2.2.1 双曲线及其标准方程(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 一、选择题 1.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),P是双曲线上一点且||PF1|-|PF2||=4,则双曲线的标准方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 2.[2024·河北石家庄高二期中] 若双曲线-y2=1(a>0)的右焦点是(3,0),则实数a= (　 ) A.8 B.4 C.10 D.2 3.[2024·湖北武汉高二期中] 已知方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是 (　 ) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(2,3) D.(2,+∞) 4.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 (　 ) A.17 B.16 C.20 D.16或20 5.为响应国家号召,大力发展三农产业,某农户在自家地块开起生态农家乐,并建设了三个功能区,如图所示,△ABC为小型鱼塘,供游客休闲垂钓,矩形BCMN为果园种植区,以线段CM为直径的半圆区域为农家乐活动住宿区.现农户欲对果园进行施肥,运来一批肥料放置于点A处,要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB,AC送到矩形BCMN的果园种植区,若道路AB,CB的长均为2 km,道路AC的长为1 km,该农户在矩形BCMN中画定了一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近,而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近,设这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为 (　 ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 6.设θ∈(0,2π),则“方程+=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为 (　 ) A.θ∈(0,π) B.θ∈ C.θ∈ D.θ∈ 7.(多选题)已知点P在双曲线-=1上,且点P到其左焦点的距离为10,则点P到其右焦点的距离可能是 (　 ) A.2 B.18 C.20 D.42 8.(多选题)[2024·齐齐哈尔高二期中] 已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是 (　 ) A B C D 二、填空题 9.焦点是椭圆+=1的顶点,且经过该椭圆的焦点的双曲线方程为　　　　　　.  10.已知点F1(-,0),F2(,0),动点P满足|PF2|-|PF1|=2,当点P的纵坐标是时,点P到坐标原点的距离为　　　　.  11.已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为20,点P是双曲线上一点,|PF1|=17,则|PF2|=　　　　.  12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,|F1F2|=10,点M是双曲线左支上一点,若|OM|=,4|MF1|=3|MF2|,则双曲线的标准方程是　　　　　　.  三、解答题 13.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=4,c=6,且焦点在x轴上; (2)两个焦点为F1(0,-5)和F2(0,5),且经过点A(-3,4). 14.设圆C与圆C1:(x+2)2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1中的一个内切,另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程; (2)已知点M(2,3)在曲线E上,过点M(2,3)作斜率为的直线l,直线l与曲线E交于另外一点N,试求△C2MN的周长. 15.P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.  16.如图,发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状(双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面),可以加强对流,自然通风.已知某个冷却塔最小横截面的半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高为55 m.以该冷却塔最小横截面的圆心为坐标原点,最小横截面的半径所在直线为x轴,竖直向上的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,求此双曲线的方程. 附:≈600. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 1.C　[解析] 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,则由题意可知c=3,2a=4,即a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为-=1.故选C. 2.A　[解析] 因为双曲线-y2=1(a>0)的右焦点为(3,0),所以32=a+12,解得a=8.故选A. 3.C　[解析] 方程+=1可化为-=1,由方程表示焦点在y轴上的双曲线,得解得2<m<3.故选C. 4.D　[解析] 由8x2-y2=8得x2-=1,所以a=1,c=3,则|F1F2|=2c=6.