1.2.3 直线与圆的位置关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

2.3　直线与圆的位置关系 1.D　[解析] 由题可知,圆心(-1,2)到直线x+y=0的距离d==,所以弦长l=2=.故选D. 2.A　[解析] 圆C:x2+(y-1)2=5的圆心为C(0,1),半径r=,故圆心到直线l的距离d==<,所以直线与圆相交,故选A. 3.C　[解析] 由圆的方程可得圆心坐标为(2,3),半径为1.当过点A(3,5)的切线斜率存在时,设切线的斜率为k,则切线方程为kx-y-3k+5=0,由点到直线的距离公式可得=1,解得k=,所以切线方程为3x-4y+11=0;当过点A(3,5)的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,此时直线与圆相切.所以过点A(3,5)的圆的切线方程为x=3或3x-4y+11=0,故选C. 4.C　[解析] 设圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为B,切点为A,连接AB,PB,则B(1,1),|AB|=1,由切线的性质知,PA⊥AB,则切线长|PA|===2.故选C. 5.D　[解析] 由=x-1,可得(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),由kx-y-2=0,可得y=kx-2,则直线l恒过定点P(0,-2).作出曲线C与直线l,如图所示,由图可得A(1,0),连接PA,则kPA=2,当直线l与曲线相切时,可得=1,解得k=,所以实数k的取值范围为.故选D. 6.A　[解析] 当r=1时,圆(x+2)2+(y-1)2=r2即(x+2)2+(y-1)2=1,其圆心(-2,1)到直线x+y-1=0的距离d==>1,此时直线x+y-1=0和圆相离,则过圆心和直线x+y-1=0平行的直线与圆的2个交点到直线x+y-1=0的距离为,则r=1可推出圆(x+2)2+(y-1)2=r2上恰有两个点到直线x+y-1=0的距离等于.因为圆心(-2,1)到直线x+y-1=0的距离d=,所以当0<r<2时,圆(x+2)2+(y-1)2=r2上恰有两个点到直线x+y-1=0的距离等于,此时不一定满足r=1.故“r=1”是“圆(x+2)2+(y-1)2=r2上恰有两个点到直线x+y-1=0的距离等于”的充分不必要条件.故选A. 7.BC　[解析] 圆C:x2-4x+y2=m-5的标准方程为(x-2)2+y2=m-1,圆C的圆心为C(2,0),半径r=.对于A,由r=>0,解得m>1,故A错误;对于B,因为C(2,0)到直线l:3x+4y=0的距离d==,所以当l与圆C相切时,r==,解得m=,故B正确;对于C,当1<m<2时,0<r<1<,所以l与圆C相离,故C正确;对于D,当l与圆C相交时,>,解得m>,故D错误.故选BC. 8.BC　[解析] 圆C:x2+y2-8x-6y+21=0的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=4,则该圆的圆心为(4,3),半径为2,选项A错误.设=k,则直线y0=k(x0-3)与圆有交点,即≤2,整理得3k2+6k-5≥0,解得k≤或k≥,所以既没有最大值,也没有最小值,选项B正确.设x0=4+2sin θ,y0=3+2cos θ,所以2x0+y0=11+4sin θ+2cos θ=11+2sin(θ+φ),其中tan φ=,则2x0+y0的取值范围为[11-2,11+2],选项C正确.因为+-8x0-6y0+21=0,所以+=8x0+6y0-21,则由选项C的分析可知++2x0+3=10x0+6y0-18=20sin θ+12cos θ+40=4sin(θ+α)+40,其中tan α=,则++2x0+3的最大值为4+40,选项D错误.故选BC. 9.-1±　[解析] 圆心(a,2)到直线l:x-y+3=0的距离d=,则直线l被圆C截得的弦长为2=,故=2,解得a=-1±. 10.(x+1)2+y2=4　[解析] 设所求圆的圆心为C(a,0),半径为r,由圆C和直线l:4x+3y-6=0相切,得圆心到直线l:4x+3y-6=0的距离为=r①.又因为切点为P,直线l的斜率k=-,CP⊥l,所以直线CP的斜率为==,解得a=-1,代入①式得半径r==2,且圆心C(-1,0), 则圆C的方程是(x+1)2+y2=4. 11.-1　[解析] 由方程mx+y-m-1=0,得m(x-1)+y-1=0,令解得所以直线l过定点P(1,1).又圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆心为C(2,0).由(1-2)2+12=2<4,得点P在圆C内,故当PC⊥l时,圆心C到直线l的距离取得最大值,此时直线l被圆C截得的弦长最短,则kPC·kl=·(-m)=-1,解得m=-1. 12.2　[解析] 由题可知,∠MPN=2∠MPC,所以∠MPC的最大值为60°.在Rt△PMC中,PM⊥MC,所以sin∠MPC==,所以当|PC|取得最小值时,sin∠MPC取得最大值,即∠MPC取得最大值,则sin 60°=,所以|PC|min=r.易知当PC⊥l时,|PC|取得最小值,最小值等于圆心C到直线l的距离,所以|PC|min==r,解得r=2. 13.解:(1)设与直线m:3x+4y+12=0垂直的直线的方程为4x-3y+a=0.圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,则其圆心为C(-1,2),因为直线4x-3y+a=0经过圆心C,所以4×(-1)-3×2+a=0,解得a=10,故所求直线的方程为4x-3y+10=0. (2)设与直线m:3x+4y+12=0平行的直线的方程为3x+4y+c=0(c≠12).因为直线3x+4y+c=0与圆C相切,所以圆心C(-1,2)到直线3x+4y+c=0的距离等于半径,即=3,所以|c+5|=15,解得c=-20或10,故所求直线的方程为3x+4y-20=0或3x+4y+10=0. 14.解:(1)证明:直线l:mx-y+2-m=0的方程可化为m(x-1)+2-y=0,由可得所以直线l过定点(1,2).圆C:x2+y2-2x-4y=0的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,可得圆心C(1,2),因为直线l恒过圆心,所以l与圆C相交. (2)因为直线l过圆C的圆心,所以|AB|=2,因为点O在圆C上,所以O到直线AB距离的最大值为|OC|=,所以△OAB的面积的最大值为×2×=5. 15.BCD　[解析] 圆C:x2+y2=8的圆心为(0,0),半径r=2,圆心(0,0)到直线x+y=4的距离为=2=r,所以直线与圆相切.由题意知,A(4,0),B(0,4),因为点P是圆C:x2+y2=8上的动点,所以可设P(2cos θ,2sin θ),则=(2cos θ-4,2sin θ),=(2cos θ,2sin θ-4),=(-4,4).当∠APB为直角时,·=0,即8cos2θ-8cos θ+8sin2θ-8sin θ=0,整理得sin θ=-cos θ,又sin2θ+cos2θ=1,所以+cos2θ=1,解得cos θ=.当cos θ=时,sin θ=,此时P(1+,1-);当cos θ=时,sin θ=,此时P(1-,1+).当∠ABP为直角时,·=0,即-8cos θ+8sin θ-16=0,整理得sin θ=+cos θ,又sin2θ+cos2θ=1,所以(+cos θ)2+cos2θ=1,解得cos θ=-,所以sin θ=,此时P(-2,2).当∠BAP为直角时,·=0,即-8cos θ+16+8sin θ=0,整理得sin θ=cos θ-,又sin2θ+cos2θ=1,所以(cos θ-)2+cos2θ=1,解得cos θ=,所以sin θ=-,此时P(2,-2).故选BCD. 16.解:(1)设P(x,y),由题意知A(12,0),O(0,0), 由=2,得=2,即3x2+3y2+24x-144=0,整理得(x+4)2+y2=64,该方程表示以(-4,0)为圆心,8为半径的圆. 所以曲线C的方程为(x+4)2+y2=64. (2)由题意知,过点A,B的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直,所以设直线AB的方程为+=1(m>0),即mx+12y-12m=0(m>0),根据题意得>8且m>0,可得m>4,所以m的取值范围为(4,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　直线与圆的位置关系 一、选择题 1.直线x+y=0被圆(x+1)2+(y-2)2=2所截得的弦长为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B. C. D. 2.直线l:y=x+2与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 (　 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 3.过点A(3,5)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线的方程为 (　 ) A.x=3或3x+4y-29=0 B.y=3或3x+4y-29=0 C.x=3或3x-4y+11=0 D.y=3或3x-4y+11=0 4.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向圆引切线,则切线长为 (　 ) A.1 B. C.2 D.3 5.直线l:kx-y-2=0与曲线C:=x-1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 (　 ) A. B. C.∪ D. 6.已知r>0,则“r=1”是“圆(x+2)2+(y-1)2=r2上恰有两个点到直线x+y-1=0的距离等于”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.(多选题)给定直线l:3x+4y=0和圆C:x2-4x+y2=m-5,则 (　 ) A.m的取值范围为(0,+∞) B.当l与圆C相切时,m= C.当1<m<2时,l与圆C相离 D.当l与圆C相交时,m> 8.(多选题)[2024·成都高二期中] 若点P(x0,y0)是圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上的动点,则下列说法正确的有 (　 ) A.圆的半径为3 B.既没有最大值,也没有最小值 C.2x0+y0的取值范围是[11-2,11+2] D.++2x0+3的最大值为72 二、填空题 9.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,a=　　　　.  10.[2024·贵州贵阳高二期中] 已知圆心在x轴上的圆C和直线l:4x+3y-6=0相切于点P,则圆C的方程是　　　　　　　.  11.[2024·宁夏银川高二期中] 当直线l:mx+y-m-1=0被圆C:x2+y2-4x=0截得的弦长最短时,实数m=　　　　.  12.已知点P是直线l:3x+4y-2=0上的一个动点,过点P作圆C:(x+2)2+(y+3)2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,其中M,N为切点,若∠MPN的最大值为120°,则r的值为　　　　.  三、解答题 13.[2024·安徽铜陵高二期中] 已知直线m:3x+4y+12=0和圆C:x2+y2+2x-4y-4=0. (1)求与直线m垂直且经过圆心C的直线的方程; (2)求与直线m平行且与圆C相切的直线的方程. 14.已知直线l:mx-y+2-m=0,圆C的方程为x2+y2-2x-4y=0. (1)求证:l与圆C相交; (2)若l与圆C的交点为A,B,求△OAB(O为坐标原点)的面积的最大值. 15.(多选题)已知点P是圆C:x2+y2=8上的动点,直线x+y=4与x轴和y轴分别交于点A,B,若△PAB为直角三角形,则点P的坐标可以是 (　 ) A.(-2,-2) B.(-2,2) C.(1+,1-) D.(1-,1+) 16.为了保证海上平台的生产安全,海事部门在某平台O的正东方向设立了观测站A,在平台O的正北方向设立了观测站B,它们到平台O的距离分别为12海里和m(m>0)海里,记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C,规定曲线C及其内部区域为安全预警区. (1)如图,以O为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,求曲线C的方程; (2)海平面上有渔船从A出发,沿的方向直线行驶,为使渔船不进入预警区,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $