1.2.1 第2课时 圆的标准方程的综合应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　圆的标准方程的综合应用 1.A　[解析] 设圆心为C(a,2a-4),由|AC|=|BC|可得=,解得a=2,所以圆心C(2,0),所求圆的半径为|AC|=2,因此,所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=4.故选A. 2.C　[解析] 由题可得直线l:ax+4y-6=0经过圆心(3,-3),则3a+4×(-3)-6=0,解得a=6,故直线l的斜率是-.故选C. 3.A　[解析] 对于A选项,x2+y2=1表示圆心为原点,半径为1的圆,显然该曲线关于x轴和y轴都对称,故A符合题意;对于B选项,y=x2表示开口向上,顶点在原点,关于y轴对称的抛物线,该曲线不关于x轴对称,故B不符合题意;对于C选项,(x-1)2+y2=1表示圆心为(1,0),半径为1的圆,该曲线关于x轴和直线x=1对称,故C不符合题意;对于D选项,x-y+1=0表示经过点(-1,0),(0,1)的直线,显然关于x轴和y轴都不对称,故D不符合题意.故选A. 4.D　[解析] 因为|PA|=|PB|,∠APB=120°,所以∠APC=∠BPC=60°,易得四边形ACBP为菱形,所以AB的中点D也是PC的中点,所以|CD|=|PC|=1,所以点D的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,其方程是(x-2)2+(y-2)2=1.故选D. 5.C　[解析] (x-1)2+(y+2)2=25表示以C(1,-2)为圆心,5为半径的圆,设原点O(0,0),则|OC|=,则x2+y2的最小值是(5-|OC|)2=(5-)2=30-10.故选C. 6.A　[解析] 设点A的坐标为(-5,3),圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆心为B,C(m,0)是光线与x轴的交点.因为反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,所以反射光线经过点B(1,1),由反射的性质可知kAC+kBC=0,则+=0,解得m=-,于是kBC==,所以反射光线所在直线的方程为y=,即2x-3y+1=0,故选A. 7.BCD　[解析] 圆(x+3)2+(y+4)2=25的圆心为(-3,-4),半径为5,A错误;因为(-3,-4)满足x-y-1=0,所以圆心在直线x-y-1=0上,所以圆M关于直线x-y-1=0对称,B正确;因为点(-6,1)与点(-3,-4)之间的距离为=>5,所以点(-6,1)在圆M外,C正确;因为(x,y)满足圆M的方程,所以(x+3)2+(y+4)2=25,则可看作圆M上的点到Q(3,4)的距离,易知点Q在圆M外,故所求最小值是|MQ|-5=-5=5,D正确.故选BCD. 8.BD　[解析] 由题意设M(-2,0),N(0,2).对于选项A,因为|MN|==4,所以圆C的半径r≥2,故选项A错误;对于选项B,线段MN的中点坐标为(-,1),kMN=,所以线段MN的中垂线的方程为x+y+2=0,即圆心在直线x+y+2=0上,故选项B正确;对于选项C,当圆心C在x轴上时,可令x+y+2=0中的y=0,解得x=-,则此时C,其半径r=2-=,所以周长为2πr=π,故选项C错误;对于选项D,因为直线x+y+2=0不过第一象限,所以圆心C不可能在第一象限,故选项D正确.故选BD. 9.(x-2)2+(y-1)2=4　[解析] 设圆心为C(a,b),半径为r.由圆C的圆心在直线x-2y=0上,知a=2b.又∵圆C与y轴相切于点(0,1),∴b=1,a=2,∴圆C的圆心坐标为(2,1),则r=|a-0|=2,故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 10.2x-4y+5=0　[解析] 由题意知,圆心C2(-1,2),圆心C1(0,0),根据题意可得直线l为线段C1C2的垂直平分线,又==-2,线段C1C2的中点坐标为,所以直线l的方程为y-1=,即2x-4y+5=0. 11.1　[解析] 依题意可知,动点P的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,即动点P的轨迹方程为x2+y2=4,而|OM|==1<2,故点M在圆内,所以|PM|min=2-|OM|=2-1=1. 12.9　[解析] 圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心为(-1,-2),依题意知,点(-1,-2)在直线ax+by+1=0上,因此-a-2b+1=0,即a+2b=1(a>0,b>0),所以+=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时取“=”,所以+的最小值为9. 13.解:(1)由题意,线段AB为直径,故圆心C为线段AB的中点,即C(3,6),又|AB|==2,所以圆C的半径r=, 故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-6)2=10. (2)由于|PC|==5>,故点P在圆C外.易知当P,C,Q三点共线时|PQ|取得最值,且|PQ|max=|PC|+r=5+,|PQ|min=|PC|-r=5-,即线段PQ长度的最大值为5+,最小值为5-. 14.解:(1)设D为线段AB的中点,直线m为线段AB的垂直平分线,则D.又kAB=-3,所以km=,所以直线m的方程为x-3y-3=0.由得即圆心C(-3,-2),则该圆半径r=|CA|==5, 所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设点M(x,y),Q(x0,y0).因为点P的坐标为(5,0), 所以即又点Q(x0,y0)在圆C:(x+3)2+(y+2)2=25上运动,所以(x0+3)2+(y0+2)2=25,即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25,整理得(x-1)2+(y+1)2=,即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=. 15.2-1　[解析] 圆x2+y2=1的圆心为坐标原点O,半径为1,设点A(2,0)关于直线x+y=4的对称点为A'(a,b),于是解得即A'(4,2).连接OA',交直线x+y=4于点P,对于直线x+y=4上任意点P',有|P'A|+|P'O|=|P'A'|+|P'O|≥|OA'|=2,所以所求最短总路程为点A'与圆x2+y2=1上的点的最短距离,为2-1. 16.解:f(x)==,所以函数f(x)的几何意义是点(cos x,sin x)和点A(-1,-1)所在直线的斜率,易知点(cos x,sin x),x∈的轨迹是单位圆x2+y2=1在第一象限的部分及与y轴正半轴的交点.设圆x2+y2=1与x轴正半轴的交点为B,与y轴正半轴的交点为C,则B(1,0),C(0,1),所以kAB==,kAC==2,所以f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　圆的标准方程的综合应用 一、选择题 1.过点A(0,0),B(2,2)且圆心在直线y=2x-4上的圆的标准方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(x-2)2+y2=4 B.(x+2)2+y2=4 C.(x-4)2+(y-4)2=8 D.(x+4)2+(y-4)2=8 2.若圆C:(x-3)2+(y+3)2=4关于直线l:ax+4y-6=0对称,则直线l的斜率是 (　 ) A.6 B. C.- D.- 3.下列方程所表示的曲线中,关于x轴和y轴都对称的是 (　 ) A.x2+y2=1 B.y=x2 C.(x-1)2+y2=1 D.x-y+1=0 4.已知△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且|PA|=|PB|,∠APB=120°,则AB的中点D的轨迹方程为 (　 ) A.x2+y2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=2 C.(x-2)2+(y-2)2=3 D.(x-2)2+(y-2)2=1 5.若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=25,则x2+y2的最小值是 (　 ) A.5 B.5- C.30-10 D.无法确定 6.已知从点(-5,3)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所在的直线方程为 (　 ) A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0 7.(多选题)已知圆M的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25,则下列说法正确的是 (　 ) A.圆M的圆心为(3,4) B.圆M关于直线x-y-1=0对称 C.点(-6,1)在圆M外 D.若x,y∈R,且(x,y)满足圆M的方程,则的最小值是5 8.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(-2,0)和(0,2),则 (　 ) A.圆C的半径大于2 B.圆心在直线x+y+2=0上 C.当圆心C在x轴上时,圆C的周长为4π D.圆心C不可能在第一象限 二、填空题 9.已知圆C的圆心在直线x-2y=0上,且与y轴相切于点(0,1),则圆C的标准方程为　　　　　　.  10.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=2关于直线l对称的圆为C2:(x+1)2+(y-2)2=2,则l的方程为　　　　　　　.  11.大约在2000多年前,我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”,意思是说,圆有一个圆心,从圆心到圆上作线段,长度都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2,其中O为坐标原点,若M,则|PM|的最小值为　　　　.  12.已知圆(x+1)2+(y+2)2=4关于直线ax+by+1=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为　　　　.  三、解答题 13.已知圆C上有两个点A(2,3),B(4,9),且线段AB为直径. (1)求圆C的标准方程; (2)已知P(-1,3),点Q是圆C上的任意一点,求线段PQ长度的最大值和最小值. 14.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上. (1)求圆C的方程; (2)若线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程. 15.[2024·广西百色高二期中] 在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,将军从点A(2,0)出发,要到河边饮马,再回到军营,河岸线所在直线方程为x+y=4,将军只要到达军营所在区域即回到军营,则将军所走的最短总路程为　　　　.  16.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题求解.例如,与相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,求函数f(x)=,x∈的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $