1.1.4 第2课时 两条直线垂直(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　两条直线垂直 一、选择题 1.直线-3x+4y+1=0与直线8x+6y-3=0的位置关系是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 2.将直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线的方程为 (　 ) A.x-y+3=0 B.x+3y-1=0 C.x+3y+1=0 D.3x-y-3=0 3.已知两条直线l1,l2的斜率分别是方程3x2+mx-3=0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是 (　 ) A.垂直 B.相交但不垂直 C.平行 D.重合 4.[2024·山东青岛五十八中高二月考] 若直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直,则a的值为 (　 ) A.1 B.0或1 C.0或-1 D.-1 5.已知直线l1经过A(-3,2),B(1,-2)两点,直线l2的倾斜角为45°,那么l1与l2 (　 ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 6.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 (　 ) A.5 B.10 C. D. 7.(多选题)已知直线l1:ax+2y+3a=0,直线l2:3x+(a-1)y+7-a=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.当a=3时,l1∥l2 B.当a=-2时,l1∥l2 C.当a=时,l1⊥l2 D.直线l1过定点(-3,0),直线l2过定点(-2,1) 8.(多选题)已知a>0,b>0,直线l1:x+(a-2)y+1=0,l2:bx+y-2=0,且l1⊥l2,则 (　 ) A.0<ab≤1 B.+≤2 C.a2+b2<2 D.+≥3 二、填空题 9.已知点A(1,-1)和直线l:x-2y+2=0,则过点A且垂直于直线l的直线的方程是　　　　　　.  10.“a=-3”是“直线x+ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  11.已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则其顶点A的坐标为　　　　.  12.[2024·广东深圳高二期中] 已知点A(1,2),B(2,3),点C在x轴上,△ABC为直角三角形,则点C的坐标为　　　　　　　.  三、解答题 13.[2024·湖南张家界高二期中] 已知直线l1:(a+1)x-2y-1=0,直线l2:(2a-1)x-(a-2)y+1=0. (1)若l1∥l2,求实数a的值; (2)若l1⊥l2,求实数a的值. 14.已知直线l1经过点(0,-2),且与直线x-y+3=0平行. (1)求直线l1的方程; (2)若直线l2:x+ay+2=0与l1互相垂直,求直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积. 15.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(3,0),B(1,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为 (　 ) A.x-y-1=0 B.2x+y-4=0 C.x+y-3=0 D.2x-y+1=0 16.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2). (1)试判断四边形ABCD的形状,并给出证明; (2)求∠ABC的平分线所在直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　两条直线垂直 1.B　[解析] 方法一:由直线-3x+4y+1=0得其斜率k1=,由直线8x+6y-3=0得其斜率k2=-,则k1k2=-1,所以这两条直线互相垂直. 方法二:因为A1A2+B1B2=-3×8+4×6=0,所以这两条直线互相垂直.故选B. 2.B　[解析] 将直线y=3x绕原点按逆时针方向旋转90°,得到直线y=-x,再将所得直线向右平移1个单位长度,得到直线y=-(x-1),将直线方程化为一般式,得x+3y-1=0,故选B. 3.A　[解析] 由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立,故方程有两个相异实根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在.设两根分别为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2 . 4.B　[解析] 由两条直线垂直可知(2a+1)·a+a·(-3)=0,解得a=0或a=1,故选B. 5.B　[解析] 由题意可得,直线l1的斜率k1==-1,直线l2的斜率k2=tan 45°=1,可得k1k2=-1,则l1与l2垂直.故选B. 6.A　[解析] 易知动直线x+my=0过定点A(0,0),由mx-y-m+3=0可得y-3=m(x-1),所以该直线过定点B(1,3).