1.2.1 第1课时 圆的标准方程(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 第1课时　圆的标准方程 一、选择题 1.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=2的圆心为C,半径为r,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.C(1,-1),r=2 B.C(-1,1),r=2 C.C(1,-1),r= D.C(-1,1),r= 2.已知点A(2,1),B(-4,5),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 (　 ) A.(x+1)2+(y-3)2=13 B.(x+1)2+(y-3)2=52 C.(x-1)2+(y+3)2= D.(x-1)2+(y+3)2=2 3.过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程是 (　 ) A.(x+4)2+(y+1)2=25 B.(x+4)2+(y-1)2=25 C.(x-4)2+(y+1)2=25 D.(x-4)2+(y-1)2=25 4.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是 (　 ) A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定 5.已知点A(-3,-1)和点B(5,5),则以线段AB的中点为圆心,以10为直径的圆的标准方程是 (　 ) A.(x-1)2+(y+2)2=100 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x+1)2+(y+2)2=25 6.[2024·河北石家庄高二期中] 过点A(-1,1),B(3,-3),且半径最小的圆的方程为 (　 ) A.(x-1)2+(y+1)2=8 B.(x+1)2+(y-1)2=8 C.(x-1)2+(y+1)2=32 D.(x+1)2+(y-1)2=32 7.(多选题)在平面直角坐标系中,已知圆的方程为(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,则下列说法正确的是 (　 ) A.该圆的圆心坐标为(a,-b) B.该圆的半径为a2+b2 C.该圆的半径为 D.该圆过定点(0,0) 8.(多选题)[2024·重庆九龙坡区高二期中] 若有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列结论中正确的是 (　 ) A.该组所有圆的半径均为2 B.该组所有圆的圆心恒在直线y=x上 C.当k=2时,点(3,0)在圆C2上 D.这组圆中,经过点(2,2)的圆有且只有一个 二、填空题 9.若点(-1,-1)在圆(x+a)2+(y-a)2=4的内部,则a的取值范围是　　　　.  10.写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程:　　　　　　　　.  ①圆心在直线y=x+1上,②与y轴相切. 11.若圆(x-2)2+(y-4)2=r2(r>0)上有且仅有一个点到点(-1,0)的距离为1,则实数r的值为　　　　.  12.[2024·江苏镇江高二期中] 若直线x-y+2=0分别与x轴、y轴交于点A,B,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的最大值是　　　　.  三、解答题 13.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值; (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内,另一点在圆N外,求实数a的取值范围. 14.求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心是(4,0),且过点(2,2); (2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4). 15.(多选题)如图所示,太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美.定义:若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分,则称该函数为圆O的一个“太极函数”,设圆O:x2+y2=1,则下列说法中正确的是 (　 ) A.函数y=x3+x是圆O的一个“太极函数” B.“函数f(x)的图象关于原点对称”是“f(x)为圆O的‘太极函数’”的充要条件 C.圆O的所有非常数函数的“太极函数”都不能为偶函数 D.函数y=sin x是圆O的一个“太极函数” 16.方程(3x-y+1)(y-)=0表示的曲线为　　　　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ §2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 第1课时　圆的标准方程 1.D　[解析] 已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=2,则其圆心为C(-1,1),半径r为,故选D. 2.A　[解析] 线段AB的中点坐标为(-1,3),|AB|==2,则以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=13.故选A. 3.D　[解析] 设圆心为C(2b+2,b),由圆过两点A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,则[(2b+2)-0]2+(b-4)2=[(2b+2)-4]2+(b-6)2,解得b=1,可得圆心为(4,1),半径为5,则所求圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=25.故选D. 4.B　[解析] 因为点P(3,m),(3+1)2+m2=16+m2>9,所以点P在圆外,故选B. 5.C　[解析] 线段AB的中点坐标为(1,2),该圆的半径为5,故该圆的标准方程是(x-1)2+(y-2)2=25.故选C. 6.A　[解析] 过点A(-1,1),B(3,-3),且半径最小的圆,即以线段AB为直径的圆,则该圆圆心为线段AB的中点(1,-1),半径r===2,则所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=8.故选A. 7.ACD　[解析] 由圆的标准方程可知,该圆的圆心坐标为(a,-b),半径为,所以A正确,B不正确,C正确;因为(0-a)2+(0+b)2=a2+b2,所以该圆过原点,所以D正确.故选ACD. 8.AB　[解析] 对于选项A,易知该组所有圆的半径均为2,故正确;对于选项B,由(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),可得圆Ck的圆心为(k,k),则该组所有圆的圆心在直线y=x上,故正确;对于选项C,当k=2时,圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4,易知(3,0)不满足此方程,故错误;对于选项D,将(2,2)代入方程得(2-k)2+(2-k)2=4,即(2-k)2=2,可得k=2±,有两个解,故错误.故选AB. 9.(-1,1)　[解析] 因为点(-1,-1)在圆(x+a)2+(y-a)2=4的内部,所以(-1+a)2+(-1-a)2<4,化简得a2<1,解得-1<a<1,即a的取值范围为(-1,1). 10.(x-2)2+(y-3)2=4(答案不唯一)　[解析] 因为圆心在直线y=x+1上,所以可取直线y=x+1上的点(2,3)作为圆心,又该圆与y轴相切,所以圆的半径为2,所以一个满足条件的圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4(答案不唯一). 11.4或6　[解析] 由题意得,圆心(2,4)与点(-1,0)之间的距离为=5,圆上有且仅有一个点到点(-1,0)的距离为1,若点(-1,0)在圆内,则r=5+1=6,若点(-1,0)在圆外,则r=5-1=4.综上,r的值为4或6. 12.6　[解析] 圆(x-2)2+y2=2的圆心为(2,0),半径为,∵S△ABP=|AB|·h(其中h为点P到直线x-y+2=0的距离),且点P在圆(x-2)2+y2=2上,∴hmax=+=3,又∵A(-2,0),B(2,0),∴|AB|==2,∴△ABP面积的最大值是×2×3=6. 13.解:(1)因为点M(6,9)在圆N上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,又a>0,所以a=. (2)由题意得,圆心N(5,6),因为P(3,3),Q(5,3),所以|PN|==,|QN|==3,所以|PN|>|QN|,故点P在圆N外,点Q在圆N内,又因为圆N的半径为a,所以3<a<,即实数a的取值范围是(3,). 14.解:(1)设所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=r2(r>0),因为点(2,2)在圆上,所以(2-4)2+22=r2,即r2=8,所以所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则所求圆的标准方程为x2+(y-b)2=25,又圆C过点(3,-4),所以32+(-4-b)2=25,解得b=0或b=-8,所以所求圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. 15.AD　[解析] 对于选项A,设h(x)=x3+x,因为h(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-h(x),所以函数y=x3+x是奇函数,又其图象的对称中心为圆心,所以其图象将圆的周长与面积同时等分,如图①所示,所以函数y=x3+x是圆O的一个“太极函数”,故A正确.对于选项C,如图②所示,函数y=g(x)是偶函数,y=g(x)也是圆O的一个“太极函数”,故C不正确;对于选项B,根据选项C的分析可知,圆O的“太极函数”可以是偶函数,该函数图象不一定关于原点对称,故B不正确;对于选项D,因为y=sin x是奇函数,点(0,0)是y=sin x图象的一个对称中心,且点(0,0)为圆O的圆心,所以y=sin x的图象将圆x2+y2=1的周长与面积同时等分,因此函数y=sin x是圆O的一个“太极函数”,故D正确.故选AD. 16.一条线段和半个圆　[解析] 由1-x2≥0,解得-1≤x≤1.因为(3x-y+1)(y-)=0,所以3x-y+1=0或y=.因为-1≤x≤1,所以方程3x-y+1=0表示一条线段.因为y=,所以x2+y2=1,y≥0,即y=表示以原点为圆心,1为半径的圆的一半.故方程(3x-y+1)(y-)=0表示一条线段和半个圆. 学科网（北京）股份有限公司 $