1.1.6 第1课时 两点间的距离公式(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 1.C　[解析] 由题意得=5,即(y+5)2=16,解得y=-1或y=-9.故选C. 2.C　[解析] 由题意知,=tan 45°=1,解得m=1,故A(1,2),B(-1,0),则A,B两点间的距离为=2.故选C. 3.A　[解析] 由两点间的距离公式,及|AB|=|AC|可得=,解得a=-2.故选A. 4.A　[解析] 当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2之间的距离最大,最大距离为|PQ|==5,所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5].故选A. 5.C　[解析] 设所求点的坐标为(x0,y0),则x0+y0-1=0,且=,两式联立解得或故选C. 6.B　[解析] 易知l1:x-my-2=0与l2:mx+y+2=0的交点为Q,所以|OQ|===,所以当m=0时,|OQ|取得最大值2.故选B. 7.A　[解析] 由题意知,直线l的斜率存在且不为0,可设l:y-2=k(x-4)(k≠0).令y=0,可得x=4-,则P;令x=0,可得y=2-4k,则Q(0,2-4k).所以|AP|=,|AQ|=,所以|AP|·|AQ|==≥ ==16,即当k=±1时,|AP|·|AQ|取得最小值.故选A. 8.AB　[解析] 由于点B在直线l上,故可设点B的坐标为(x0,-2x0+6).由|AB|2=(x0-1)2+(-2x0+7)2=25,化简得-6x0+5=0,解得x0=1或x0=5.当x0=1时,直线l1的方程为x=1;当x0=5时,点B的坐标为(5,-4),直线l1的方程为=,即3x+4y+1=0.综上,直线l1的方程为x=1或3x+4y+1=0.故选AB. 9.　[解析] 由解得故A(1,3),所以|AB|==. 10.2　[解析] 设O为坐标原点,则由题意知AO⊥BO,则△ABO为直角三角形,且AB为斜边,故|AB|=2|OM|=2=2. 11.(2,0)或(4,6)　[解析] 设B(x,y),由题意知,AC⊥BC,且|AC|=|BC|,所以 解得或所以点B的坐标为(2,0)或(4,6). 12.2　[解析] S=+表示点P(x,y)到点A(-1,0)与点B(1,0)的距离之和,即S=|PA|+|PB|,作出PA,PB,如图所示,由图可知,S=|PA|+|PB|≥|AB|=2,当且仅当点P在线段AB上时,等号成立,所以S的最小值为2. 13.解:由得所以点A的坐标为.因为O,A在直线l2:y=2x上,所以直线OA的斜率为2,因为点B在直线l1:x+y-4=0上,所以可设点B(t,4-t),由OA⊥OB,得直线OB的斜率为-,即=-,解得t=8,所以B(8,-4),所以线段AB的长度为=. 14.解:(1)依题意知,直线AC的斜率kAC==-,则直线AC的方程为y=-(x-2),整理得x+3y-2=0. (2)直线BC的斜率kBC==3,可得kAC·kBC=-1,则AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.因为|AC|==,|BC|==,所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形. 综上可知,△ABC是等腰直角三角形. 15.BC　[解析] f(x)=+表示动点P(x,0)到两个定点A(0,1),B(1,0)的距离之和.如图,连接AB,由三角形三边关系可得|PA|+|PB|≥|AB|=,当点P和点B重合时,等号成立,|PA|+|PB|无最大值,所以函数f(x)的最小值为,没有最大值.故选BC. 16.　[解析] 设点P(0,2)关于直线x-y+1=0的对称点为P'(a,b),则 解得所以P'(1,1).设N为直线x-y+1=0上的点,如图,连接P'Q,P'N,PN,QN,则|PN|=|P'N|,所以|QN|+|PN|=|QN|+|P'N|≥|QP'|,当且仅当Q,N,P'三点共线时取等号,又|QP'|==,所以所求最短总路程为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 一、选择题 1.若点M1(2,-5)与点M2(5,y)之间的距离是5,则y= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-9 B.-1 C.-9或-1 D.12 2.[2024·江苏徐州高二期中] 已知过A(m,2),B(-m,m-1)两点的直线的倾斜角是45°,则A,B两点间的距离为 (　 ) A.2 B. C.2 D.3 3.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6),且|AB|=|AC|,则实数a的值为 (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,且始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为 (　 ) A.(0,5] B.(0,5) C.(0,+∞) D.(0,] 5.直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是 (　 ) A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 6.直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交于点Q,m是实数,O为坐标原点,则|OQ|的最大值是 (　 ) A.2 B.2 C.2 D.4 7.已知直线l过点A(4,2)且与x轴、y轴分别交于点P,Q,则当|AP|·|AQ|最小时,直线l的斜率为 (　 ) A.±1 B.-1 C.±2 D.-2 8.(多选题)已知直线l:y=-2x+6和点A(1,-1),过点A作直线l1与直线l相交于点B,且|AB|=5,则直线l1的方程可能是 (　 ) A.x=1 B.3x+4y+1=0 C.y+1=0 D.17x+6y-11=0 二、填空题 9.若直线l1:3x-y=0与l2:x+y-4=0交于点A,且B(2,0),则|AB|=　　　　.  10.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(2,-1),则线段AB的长度为　　　　.  11.已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),点A的坐标为(0,4),则点B的坐标为　　　　.  12.已知x,y∈R,S=+,则S的最小值是　　　　.  三、解答题 13.已知O为坐标原点,直线l1:x+y-4=0与直线l2:y=2x交于点A.若点B在直线l1上,且OA⊥OB,求线段AB的长度. 14.[2024·山西太原高二期末] 已知△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(3,3),C(2,0). (1)求边AC所在直线的方程; (2)判断△ABC的形状. 15.(多选题)某同学在研究函数f(x)=+|x-1|的最值时,联想到两点间的距离公式,从而将函数变形为f(x)=+,则下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)的最小值为 B.函数f(x)的最小值为 C.函数f(x)没有最大值 D.函数f(x)有最大值 16.唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句诗为:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在位置为Q(-2,3),若将军从点P(0,2)处出发,河岸线所在直线方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $