1.2.3 直线与圆的位置关系-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

n-1， m 坐标为(m,n),则 解得=2，故圆B的圆心为 (n=-2, 222, (2,-2),半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆 的半径之和，所以两圆外切，此时点E的对称点为E1,且|PE1|= IPE1,所以1PF1-IPE1=IPFI-|PE,1.在点P运动过程中，如图②所 示，当P,B,A,E1,F五点共线，且E1在圆B左侧，点F在圆A右侧 时，IPFI-IPE1I的值最大，最大值为E1F=E1B+BA+AF=1+4+3=8, 故选C. ① ⑨ ()八() 解析：函数fx)=x2-5x+4的图象与 坐标轴的交点分别为A(1,0),B(4,0),C(0,4),则线段AC的垂直平 分线方程为y2:}(:-号)），线段8的垂直平分线方程为 三所以过A®，C三点的周的园心坐标为（停名），半径， √（停一中(-0了：厚所以所求周的际准方程为(： 名)广+()”故答案为()广+()°号 8解：61)由562。解得6则网心为2.0r=1c41 √/(3-2)2+(2-0)2=√5，.圆C的标准方程为(x-2)2+y2=5 (2)设P(0y0),Q(x,y).由PM=2Q,可得(8-0，-0)=2(8-x, 》,则=2-8又：点P在圆c上，(，-2)2+=5，即 （y0=2y. (2x-10)244=5,化简得(x-5)2+y2=,点Q的轨迹方程为 (-52= 9.解：（山）设(x(y40),由题意得22-1，整理得+产 4(y≠0)，所以动点E的轨迹C的方程为x2+y2=4(y≠0). 2)设P心0，)，则<0，<0,6+6=4因为加2所以直 袋红2令0则 0-20,同理w -2y0 t0-21AN1=2+ 2y0 02<0,所以1BM1=2+ +。2,所以S四边形BNW】 专a点点- 2[6++4-4(o+o)+2o0】_2[8-4(oto)+2oo]-4,即四边 xoy0-2(xo+y0)+4 %oYo-2(xo+yo)+4 形ABNM的面积为定值4. 2.3直线与圆的位置关系 白题基础过关 1.A解析：由题意得，圆C的圆心C(2,0),半径r=2,圆心C(2,0)到 直线3x+4-1=0的距离d=13×2+4x0-1=1<7=2,所以圆C与直 √32+42 线l相交故选A. 参考答案 四重难点拨 判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d与r的关系； (2)代数法：联立方程之后利用4判断； (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直 线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题， 2.B解析：由题意得，圆心到直线的距离等于半径，即 10-0+b1 =2,b=±2√互，故选B. √12+(-1)2 3.C解析：圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0)，半径r=1,设直线方 程为y=x→x-y=0,由题可知圆心到直线的距离小于半径，所以有 121<1→5ck<只故选C W1+k2 3 4.A解析：由题意，得圆x2+y2=4的圆心(0,0)，半径r=2,由P(a,b) 在圆x2+y2=4外，得a2+b2>4,则圆心到直线ax+by-4=0的距离d= 4 <2=r,故直线与圆相交故选A. √a2+62 5.BC解析：圆C:(x+a)2+y2=2的圆心C(-a,0),半径r=√2，当-1≤ a≤3时，点C(-a,0)到直线1的距离d=-a+1_a- 瓦 e[0,v2], 因此直线1与圆相切或相交，所以直线！与圆C的公共点个数为1 或2. 6.C解析：易知切线斜率存在，设该切线方程为y=k(x-1)+2,即x- yk+2=0,则有圆心到切线的距离d=-+2:5,化简得 √k2+1 (2+1)2=0,故=子放该切线方程为y=（-1)+2,即x+2y 5=0.故选C. 7.AB解析：由题意知，圆(x-1)2+(y+2)2=1的圆心(1，-2)，半径r= 1,当斜率不存在时，过点M(0,1),则直线x=0,圆心(1，-2)到此直 线的距离等于半径1，满足题意；当斜率存在时，设斜率为k,过点 M(0,1),则直线方程为y=x+1.因为直线与圆(x-1)2+(y+2)2=1 相切，所以圆心(1，-2）到此直线的距离等于半径1，得+31=1，解 √1+k2 4 得k=-3,故切线方程为4x+3y-3=0.故选AB. 8.D解析：由题意可知，直线的斜率存在，所以设过点M的切线方程 为y=kx+b.因为1的横纵截距相等，所以k=-1,b>0.又因为直线与圆 相切，所以d=161 =2,所以b=22,所以直线方程为x+y-25=0. /1+1 故选D. 9.B解析：设y=k,则y=x表示经过原点的直 线，k为直线的斜率如果实数x,y满足(x 2)2+y2=2和y=k,即直线y=x同时经过原 点和圆上的点(x,y).其中圆心C(2,0),半径 T=√2.如图，可知斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆 相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值， 易得I0C1=2,ICE1=r=√2，可由勾股定理求得10E1=√1OC2-ICE2= √2，于是可得到k=tan∠EOC =CE-1为二的最大值；同理，￥的 IOEI 最小值为-1.则y的取值范围是[-1,1]故选B. 10.B解析：设2x-y=t,由题意知直线2x-y-t=0与圆0有公共点，所 以圆心到直线的距离d=-≤3，所以-35≤≤35.故选B. 5 11.56解析：由题得1A01=√10,1P01=√32+42=5，.1PA1= √52-10=√5，四边形PA0B的面积=2S△Pm0=2×2×√0× w15=56.故答案为56. 黑白题011 12.D解析：因为圆心(0,0)到直线1的距离d=-51=5,所以所 √22+12 截弦长为2√P-d亚=2√12-5=27.故选D. 四重难点拨 弦长的两种求法： (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元 二次方程.在判别式△>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长 公式求弦长 (2)几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2√2-d2】 两种方法以几何方法为主. 13.D解析：点A(1,1)到圆心0(0,0)的距离为d=√2，故A(1,1) 在圆x2+y2=4的内部，故当弦为直径时，弦长最长为2r=4:当弦所 在的直线和线段AO垂直时，弦长最短，可求得弦所在直线方程为 +y2=0,则弦心距d=1040-2=2,由弦长公式可得弦长为 √12+12 2√2-正=2√4-2=22，.所得弦长的取值范围为[22,4].故 选D. 14.A解析：圆C:(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1,1),r=2,所以圆心 C(1,1)到直线：y=c+3的距离为d,则d=k+2 ,而d= 1+k2 -(9=v=1,所以：2 √1+k2 1,解得=-子故 选A. 15.A解析：圆x2+y2=8的圆心为C(0,0),而点P(1,2),所以kcP= 2-0-2,由题意可知，AB⊥CP,则kMB·kP=-1,所以ka=2,所 1-0 以弦AB所在的直线的方程为y-2=-2（x-1),即x+2y-5=0.故 选A 16.解：(1)因为(0-6)2+(-1-9)2=136>100，所以点A在圆C外 设M(x,y),由于AB的中点是M,所以B(2x,2y+1),， 所以(2x-6)2+(2y+1-9)2=100, 整理得(x-3)2+(y-4)2=25, 所以点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25 (2)因为点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25,所以M是以(3， 4)为圆心，5为半径的圆，当直线1的斜率不存在时，直线1的方程 为x=0, 由/x0, {(x-3)2+(-4)2=25,解得1=0或2=8，满足1P01=8. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2,即kx-y-2=0, 由于1PQ1=8,P=4,所以圆心(3,4)到直线x-y-2=0的距离 2 为V-平=3，即3t42=3,解得k=子，所以直线1的方程为 √k2+1 4x-y2=0,即3x-4y-8=0. 综上所述，直线1的方程为3x-4y-8=0或x=0 重难聚焦 17.C解析：直线1过点A(2,1),由C:x2+y2-6x-8y+9=0,得(x-3)2+ (y-4)2=16,所以圆心C(3,4),半径r=4,显然1AC1= √(3-2)2+(4-1)2=√10<4，即点A(2,1)在圆C内，所以直线AC 斜率c)=3,当山AC时，直线L被圆C截得的弦最短，所 1 以k·kc=-1,即3站，=-1，解得k=-了，所以直线1的方程为y 1=(日）x-2),即+35=0，放选C 18.B解析：如图，拱形桥ACB,以AB所在的直线为x轴，以线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-10,0),B(10,0), C(0,5).圆心在y轴上，设为E(0,b),则有1AE1=ICEI,即 V10:不=15-6b1,整理可得26+15=0，解得b=-,所以心为 选择性必修第一册·BS E(0,),半径为1c1=15-61-空所以圆的方程为+( ）广-曾设)则南+(）广-空g得=±v压 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2√46.因为6.5<√46<7，所 以13<2√46<14.故选B. A 0 (第18题) (第19题) 19.A解析：以小岛中心为原点O,东西方向为x轴，南北方向为y轴 建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B,港口所在位置为 点A,如图所示，则A(0,20),B(10a,0)(a>0),暗礁分布的圆形区 域的边界⊙0的方程为x2+y2=100,所以轮船沿直线返港时直 0-20 线AB的方程为y20=10a-0,即2x+ay20a=0.又因为轮船沿直 线返港不会有触礁危险，所以直线AB与⊙O相离，即圆心O到直 线AB的距离d= 1-20a /4+a 25故选 >10(a>0),解得a> 20.C解析：如图，以设备的位置为坐标原点0， 其正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向 建立平面直角坐标系，则直线AB:y= 3(x-2005),即x+3y-2003=0,圆0： x2+y2=40000,记从N处开始被监测，到 M处监测结束，点O到直线AB的距离 1-200w31 100'1= =100W3(m),则1MW1= √12+(3) 2VM0I2-100'予=200(m),所以被监测的时长为200 4(分钟) 50 故选C 2.4圆与圆的位置关系 白题基础过关 1.C解析：圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2+ （y-3)2=4的圆心为(0,3)，半径为2，两圆的圆心距为√42+37= 5=2+3,即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切.故选C. 四重难点拨 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2,y2项得到. 2.B解析：由C1:(x+2)2+y2=4,则C1(-2,0),半径r1=2,由C2: (x-2)2+(y-1)2=9,则C2(2,1),半径2=3，所以2-1=1< IC1C2I=√17<5=r2+r1,故两圆相交，所以公切线条数为2.故选B. 3.BD解析：圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，圆C2: x2+(y-a)2=9的圆心为(0，a),半径为3，圆C1与圆C2没有公共 点，则两圆外离或内含，所以1C1C21>3+1=4或1C1C21<3-1=2,即 √/a2+1>4或W√a2+1<2,所以a<-√15或a>√15或-√3<a<3, -3,2不满足要求，-1,4满足要求.故选BD. 4.A解析：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径'-1；圆(x-4)2+y2=r2 的圆心为(4,0)，半径为r;则两圆圆心距d=4;当r=3时，d=r+r', .两圆相外切，充分性成立；当两圆相外切时，d=r+r',此时r=3;当 两圆相内切时，d=r-r',此时r=5;可知若两圆相切，则r=3或5，必要 性不成立，∴.“r=3”是“圆x2+y2=1与圆(x-4)2+y2=r2”相切的充分 不必要条件.故选A 5.-23解析：由C2:x2+y2+4x+6y+m=0曰(x+2)2+(y+3)2=13-m,显 黑白题0122.3直线与圆的位置关系 白题 基础过关 限时：45min 题组1直线与圆的位置关系的判断及应用 7.（多选)(2025·吉林长春高二期末)过点 1.（2025·广东湛江高二期中)直线l:3x+4y M(0,1)且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切的直 1=0与圆C:(x-2)2+y2=4的位置关系为 线方程为 A.4x+3y-3=0 B.x=0 A.相交 B.相切 C.y=0 D.3x+4y-4=0 C.相离 D.无法判断 8.已知圆0：x2+y2=4,M(xo,yo)为圆0上位于 2.(2025·浙江金华高二月考)如果直线y=x+b 第一象限的一点，过点M作圆O的切线1.当l 与圆C:x2+y2=4相切，则b的值为 ( 的横纵截距相等时，1的方程为 A.22 B.±22 A.x-y-2√2=0 B.x4y2=0 C.-22 D.±42 3.(2025·天津河北区高二期中)已知过原点的 C.x+y-4√2=0 D.x+y-2W2=0 直线1与圆C:(x-2)2+y2=1相交，则直线1 9.（2025·江苏扬州高二月考)如果实数x,y满 的斜率的取值范围是 ( 足(x-2)2+y=2,那么y的取值范围是（) A.(-3,3) B 331 3,3 A.(-1,1) B.[-1,1] 33 D.(-√2，N2) C.(-∞，-1)U(1,+0) D.(-o,-1]U[1,+o) 4.(2025·广东惠州高二月考)已知P(a,b)在 10.(2025·山西太原高二月考)已知P(x,y) 圆x2+y2=4外，则直线ax+by-4=0与圆的位 为圆0：x2+y2=9上一点，则2x-y的取值 置关系是 ( 范围为 ( A.相交 B.相切 B.[-35,35] C.相离 D.以上皆有可能 A.[-3,3] 5.(多选)(2025·山东菏泽高二月考)直线1：x C.[-25,23] D.[-53,53] y+1=0与圆C:(x+a)2+y2=2(-1≤a≤3)的 11.过点P(3,4)作圆0：x2+y2=10的两条切线， 公共点的个数可能为 ( 设切点分别为A,B,则四边形PAOB的面 A.0 B.1 C.2 D.3 积为 题组2直线与圆的相切问题 题组3直线与圆的相交问题 6.(2025·浙江嘉兴高二期中)经过点M(1,2)》 12.（2025·陕西汉中高二期中)直线l:y=-2x+ 作圆x2+y2=5的切线，则切线方程为（ 5被圆：x2+y2=12截得的弦长是 A.2x+y-5=0 B.2x-y-5=0 A.5 B.7 C.x+2y-5=0 D.x-2y-5=0 C.25 D.27 选择性必修第一册·BS黑白题018 13.（2025·吉林长春高二月考)过点(1,1)作圆 重难聚焦川 x2+y2=4的弦，则所得弦长的取值范围为 题组4直线与圆的综合应用 ( 17.已知直线l过点A(2,1),圆C:x2+y2-6x A.[1,22] B.[1,4] 8y+9=0,当直线l被圆C截得的弦最短时， C.[2,4] D.[22,41 1的方程为 ( 14.（2025·江苏无锡高二期中)已知直线l: A.x-y-1=0 B.x-3y+1=0 y=kx+3与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A, C.x+3y-5=0 D.x+y-3=0 18.(2025·河北邯郸高 B两点，若IAB引=2√3，则k= ( 二月考)“陶辛水韵” A子B c D. 被评为芜湖市新十景 15.(2025·重庆八中高二月考)若点P(1,2)为 之一，每年入夏后，千 圆x2+y2=8的弦AB的中点，则弦AB所在直 亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客 纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可 线的方程为 ( 以直达“香湖岛”赏荷.圆拱的水面跨度20 A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 米，拱高约5米现有一船，水面以上高3 C.x-2y+3=0 D.2x-y=0 米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（) 16.已知圆C:(x-6)2+(y-9)2=100,点A坐标 A.12米B.13米C.14米D.15米 为(0，-1)，B为圆C上一动点，AB的中点 19.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在 为M. 以小岛中心为圆心，半径为10km的圆形 (1)当点B在圆C上运动时，求点M的轨迹 区域内，已知小岛中心位于轮船正西 方程； 10akm(a>0)处，港口位于小岛中心正 (2)过点(0，-2)的直线l与M的轨迹相交于 北20km处，如果轮船沿直线返港，不会有 P,Q两点，且IPQ1=8,求直线1的方程. 触礁危险，则a的取值范围是 B.(1,+∞) 4 3,+∞ 20.(2025·重庆合川区高 某手机信号检测设备 围是半径为200m的圆形心， 一名人员持手机以每分钟50m的速度从 设备正东2003m的A处沿西偏北30°方 向走向位于设备正北方向的B处，则这名 人员被持续监测的时长约为 A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D.5分钟 第-章黑白题019