,y=20w5,故观察 员遇险地点的坐标为(-205,20√5)，与监测中心0的距离为 √(-20w5)2+(205)2=20√10（千米）. (3)设轨迹上一点为P(x,y),则1PC1=√x2+(y-30)产= y-0490,又因为品品1，可得-行40代入可 95012 得Pc19>-60+130=33+800≥V800 202,当且仅当y=0时，PC取得最小值20万.故扫描半径r至少 是202千米. 压轴挑战 2(5-√5)T解析：如图，设内切圆半径为R,切点分别为N,M,P,由 题意得a2=3,b2=1,则c2=4,a=√3，c=2,所以1F1F21=2c=4.由双曲 线定义有1AF21-|AF11=IBF21-1BF11=25.又因为AB·AF2=0,即 ∠FB=受，所以1M12+1A2=1RR,,因此1A,1+|A那，I= √2(1AF22+1AF112)-(1AF21-1AF,)7=√2×42-(23)2=2W5,从 而R歇△AB,的内切圆半径R=子(1AB1+1A,-1B即2)= 子(1M+1M,)-（1B,-IB,)=5-3,所以△MB,的内切 圆周长为2πR=2(5-√3)π.故答案为2（√5-√3）π. F,x 2.2双曲线的简单几何性质 白题 基础过关 1kA解折：双商线方程可设为三卡=1且2山=6,26=8，即g36 4,所以双曲线方程为。 =1.故选A. 916 2.B解析：依题意可得2c=10cm,行=5，所以a=5cm,所以该笔 筒中间最窄处的直径为2a=2W5cm.故选B. 3.A解析：由题意得2x-1=√(x-2)2+y2,将两边y1 同时平方可得(2x-1)2=(x-2)2+y2(2x-1≥0)， 4-- 即-(），所以(，可君作是双 1 线2子=1的右支上的点，如图所示，双曲塑 Q234无 -P-1 x2-=1的右支上的点(1,0)到原点距离最小， -4-k1 即√x2+y2的最小值为1，故x2+y2的最小值为1.故选A. 4.1解析：由条件可知(m+1)+(m2-m-2)=0,解得m=1或m=-1(含 去).故答案为1. 5.A解析：依题意可得2a=8,2b=6,则c=√a2+b2=5,所以C的离心 率为：=？，故选A 6.D解析：如图所示，因为△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，所 以IAB|=|BMI=2a,∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N, 在Rt△BMN中，则IBNI=a,IMNI=√3a,故M(2a,3a),代人双曲 线方程得2a2_Ba°-1，解得a2=62,即a2=2-,所以 a2 62 选择性必修第一册·BS c2=2a2,解得e=√2.故选D. （第6题) (第7题) 7,A解折：如图，由过双商线C兰=1(a>0,6>0)的右熊点F的 直线1与C交于A,B两点，若A,B两点均在双曲线的右支时，则1⊥x 轴时，线度B的长度取最小值，即为通径，此时为2心：者A,B两点在 双曲线的两支时，则直线1与x轴重合时，线段AB的长度取最小值， 即为实轴，此时为1A1A2l=2a,若线段AB的长度取最小值时，直线1 恰有两条，则2=2a,即a=6,则双曲线C的离心率e=S。 a 8.A解析：设圆与直线1相交于点B和C,双曲 线的右顶点为A,如图所示由题意得，圆的圆 心为0，半径为10B1=10C1=a.由圆被直线1 分成弧长为2：1的两段圆弧，可得∠COB 120°，所以根据圆的对称性可得∠AOB=60° a2 由直线方程l:x= 上C,可得cos Z.Ac0B,即c=2a所以双曲线的离 心率e=C=2.故选A 9.3+1解析：由1PF2=c,可得点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥ PF2,1F1F2l=2c,所以1PF11=√(2c)2-c2=3c,所以2a=1PF,l- 1P℉，1=3c-c,所以5=2=3+1.故双曲线的离心率为3+1.故 a√3-1 答案为3+1. 10.AB解析：如图，点P在双曲线的右支上，且IPF1I=4|PF21,由双 曲线的定义可得1PF1l-1PF2l=2a,解得1PF21=3a,1PF11= ，由1PB,1≥6-a,解得e≤弓a,即1e=日≤？，放A,B 8 .5 5 两项正确，C,D错误.故选AB (第10题) (第12题) 11.D解析：以线段F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=c2,与直线ax- by+2ac=0有交点，则圆心到直线的距离d= 12acl =2a≤c, √a2+(-b)2 则双曲线的离心率e=C≥2.