因为点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.不妨设点P在双曲线的右支上.当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16.当|PF2|=6时,根据双曲线的定义有|PF1|=|PF2|+2a=6+2=8,所以△PF1F2的周长为6+6+8=20.故选D. 5.D　[解析] 由题意设点P为该界线上一点,且点P满足从点A处沿不同道路到点P处所走的路程相同,即|AC|+|PC|=|AB|+|PB|,所以|PC|-|PB|=|AB|-|AC|,又|AB|=|CB|=2,|AC|=1,所以|PC|-|PB|=1<|CB|,根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线.故选D. 6.B　[解析] 若方程+=1表示双曲线,则sin θ<0,又θ∈(0,2π),所以θ∈(π,2π).根据选项可知,“方程+=1表示双曲线”的一个必要不充分条件为“θ∈”.故选B. 7.AB　[解析] 因为双曲线的方程为-=1,所以双曲线上的点到其两焦点的距离之差的绝对值为8,因为点P到左焦点的距离为10,所以点P到其右焦点的距离为2或18,故选AB. 8.CD　[解析] 方程nx2+my2=mn可化为+=1.对于A选项,双曲线的焦点在y轴上,故n>0,m<0,此时直线mx-y+n=0应该经过第一、二、四象限,A不符合题意;对于B选项,椭圆的焦点在y轴上,故n>m>0,此时直线mx-y+n=0应该经过第一、二、三象限,B不符合题意;对于C选项,双曲线的焦点在x轴上,故m>0,n<0,此时直线mx-y+n=0应该经过第一、三、四象限,C符合题意;对于D选项,椭圆的焦点在x轴上,故m>n>0,此时直线mx-y+n=0应该经过第一、二、三象限,D符合题意.故选CD. 9.x2-=1　[解析] 椭圆+=1的焦点为(-1,0),(1,0),在x轴上的顶点为(-2,0),(2,0),则双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),顶点为(-1,0),(1,0).故双曲线的方程为x2-=1. 10.　[解析] 由题意知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,其中c=,2a=2,则b2=c2-a2=1,所以动点P的轨迹方程是x2-y2=1(x≤-1).当y=时,x=-,即P,所以|OP|==. 11.33　[解析] 由题意知2c=20,解得c=10,又a>0且a2+b2=c2,即a2+36=100,所以a=8,所以||PF2|-|PF1||=2a=16,由|PF1|=17,得|PF2|=1(舍去)或|PF2|=33. 12.x2-=1　[解析] 因为|F1F2|=10,所以2c=10,即c=5.因为|OM|==c=5,所以MF1⊥MF2.因为4|MF1|=3|MF2|,所以可设|MF1|=3k,|MF2|=4k(k>0),则(3k)2+(4k)2=|F1F2|2=100,可得k=2,所以|MF1|=6,|MF2|=8.由双曲线的定义,知2a=|MF2|-|MF1|=8-6=2,所以a=1,所以b2=c2-a2=24,所以双曲线的标准方程为x2-=1. 13.解:(1)根据题意可知a2=16,b2=c2-a2=20,又双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程为-=1. (2)∵双曲线的两个焦点为F1(0,-5)和F2(0,5),∴双曲线的焦点在y轴上,且c=5.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵双曲线过点A(-3,4), ∴解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 14.解:(1)因为圆C与圆C1:(x+2)2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1中的一个内切,另一个外切,所以设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r(r>1),则|CC1|=r-1,|CC2|=r+1或|CC1|=r+1,|CC2|=r-1,则||CC2|-|CC1||=2<|C2C1|=4,所以圆心C的轨迹是以C1(-2,0),C2(2,0)为焦点的双曲线,且2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以轨迹E的方程为x2-=1. (2)过曲线E上的点M(2,3)作斜率为的直线l,易得直线l的方程为y-3=(x-2),即3x-4y+6=0,易知直线l恰好经过点C1(-2,0),所以点N在线段MC1上,所以|NC2|-|NC1|=2,|MC1|-|MC2|=2,所以|NC2|-|NC1|+|MC1|-|MC2|=4,即|NC2|+|MN|-|MC2|=4,因为|MC2|=3,所以|NC2|+|MN|=7,所以△C2MN的周长为|NC2|+|MN|+|MC2|=10. 15.5　[解析] 易知双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)分别为圆C1,C2的圆心,圆C1,C2的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5. 16.解:如图所示,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 设上口距x轴h m,则该双曲线过A(-12,0),C(-13,h),B(-25,h-55)(h>0),由题意知a=12,且由-=1可得h=b,将其代入-=1,得=b2,可得b=,则b2≈600, 所以所求双曲线的方程为-=1. 学科网（北京）股份有限公司 $