由1×m+m×(-1)=0,可知两条动直线互相垂直,即PA⊥PB,因为|AB|=,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥2|PA|·|PB|,所以|PA|·|PB|≤5,当且仅当|PA|=|PB|=时等号成立.故选A. 7.ACD　[解析] 当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,两直线平行,故A正确.当a=-2时,l1:-x+y-3=0,l2:-x+y-3=0,两直线重合,故B错误.当a=时,直线l1的斜率k1=-=-,直线l2的斜率k2=-=5,因为k1·k2=-1,所以 l1⊥l2,故C正确. l1:ax+2y+3a=0的方程的点斜式为y=-(x+3),即y-0=-(x+3),所以l1过定点(-3,0),当a≠1时,l2:3x+(a-1)y+7-a=0的方程的点斜式为y-1=-(x+2),此时l2过定点(-2,1),当a=1时,l2:x=-2也过点(-2,1),故D正确.故选ACD. 8.ABD　[解析] ∵l1⊥l2,∴1×b+(a-2)×1=0,∴a+b=2,且a>0,b>0,∴0<ab≤=1,当且仅当a=b时等号成立,故A正确;(+)2=a+b+2≤2(a+b)=4,当且仅当a=b时等号成立,∴+≤2,故B正确;a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4=2(a-1)2+2≥2,故C错误;+=+=++1≥2+1=3,当且仅当=,即a=b时等号成立,故D正确.故选ABD. 9.2x+y-1=0　[解析] 直线l:x-2y+2=0的斜率为,所以过点A且垂直于直线l的直线的斜率为=-2,故所求直线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0. 10.充分不必要　[解析] 当直线x+ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直时,a+a(a+2)=0,即a2+3a=0,解得a=0或a=-3,所以“a=-3”是“直线x+ay+2=0与直线ax+(a+2)y+1=0互相垂直”的充分不必要条件. 11.(-19,-62)　[解析] ∵H为△ABC的垂心,∴AH⊥BC,BH⊥AC,又kBC==-,kBH==-,∴直线AH,AC的斜率均存在,且kAH=4,kAC=5.设A(x,y),则解得∴A(-19,-62). 12.(3,0)或(5,0)　[解析] 设C(x,0),易知当x=1或x=2时,不合题意,因此当x≠1且x≠2时,可得kAB==1,kAC=-,kBC=-.当A为直角时,kAB·kAC=1×=-1,得x=3,此时C的坐标为(3,0).当B为直角时,kAB·kBC=1×=-1,得x=5,此时C的坐标为(5,0).当C为直角时,kAC·kBC=·=-1,化简得x2-3x+8=0,该方程无解.综上,C(3,0)或C(5,0). 13.解:(1)由l1∥l2,得(a+1)×[-(a-2)]+2(2a-1)=0,即a2-5a=0,所以a=0或a=5. 当a=0时,l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-1=0,两直线重合,不符合题意;当a=5时,l1:6x-2y-1=0,l2:9x-3y+1=0,符合题意.综上可知,a=5. (2)由l1⊥l2,得(a+1)(2a-1)+2(a-2)=0,即2a2+3a-5=0,所以(2a+5)(a-1)=0,即a=-或a=1. 14.解:(1)因为直线l1与直线x-y+3=0平行,所以直线l1的斜率k1=,又直线l1过点(0,-2),所以由直线方程的点斜式得直线l1的方程为y+2=(x-0),即x-y-2=0. (2)因为直线l2⊥l1,直线l1的斜率为,所以l2:x+ay+2=0的斜率为-,所以a=,则 l2的方程为x+y+2=0.设直线l2与x轴、y轴的交点分别为A,B,O为坐标原点,令y=0得x=-2, 令x=0得y=-,所以S△OAB=|OA|·|OB|=×2×=,即所求三角形的面积为. 15.A　[解析] 因为|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形,所以△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上.设AB的中点为D,则D(2,1),又kAB==-1,所以△ABC的欧拉线的斜率为-=1,所以欧拉线的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故选A. 16.解:(1)四边形ABCD是直角梯形. 证明如下:因为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(4,2), 所以由斜率公式得kCD==-,kAB==-,kBC==2,kAD==-3,所以kCD=kAB,kBC≠kAD,即AB∥CD且BC与AD不平行,所以四边形ABCD是梯形.又因为kBC·kCD=-1,所以BC⊥CD,所以四边形ABCD是直角梯形. (2)设直线BC的倾斜角为α,则kBC=tan α=2,又∠ABC=,所以∠ABC的平分线所在直线的倾斜角为α-, 则∠ABC的平分线所在直线的斜率k=tan===.又因为∠ABC的平分线所在直线过点B(1,1),所以∠ABC的平分线所在直线的方程为y-1=(x-1),即x-3y+2=0. 学科网（北京）股份有限公司 $