故选D. 12.D解析：由于M在以1F1F2|为直径的圆上，故F,M⊥F2M.如图，设 ∠MF2F1=0,则1MF1I=2csin0,IMF2I=2ccos6,根据双曲线的定 义1MR1-1MF21=2a,所以2csin0-2cco80=2a,所以C= 1 石)，故y=血0-s0在0=（行沿）上单调递增，当0=号时。 y=血w=当=设时=2血(0-子）2m名 黑白题028 经所以y=m(o-）(停受)所以÷a÷ 1),故选D 8（2)）每折：双鹰线荐o=1,则2=+(e) 2+2a+,所以离心率e=台=√信√月 /2a2+2a+1 a2 2=√1因为a1,所以c1,以1 12则2<（1<5所以11<5 即e∈(2,5).故答案为(2,5) 14.B解折：设双曲线C.+ 6=1(ab<0),点(2,5)和(-5，-2) 4 3 =1, 在曲线上，∴. a b 5 4 (a61, 两式相减可得。+=0，即a:渐 近线方程为y=±x,故选B. 15.C解析：C的焦点在x轴上，设C的标准方程为兰二 a262-1(a>0, 6>0),则a2+62=c2=4,名=5，解得a=1,b=5.所以C的标准方 程为2 3=1.故选C. 16.22 ·9161(答案不唯-）解析：设所求双曲线的方程为二二 169 λ（入≠0），因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以入<0，则可取入= -1,所以所求双曲线的方程为号。=1（答案不峰一）故容案为 y2 x2 9161(答案不唯一). 17. x2 v2 2 解析：因为双曲线C:。1(a>0,6>0)的-条渐近线的方 「程为*+2y=0,所以名=之，所以双曲线的离心率为©宁 √小（做案为号 2 四方法总结 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的 标准方程中“1”为“0就得到两条渐近线方程，即方程之 a22=0就 是双曲线 a262 =1(a>0,b>0)的两条渐近线方程. 重难聚焦 18.C解标：由题意知1+m3,解得{2所以m2+2=29 (1+m2=n2-12, 故选C. 19.B解析：如图，令线段PF1的垂直平分线 与PF1的交点为M,显然M是PF,的中 点，而O是FF2的中点，则OM∥PF2.又因 为OM⊥PF1,所以PF2⊥PF1.由条件知 IPF112+1PF212=1F1F212, IPF11+IPF2I=2a1, 则(2a1)2+ (IIPF1I-IPF211=2a2, (2a2)2=2(1PF112+1PF212)=21F1F2I2.令C1与C2的半焦距 4 为，由=A得a13c,所以(。+(242)2=2(2c)解得 2 马=，则b,-了c,2=24,所以C2的渐近线方程为上 2x故选B 参考答案 20.（5,5+1)解析：设椭圆C和双曲线C,的方程分别为， a2t62 1(>b>0),m-n x2 y2 =1(m>0,>0),所以PE+1PE21=2a,可 PFI-IPF21=2m, 设椭圆C1的半焦距为c,因为PF1⊥PF2,所以IPF1I2+IPF2I2= (2e)2,即(a+m)2+(a-m)2=4c2,化简得a2+m2=2c2,即 2* 2,即11 m2 2， 令=2s0,=如0则m0,血>0，取0e(0,子） e 因为e1e(0,1),e2e(1,+∞)，所以2cos>1,0<√2sin0<1,所 以os经0血0号故0e(0,子）则amr e1 e2 6m=2a(行mo+5m-2aa(rg)e（o )时，ge(云)s(o）】 +Cos- 4 4 22 号5，所以血(e君）（合2）所以 2 2 2am(6） (5,5+),所以上+5(2,5+10.故答案 e1 e2 为(2,3+1). 黑题 应用提优 1.AB解析：双曲线C: x2 y2 =1,则a=4,b=2,c=a2+b2=25,所 164 以渐近线方程为y=±了，放A正确；离心率为e=日- a ,故B正 确：焦点坐标为（±2√5,0），故C错误：实轴长为2a=8,虚轴长为2b= 4,所以C的实轴长是虚轴长的2倍，故D错误故选AB. 2.A解析：由1F1F21=2c=6,得c=3,设PF,与F2M交于点N,如图， 由直线PM平分∠F1PF2,且F2M⊥PM,可得△PF2N为等腰三角形 则M为F2N的中点.又0是FF2的中点，可得1F1N1=2IOMI=23 又因为|PF2I=IPNI=IPF1|+IF1NI=|PF1I+23,可得IPF2I 1PF11=2a=23,即a=3,所以双曲线E的离心率为e=C=3.故 a 选A (第2题) (第3题) 3.B解析：易知圆的方程为x2+y2=c2,如图，由于以1F1F21为直径的 圆与双曲线交于四点，这四点的连线组成的四边形是正方形，所以双 曲线与圆的一个交点为 (停受)，代人双线方程得岩器 4a2462 1,即2+82a2+ 2a2 262 =1,故 2=1-2(舍去)，结合k=6得k2=1+2.故选B. 4.B 解析：由@>6知：<1两条渐近线之间的夹角小于号，故合。 (0,m君）=(o,)故离心*=1+()厂e(,2)月 故选B. 黑白题029 5.ACD解析：kB=tan ZAF2x=-2,因为∠AF2x=∠F1F2B,所以 cosZF:F:B=cosF 一5，A正确；由1AF1=AB1,根据双曲线 的定义可得IAF11-IAF21=2a,知IBF2I=2a=25,则IBF1I=45, 1F1F2I=2c=2w√5+b2,△BF1F2中由余弦定理可得 然行的得合成4放B粒限 设1AF2|=x,则|AF1I=x+2N5,在△AFF2中，由余弦定理，得 cosLAF,F,=cos(m-∠A机，x)=-cs乙A,x=5_2+36-(x+25) 51 12x 5 2+25=5 解得A,==空，则1AB1=1AD,1+1BS,1= 2,C正 √5 确；c08LAF,F1=cos(T-LAF2x）=-cos∠AMF2x=5, 咖L,R25,1R,R1=2=2v54=6S=7· 1 1E,E1.1AE,1·in∠AE2E=2×6×2×5=3,.Sa脚12月 21 子1RRI1即，1·血(m-∠AR)=子·1PR1· 1 1BF2l·sinAF2E=)x6×25x22=12,SA45,=SA5+ 5 S△BF1f2=3+12=15,D正确故选ACD. 6.2解折：设P(0),则场-空=1，即方=3站-3，所以1PW1 .3215 √o32+%=√4-6+6=√4(。4)+4，而11≥1， 则当0=1时，PM=2,所以双曲线2-，1上一点P到M(3 0)的距离最小值为2.故答案为2. 7.22 22=1(答案不唯一）解析：由①可设双曲线方程为之之 a262 1(a>0,b>0),由②可得渐近线方程为=±+，则-0 62=-1,所以a= 6,由③可得2>2，所以c>1,可取a=6=2,所以双曲线方程为。 号1放爷案为号号1U零案不-）》 8.下解析：设F(c,0),0为坐标原点，则 3 1PFI=Ibc1-c=b,所以cos∠0FP= √a2+b2c 。如图，设E的左焦点为P,QF1=,连 接QF',由双曲线的定义，得1QF'I=t+2a.在△QF'F中，由余弦定理， 得+2a2=4(2y户-2x20x(）解得1-由戒-2成，得 a-b 。=2山，解得合=子，所以。= b2 ) a √（仔故答案 3 3 四方法总结 求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系 式求e或e的范围；另一种是建立a,b,c的齐次关系式，将b用a,c表 示，转化为e的关系式，进而求解. 92*3 2 解析：设两曲线的半焦距为c,由余弦定理得1F1F22= IPF1I2+IPF2I2-2IPF1I1PF2Icos60°，在椭圆中，IF1F2I2= (IPF]1+IPF21)2-21 PF IIPF21(1+cos 60),PF1IPF2 I= 2n2 1+c060e=4g,在双曲线中，FF2P=(PRP2)2+ 选择性必修第一册·BS 2b2 21PF,·1PF,1(1-cas60),得1PF,1PF,1=1-oe60=42,从而 厂=462，得n2=38,则m2=+e2=36+,2=c2-62,即m2+3a2= 4,号号4，即日号-4，所以+=(+)（信 ei e ）) 1x(4+2)=2+3当且仅当好= 4 2 子：3时等号成立故答案为 2 §2阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：设P(0,0),则号 612 =1,即6=6+2，又直线1过原 点，且双曲线关于坐标原点对称，可得点A(3,6)与点B关于坐标原 点对称，则B(-3,-√6)，所以P=(3-0,6-0),P=(-3-x0, 3 -6-),时.市=6-9+-6=2-9，又%eR,即i.啦 3 26-9的最小值为-9，故选B. 2.C解析：如图，取M为PF的中点，F2为右 焦点，连接OM,PP2,:P市.O币+P市.O市= P市.(0+0i)=2P.0M=0,.0M1 PF,.1OF1=1OP1=c.FO在FP上的投影 向量的模为51O1,1FM1= 2 2c, M IPPI=e IPF=e.IPFI-IPF I=2a, (3-1)c=2a,.C=3+1.故选C a 3.B解析：因为直线x=0和直线y=x的夹角为牙，由题意可得双曲 线C :。京=1(a>0,b>0)两条渐近线的夹角为，面双曲线 b 1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±。，所以m8 C:- 2tan 8 2.6 a =1,解得。=2-1（负值舍 12 去)，所以双曲线C的渐近线方程为y=±（√2-1）x.故选B. 4.C解析：在双曲线。5三 =1中，a=3,b=4,则c=5,易知点F,(-5, 0),P2(5,0),设1PFI=“,PR,=,对于A选项，因为双曲线 91 4 6=1的渐近线方程为y三±x,当点P在第一象限内运动时，随着 ,的增大射线n慢慢接近于直线y=子，此时0<号，同理可知 4 当点P在第四象限内运动时，-了<0，当点P为双曲线的右顶点 44 时，k=0,综上所述，k的取值范围是（子，了）A对：对于B选项。 当m1n时，u-v=2a=6,u2+2=(u-v)2+2u=36+2m=102,所以 1PF11·1PF2|=m=32,B对；对于C选项，IF1QI=√(7+5)2+5= 13,故n过点Q(7,5)时，光由F2到P再到Q所经过的路程为 IPF2I+IPQ1=1PF1I-2a+IPQ1=1F1Q1-6=7,C错；对于D选项，若 T(1,0),由角平分线定理可得 路 1PR,之，解得1Pp,1=12,D对. 6+1PF213 黑白题0302.2双曲线的简单几何性质 白题 基础过关 限时：50min 题组1双曲线的几何性质及其应用 6.（2025·江西南昌高二期中)已知A,B是双曲 1.(2025·江苏淮安高二期中)实轴长为6，虚轴 俊：1(0>0，b>0)的左右顶点，点m 长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为( 在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为 B. =1 916 120°，则E的离心率为 ( ) C. 1691 D.691 A.√5 B.2 C.3 D.√2 2.(2025·吉林通化高二期中)如图，某双曲线 7.(2025·江西上饶高二月考)过双曲线C: 笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为5且 y 焦距为10cm的双曲线的一部分.忽略笔筒的 =1(a>0,b>0)的右焦点F的直线1与C交 厚度，该笔筒中间最窄处的直径为( 于A,B两点，若线段AB的长度取最小值时，直 线1恰有两条，则双曲线C的离心率为（) A.√2 B.3 C.2 D.5 8.(2024·天津和平区高二月考)规定：直线1： a是双曲线21〔a>0,>0的药搬 A.4cm B.2√5cm 线，以原点为圆心，且过双曲线的顶点的圆， C.6cm D.3√5cm 被直线1分成弧长为2：1的两段圆弧，则该 3.(2025·江西师大附中高二期中)若2x-1= 双曲线的离心率是 ( √(x-2)2+y,则x2+y2的最小值为 ( B.2 6 B.2 A.2 C. D.5 A.1 2 1 C.4 D.4 9.(2025·江苏徐州高二期中)已知双曲线C: x2y2 4若双曲线C: =1的实轴长与虚 aP-1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F, m+1'm2-m-2 F2,焦距为2c,P在C上，且PF1⊥PF2, 轴长相等，则m= IPF2|=c,则C的离心率为 题组2求双曲线离心率的值 题组3求双曲线离心率的取值范围 5.已知双曲线C上一点到两个焦点的距离之差 的绝对值为8，虚轴长为6，则C的离心率为 0(多选)已知双曲线。1(0>0，b>0)的 ( 左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右 A.4 B.v②1 支上，且IPF,I=41PF,I,则此双曲线的离心 4 率e可能的值为 7 C.2 D. A. C.2 3 第二章黑白题045 11.(2025·黑龙江牡丹江高二期中)已知双曲16.(2025·江苏连云港高二期中)请写出一个 线C号茶=1a>0>0)的左，右条点分别 患点在)轴，并与双由线。，1有相同滑 为F1,F2,焦距为2c.若以线段F,F2为直径 近线的双曲线的方程： 的圆与直线ax-by+2ac=0有交点，则双曲线 17.(2025·江西上饶高二期中)已知双曲线C: C的离心率的取值范围为 ( x2y2 a2b2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 A.(1,2) B.(2,+∞) x+2y=0,则C的离心率的值为 C.(1,2] D.[2,+o) 重难聚焦川 12.(2025·江苏南京师大附中高二期中)已知双 题组5椭圆、双曲线共焦点问题 面酸否-1a>0,>0)的左，右袋点分测为 18.（2025·河南开封高二期中)已知离心率为 F1,F2,M为双曲线右支上的一点，若M在以 目的双曲线21与椭圆分1有相 12 K为直径的圆上，且∠FF∈（写）， 同的焦点，则m2+n2= 则该双曲线离心率的取值范围为 ( A.13 B.21 C.29 A.(1,2) B.(V2,+0) 19.(2025·江西宜春高二期中)已知 C.(1,3+1) D.(2,3+1) 椭圆C: =1(a1>b1>0)和双 B这1侧双周线若-1的离心率的 y 2 取值范围是 曲线C,a房 =1(a2>0,b2>0)有公共的焦 题组4双曲线渐近线方程及其应用 点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第 14.(2025·河南南阳高二期中)已知双曲线C 象限的公共点线段PF,的垂直平分线经过 以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2，√5)和 坐标原点，若C,的离心率为子，则C,的渐近 (-√5，-2)，则C的渐近线方程为 线方程为 ( B.y=±x A.y 3t B.y=±2 C.y=±√2x D.y=±2x 14 15.(2025·江西赣州高二期中)若双曲线C的 C.y=±， D.y=±7 一个焦点为(2,0)，其中一条渐近线与直线 20.(2025·安徽宣城高二期末)已知点F1,F2是 3x+√3y-1=0平行，则C的标准方程为 椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们 ( 在第一象限的一个公共点，且PF,⊥PF2,若 1 A. B. -2=1 3 C和C,的离心率分别为e,,则+的 31 取值范围是 选择性必修第一册：BS黑白题046 黑题 应用提优 限时：40min 1.(多选)(2025·山东菏泽高二期中)关于双曲 5(多选)已知双曲线C；方 =1(b>0)的左、右 线C:61,下列说法正确的是 焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线y= A.C的渐近线方程为y=±2 -2(x-c)与双曲线C右支相交于A,B(其中A 在第一象限)，若IAFI=IAB1,则下列说法正 B.C的离心率为5 确的是 C.C的焦点坐标为（±√5,0） A.cos∠R,F,B=5 D.C的实轴长是虚轴长的4倍 B.b=3 2.(2025·江西抚州高二期中)在平面直角坐标 C.1AB1=5 x0中，E,f2为双曲线E:=1(a>0.五 D.△ABF,的面积为15 0)的左、右焦点，1FF2I=6,P为E左支上异于 顶点的一点，直线PM平分∠F,PF2,F,MI 6双曲线-号1上一点P到M(3,0)的距离 PM,IOM1=√3，则E的离心率为 最小值为 A.5 B.2 7.写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线 c 方程为 D.4 ①中心在原点，焦点在y轴上； 3双曲线 。尔=1(>0，b>0)的左、右焦点分别为 ②两条渐近线互相垂直； ③焦距大于2. F1,F2,以IF,F2|为直径的圆与双曲线交于四 8.(2025·广东深圳高二月考)已知双曲线E: 点，这四点的连线组成的四边形是正方形，设双 曲线的渐近线的斜率为飞，则2= ( 2=1(a>0,6>0)的右焦点为F,过点F作 A.2+√2 B.1+√2 直线l与渐近线bx-ay=0垂直，垂足为点P, C.√2 D.√5 延长PF交E于点Q.若F0=2P,则E的离心 4.(2025·重庆巴蜀中学高二期中)已知双曲线 率为 x2y a2户=1(a>b>0)的两条渐近线之间的夹角 9(2025·辽宁沈阳高二期中)已知椭圆C1:2+ 小于霄，则双曲线的离心率的取值范围是 是=1(m>n>0)与双曲线C,:。存=1(a>0, b>0)有共同的焦点F1,F2,点P为两曲线的一 个公共点，且∠FPF2=60°，椭圆的离心率 A.（1,N2) 为e,双曲线的离心率为e2,那么e+e的最小 C.(2,+∞) n,231u2) 值为 进阶突破拔高练P03 第二章黑白题047