2.1.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合问题(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　椭圆的几何性质的综合问题 一、选择题 1.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的取值范围分别为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.|x|≤3,|y|≤5 B.|x|≤,|y|≤ C.|x|≤5,|y|≤3 D.|x|≤,|y|≤ 2.在椭圆+=1中,A1,A2分别为椭圆的左、右顶点,F1为其左焦点,M是椭圆上的点,则△MF1A2面积的最大值为 (　 ) A.16 B.32 C.16 D.32 3.圆A的半径为6,圆心为A(-1,0),B(1,0)是圆A内一个定点,P是圆上任意一点,线段BP的垂直平分线与线段AP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹方程为 (　 ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 4.椭圆+=1与椭圆+=k(k>0且k≠1)的 (　 ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 5.椭圆+=1的内接矩形面积的最大值为 (　 ) A.4 B. C.4 D.2 6.已知F1,F2分别是椭圆E:+=1的左、右焦点,点P(x0,y0)为椭圆E上的动点,且 |x0|≤1,若I为△PF1F2的内心,则△IF1F2面积的取值范围是 (　 ) A. B.[,] C. D.[-,3-] 7.(多选题)已知椭圆C:+=1(m>4)的右焦点为F,点A(-2,2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P,使得|PA|+|PF|=8,则m的值可以为 (　 ) A.6+2 B.6+4 C.24 D.25 8.(多选题)如图,椭圆C1与椭圆C2有公共的左顶点和左焦点,且椭圆C2的右顶点为椭圆C1的中心,设椭圆C1与椭圆C2的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则以下结论中正确的是 (　 ) A.e2=2e1-1 B.a1c2>a2c1 C.a1+c2=a2+c1 D.a1-2c2>2a2-c1 二、填空题 9.在手工课上,老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,如图,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为　　　　.  10.若P是椭圆+y2=1上的一个动点,A(0,3),则|PA|的最大值为　　　　.  11.设点P是圆x2+y2=1上任意一点,由点P向x轴作垂线,垂足为P0,M是平面内任意一点,且=,则点M的轨迹C的标准方程为　　　　　　.  12.若椭圆+=1(a>b>0)上存在一点M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2分别为椭圆的左、右焦点),则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　.  三、解答题 13.已知椭圆C:+=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上一点. (1)若a=3,求·的取值范围; (2)若∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积. 14.已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设点A(0,-1),点M是椭圆C上任意一点,求|MA|的最大值. 15.已知定圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49和定点M(2,1),动圆C与圆C1外切且与圆C2内切,则|CM|+|CC1|的最大值为 (　 ) A.8+ B.8- C.16+ D.16- 16.如图,某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池,水池边缘由半椭圆+=1(x≤0)和半椭圆+=1(x≥0)组成,其中a>b>9,水池边缘内切于矩形(即水池边缘与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求a,b; (2)在开凿的水池内建造一个矩形网箱养殖观赏鱼,若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y=t(t∈(0,15)),求该网箱所占水域面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　椭圆的几何性质的综合问题 1.C　[解析] 由9x2+25y2=225,得椭圆的标准方程为+=1,则a=5,b=3,因为点P(x,y)在椭圆上,所以|x|≤5,|y|≤3.故选C. 2.A　[解析] 由题意可知当点M为椭圆的短轴的端点时,△MF1A2的面积取得最大值,由+=1,得a=5,b=4,c=3,所以△MF1A2面积的最大值为(a+c)·b=×8×4=16.故选A. 3.B　[解析] 连接BQ,由线段垂直平分线的性质得|BQ|=|PQ|,∵|AP|=|AQ|+|PQ|=6,且点A,B均为定点,∴|AQ|+|BQ|=6>|AB|=2,∴点Q的轨迹是以点A,B为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则2a=6,2c=2,∴a=3,c=1,∴b=2,∴点Q的轨迹方程为+=1,故选B. 4.D　[解析] 易知椭圆+=1的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2,离心率为.椭圆+=k(k>0且k≠1)的标准方程为+=1(k>0且k≠1),可知该椭圆的长轴长是8,短轴长是6,焦距是2,离心率为,所以这两个椭圆的离心率相等.故选D. 5.A　[解析] 设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点坐标为(x,y),则x>0,y>0,由对称性可知,内接矩形的面积S=4xy=8··≤4×=4,当且仅当=,即x=y时等号成立,由解得此时等号成立,所以椭圆+=1的内接矩形面积的最大值为4.故选A. 6.C　[解析] 由椭圆的方程可得a=,b=,c=1,设△PF1F2内切圆的半径为r,则=×2c·|y0|=(2a+2c)·r,可得r==|y0|,因为+=1,所以|y0|=·,所以r=·,所以=·2c·r=×2××=·,因为|x0|≤1,所以∈,即∈.故选C. 7.BCD　[解析] 由题意知,a=,b=,c==2.设椭圆的左焦点为F',则F'(-2,0).由点A在椭圆内部得+<1,结合m>4,解得m>6+2.由|PF|+|PF'|=2,及|PA|+|PF|=8得||PA|-|PF'||=|8-2|,又当P,F',A三点共线时||PA|-|PF'||最大,所以|8-2|≤|AF'|=2,解得9≤m≤25,综上,6+2<m≤25.故选BCD. 8.ACD　[解析] 由题知在②两边同加c2+c1,得a1+c2=a2+c1,故C正确;将①代入②得a2-c2=2a2-c1,两边同时除以a2得1-=2-=2-2=2-2,即1-e2=2-2e1,则e2=2e1-1,故A正确;由②得c1=a1-a2+c2=a2+c2>2c2③,③式两边同乘a2得c1a2>2a2c2=a1c2,故B错误; 由③式得-c1<-2c2,两边同加a1得a1-c1=2a2-c1<a1-2c2,故D正确.故选ACD. 9.20 cm　[解析] 由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同,可得这两个椭圆的离心率相同.由大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,可得其焦距为20 cm,故大椭圆的离心率为,所以小椭圆的离心率为.设小椭圆的长轴长为2a cm,因为小椭圆的短轴长为10 cm,所以=,可得a=10,所以小椭圆的长轴长为20 cm. 10.4　[解析] 令P(x,y),则|PA|=,又x2=4(1-y2),所以|PA|=,又-1≤y≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值4. 11.x2+=1　[解析] 设M(x,y),P(m,n),则P0(m,0),∴=(m-x,-y),=(0,-n),∵=,∴(m-x,-y)=(0,-n),∴m=x,n=y,又点P在圆x2+y2=1上,∴m2+n2=1,∴x2+y2=1,∴点M的轨迹C的标准方程为x2+=1. 12.　[解析] 方法一:设点M的坐标是(x0,y0),则|x0|<a.∵F1(-c,0),F2(c,0),∴=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0).∵∠F1MF2=90°,∴·=-(c+x0)(c-x0)+=0,即+=c2.又点M在椭圆上,∴=b2-,∴+=b2+∈[b2,a2),即c2∈[b2,a2),∴c2≥b2=a2-c2,即≥,又0<e<1,∴≤e<1,故椭圆的离心率e的取值范围是. 方法二:设椭圆的一个短轴端点为P,∵椭圆上存在一点M,使∠F1MF2=90°,∴∠F1PF2≥90°,则c≥b(当且仅当M为短轴端点时等号成立),∴c2≥b2=a2-c2,即≥,又0<e<1,∴≤e<1,故椭圆的离心率e的取值范围为. 13.解:(1)当a=3时,原方程为+=1,则F1(-2,0),F2(2,0),设P(x,y),则-3≤x≤3,-≤y≤,故=(-2-x,-y),=(2-x,-y),所以·=x2+y2-4,又x2=9-y2,且0≤y2≤5, 所以·=5-y2∈[1,5]. (2)由题意知,=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=|PF1||PF2|.因为|PF1|+|PF2|=2a, 且cos∠F1PF2==-, 所以= -1=-,整理得|PF1||PF2|=20, 所以=5. 14.解:(1)因为P3,P4关于y轴对称,所以P3,P4必在椭圆C上,则+=1.因为+>+=1,所以P1(1,1)不在椭圆C上,所以P2(0,1)在椭圆C上,所以b=1,a2=4,故椭圆C的方程为+y2=1. (2)点A(0,-1)是椭圆C的下顶点,设椭圆上的点M(x0,y0),其中-1≤y0≤1,则+=1,即=4-4,所以|MA|2=+(y0+1)2=4-4+(y0+1)2=-3+2y0+5=-3+.因为函数y=-3+在上单调递增,在上单调递减,所以当y0=时,|MA|2取到最大值,且最大值为,故|MA|的最大值为. 15.A　[解析] 由圆C1:(x+3)2+y2=1得其圆心为C1(-3,0),半径为1;由圆C2:(x-3)2+y2=49得其圆心为C2(3,0),半径为7.动圆C与圆C1外切且与圆C2内切,连接CC2,设动圆C的半径为r,则|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以动点C的轨迹是以C1,C2为焦点,8为长轴长的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则a=4,c=3,b2=a2-c2=7,所以动点C的轨迹方程为+=1.由椭圆的定义可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|≤8+|MC2|=8+(当C,C2,M三点共线且|CM|>|CC2|时取等号),故选A. 16.解:(1)由题意可知b==15,a=34-=25. (2)由(1)知,两个半椭圆的方程为+=1(x≤0)和+=1(x≥0),令A(x1,t),B(x2,t)分别是矩形水箱在第一、二象限的顶点,则可得x2=-x1,所以网箱所占水域面积S=2t(x1-x2)=2t×x1=510×2××≤510×=510,当且仅当=时等号成立, 所以网箱所占水域面积的最大值为510平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $