第1章 1.6 第1课时 两点间的距离公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(　　) A．2　　　　　　 B．1 C. D．5 解析：C　[根据对称性知道点N(－1,2)，由两点间距离公式得到|ON|＝＝.] 2．等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是(　　) A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4) C．(4,6) D．(0,2) 解析：A　[设B(x，y)，由题意得×＝－1，＝，化简得3x－y－6＝0，(x－3)2＋(y－3)2＝10， 联立解得或∴B(2,0)或(4,6)．] 3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为(　　) A．5 B．2 C．5 D．10 解析：C　[点A(－3,5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即A′B的长， |A′B|＝＝5，光线从A到B的路程为5.] 4．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 解析：BCD　[＝＝ ＝，可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离， 可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确，故答案为：BCD.] 5．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 解析：C　[∵|AB|＝＝＝＝2，|BC|＝＝＝＝4，|AC|＝＝＝2，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．] 6．已知点A(－3,4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为　________　. 解析：设点P(x,0)，则有|PA|＝ ＝，|PB|＝ ＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－，即所求点P为. 答案： 7．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是　________　. 解析：点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，由两点间距离公式得到|AB|＝＝，根据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得，对称轴为a＝. 答案： 8．已知点A(1,1)，B(2,2)，C(4,0)，D，点P在线段CD垂直平分线上，求： (1)线段CD垂直平分线方程； (2)|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标． 解：(1)由C(4,0)，D，得线段CD的中点 M，kCD＝＝－2，∴线段CD的垂直平分线的斜率为，∴线段CD垂直平分线方程为y－＝，即x－2y＝0. (2)设P(2t，t)， 则|PA|2＋|PB|2＝(1－2t)2＋(1－t)2＋(2－2t)2＋(2－t)2＝10t2－18t＋10. 当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，即P. [能力提升练] 9．已知两定点A(－3,4)，B(2,9)，动点P在直线y＝2x上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．5 B．8 C．9 D．3 解析：D　[由题意知，两定点A(－3,4)，B(2,9)在直线y＝2x同侧，动点P在直线y＝2x上． 设点A关于直线y＝2x的对称点为C(a，b)， 则解得a＝5，b＝0，∴C(5,0)， ∴|PA|＋|PB|的最小值为|BC|＝＝3.] 10．已知△ABC的三个顶点分别是A(1,5)，B(－2，4)，C(－6,4)，M是边BC上的一点，且△ABM的面积等于△ABC面积的，那么线段AM的长等于(　　) A．5 B. C. D. 解析：A　[由于△ABM的面积等于△ABC面积的，故|BM|＝|BC|，如图， 设M(x，y)，由＝得，(x＋2，y－4)＝(－4，－8)＝(－1，－2)，解得x＝－3，y＝2，即M(－3,2)，所以|AM|＝＝5.] 11．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是　________　. 解析：易知A(0,0)，B(1,3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形， ∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立． 答案：5 12．已知：四边形ABCD是等腰梯形，A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)且AB∥CD，求梯形各边所在直线的方程． 解：lAB过点A且一个方向向量是＝(1,3)，则lAB：＝，即AB边所在直线方程为3x－y＋3＝0；lBC过点B且一个方向向量是＝(1,0)，则BC边所在直线方程为y＝0； lCD过点C且一个方向向量是(1,3)，则lCD：＝，即CD边所在直线方程为3x－y－9＝0； 设点D的坐标为(a，b)，由于点D在直线lCD上，且|AD|＝|BC|，则⇒，或， 当时，四边形ABCD是平行四边形，舍去，所以点D的坐标是. lAD过点A且一个方向向量是＝(4，－3)，则lAD：＝，即AD边所在直线方程为3x＋4y－12＝0. [素养培优练] 13．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知A(－2，0)，B(2,0)，C(0，4)，P为△ABC内一点，记f(P)＝|PA|＋|PB|＋|PC|，则f(P)的最小值为(　　) A．2 B．4＋2 C．4＋ D．2＋ 解析：B　[设O(0,0)为坐标原点，由A(－2,0)， B(2,0)，C(0,4)， 知|AC|＝|BC|＝2，且△ABC为锐角三角形， 因此，费马点M在线段OC上，设M(0，h)，如图， 则△MAB为顶角是120°的等腰三角形，故h＝|OB|tan 30°＝，所以f(P)≥f(M)＝|MA|＋|MB|＋|MC|＝4h＋4－h＝4＋2，则f(P)的最小值为4＋2.] 14．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P(x，y)满足方程x2＋y2＝4，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值． 解：设P(x，y)，则x2＋y2＝4. |PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2 ＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y. ∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72. 学科网（北京）股份有限公司 $$