1.2.4 圆与圆的位置关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

2.4　圆与圆的位置关系 1.B　[解析] 圆O1:(x+2)2+y2=4的圆心为O1(-2,0),半径r1=2,圆O2:(x-2)2+(y-1)2=9的圆心为O2(2,1),半径r2=3,所以|O1O2|==,则|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2,所以圆O1与圆O2相交.故选B. 2.D　[解析] 把两圆的方程x2+y2=10与(x-3)2+(y-1)2=20相减,可得3x+y=0,所以直线AB的方程为3x+y=0.故选D. 3.C　[解析] 由题知圆O1:x2+y2-2y=0的圆心为O1(0,1),半径r1=1,圆O2:x2+y2-8y+12=0的圆心为O2(0,4),半径r2=2,所以|O1O2|=3,r1+r2=3,所以两圆外切,所以两圆共有3条公切线.故选C. 4.B　[解析] 圆C1:x2+y2-2x-6y=0的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10,则圆C1的圆心为C1(1,3),半径为,因为圆C2平分圆C1的周长,所以圆C1的圆心(1,3)在圆C2与圆C1的公共弦上.将x2+y2+mx+ny=0与x2+y2-2x-6y=0作差,得两圆公共弦所在直线方程为(m+2)x+(n+6)y=0,将C1的坐标代入直线方程得(m+2)×1+(n+6)×3=0,可得m+3n=-20.故选B. 5.C　[解析] 由题意知,圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=,设圆M的圆心为M(a,b),由半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(-1,-2),可得M,P,O三点共线且|OM|=3,即解得或 当a=3,b=6时,圆M:(x-3)2+(y-6)2=20不过点P(-1,-2),不合题意;当a=-3,b=-6时,圆M:(x+3)2+(y+6)2=20过点P(-1,-2),符合题意.故点M的坐标为(-3,-6).故选C. 6.B　[解析] 如图,直线l1:x-y+1=0,直线l2:x-y+5=0均与圆C1相切,设直线m:x-y+t=0与l1,l2的距离相等,则=,解得t=3,所以直线m的方程为x-y+3=0,即圆心C1在直线x-y+3=0上,且圆C1的半径r==.又圆C2:x2+y2-6x+8y+23=0的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=2,所以圆C2的圆心为(3,-4),半径为,则圆C1与圆C2圆心距的最小值等于点C2到直线x-y+3=0的距离,即为=5,所以|PQ|的最小值为两圆圆心距的最小值减去两圆半径之和,为5--=3.故选B. 7.ABC　[解析] 设M(x,y),由|MA|=2|MO|,得=2,化简整理得x2+(y+1)2=4,所以点M的轨迹是以B(0,-1)为圆心,2为半径的圆.圆C的圆心为C(a,2a-4),根据题意得圆B与圆C有公共点,所以2-1≤|BC|=≤2+1,解得0≤a≤.故选ABC. 8.BCD　[解析] 对于A,由圆M:x2+y2+4x-2y=0得圆心M(-2,1),故A不正确; 对于B,因为圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y=0相交于A,B两点,所以两圆有两条公切线,故B正确;对于C,将圆O:x2+y2=4与圆M:x2+y2+4x-2y=0的方程作差,得4x-2y=-4,即y=2x+2,所以直线AB的方程为y=2x+2,故C正确;对于D,由圆M:x2+y2+4x-2y=0得圆心M(-2,1),半径为,由圆O:x2+y2=4得圆心为O(0,0),半径为2,所以|EF|max=|OM|+2+=2+2,故D正确.故选BCD. 9.(x-1)2+y2=1(答案不唯一,只要方程满足(x-a)2+y2=a2(a>0)即可)　[解析] 圆M:(x+2)2+y2=4的圆心为M(-2,0),半径r=2,所以圆M过原点.设圆C的半径为a(a>0),由圆C的圆心在x轴的正半轴上,且圆C与圆M:(x+2)2+y2=4外切,可得圆心C(a,0),所以圆C的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0).当a=1时,圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1. 10.　[解析] 圆O1的圆心为O1(0,0),半径为r,圆O2的圆心为O2(3,4),半径为2r+1.因为圆O1与圆O2有两个不同的交点,所以圆O1与圆O2相交,所以2r+1-r<|O1O2|<2r+1+r,即r+1<|O1O2|<3r+1,又|O1O2|=5,所以解得<r<4. 11.　[解析] 因为圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-x+y-3=0相交于A,B两点,所以直线AB的方程为(x2+y2-4)-(x2+y2-x+y-3)=0,即x-y-1=0,则圆心O(0,0)到直线AB的距离d==,所以|AB|=2=. 12.6+2　[解析] 由mx-ny-5m+n=0,得m(x-5)-n(y-1)=0,令解得可知直线l1过定点A(5,1).同理可知,直线l2过定点B(1,5).连接AB,又因为m×n+(-n)×m=0,所以l1⊥l2,所以直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以线段AB的中点M(3,3)为圆心,r=|AB|=2为半径的圆.因为圆C的圆心C(-1,0),半径R=1,所以|PQ|的最大值是|MC|+r+R=+2+1=6+2. 13.解:(1)证明:圆C1的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5,则可知圆心C1(2,-1),半径r1=,圆C2的标准方程为x2+(y-1)2=5,则可知圆心C2(0,1),半径r2=,所以|C1C2|==2,因为|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圆C1与圆C2相交. (2)由(1)可知,圆C1与圆C2相交,圆C1与圆 C2的方程之差即为两圆公共弦所在的直线,可得4x-4y-4=0,即x-y-1=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x-y-1=0.因为圆心C1(2,-1)到直线x-y-1=0的距离d==,所以两圆的公共弦长为2=2. 14.解:(1)由题意得C1(1,2),C2(3,5),圆C1的半径r1=1,圆C2的半径r2=,所以|C1C2|==,r1+r2=1+,则|C1C2|>r1+r2,所以两圆的位置关系为外离. (2)作圆C2关于x轴的对称圆C'2,B关于x轴的对称点B',则点B'在圆C'2上,C'2(3,-5),则|PA|+|PB|的最小值为|PA|+|PB'|的最小值,即为|C1C'2|-r1-r2=-1-=-1-. 15.D　[解析] 设动圆圆心的坐标为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,可得(x-5)2+(y+7)2=25.若动圆与已知圆内切,则=4-1,可得(x-5)2+(y+7)2=9.故选D. 16.解:(1)由题意可知圆C的圆心在y轴上,设圆C的半径为r,则圆心C(0,2+r),圆C的方程为x2+(y-r-2)2=r2.因为圆C过点(,5),所以3+(3-r)2=r2,解得r=2,故圆C的方程为x2+(y-4)2=4. (2)连接CM,CN,CP,由题意可知∠CMP=∠CNP=,则M,N,P,C四点共圆,且该圆以PC为直径,圆心坐标为,故该圆的方程为(x-t)2+= ,即x2+y2-2tx-(t+4)y+4t=0,因为圆C的方程为x2+(y-4)2=4,所以公共弦MN所在直线的方程为t(2x+y-4)+12-4y=0,由解得因此,直线MN恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　圆与圆的位置关系 一、选择题 1.圆O1:(x+2)2+y2=4与圆O2:(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.已知两圆x2+y2=10和(x-3)2+(y-1)2=20相交于A,B两点,则直线AB的方程为 (　 ) A.3x-y=0 B.x+3y=0 C.x-3y=0 D.3x+y=0 3.圆O1:x2+y2-2y=0和圆O2:x2+y2-8y+12=0的公切线的条数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.[2024·江苏泰州高二期中] 已知圆C1:x2+y2-2x-6y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则m+3n= (　 ) A.20 B.-20 C.10 D.-10 5.已知半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(-1,-2),则点M的坐标为 (　 ) A.(3,6) B.(-6,3) C.(-3,-6) D.(6,3) 6.已知直线l1:x-y+1=0,直线l2:x-y+5=0均与圆C1相切,P为圆C1上的动点,Q为圆C2:x2+y2-6x+8y+23=0上的动点,则|PQ|的最小值为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.4-2 7.(多选题)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262年~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.著作中有这样一个命题:平面内与两定点间距离的比值为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心C在直线l上,若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的值可以是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y=0相交于A,B两点,则下列说法正确的是 (　 ) A.圆M的圆心坐标为(2,-1) B.两圆有两条公切线 C.直线AB的方程为y=2x+2 D.若点E在圆O上,点F在圆M上,则|EF|max=2+2 二、填空题 9.[2024·河北邢台高二期中] 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,圆C与圆M:(x+2)2+y2=4外切,则圆C的一个标准方程为　　　　　　.  10.已知r>0,圆O1:x2+y2=r2与圆O2:(x-3)2+(y-4)2=(2r+1)2有两个不同的交点,则实数r的取值范围是　　　　.  11.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-x+y-3=0相交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  12.已知点P是直线l1:mx-ny-5m+n=0和l2:nx+my-5m-n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)的交点,点Q是圆C:(x+1)2+y2=1上的动点,则|PQ|的最大值是　　　　.  三、解答题 13.[2024·安徽六安高二期末] 已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0,圆C2:x2+y2-2y-4=0. (1)证明:圆C1与圆C2相交; (2)求两圆的公共弦长. 14.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1,C2:(x-3)2+(y-5)2=3,点P,A,B分别在x轴和圆C1,C2上. (1)判断两圆的位置关系; (2)求|PA|+|PB|的最小值. 15.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是 (　 ) A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y-7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 16.已知圆C过点(,5),且与圆x2+(y+1)2=9外切于点(0,2),过点P(2t,t)作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N. (1)求圆C的标准方程. (2)试问直线MN是否恒过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $