1.1.5 两条直线的交点坐标(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.5　两条直线的交点坐标 一、选择题 1.直线x+y-2=0与直线x-y=0的交点组成的集合为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{(1,1)} B.{(0,1)} C.{(0,0)} D.{1} 2.直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,则它们的交点坐标为 (　 ) A.(-1,-3) B.(-2,-1) C. D.(-1,-2) 3.[2023·甘肃天水高二期末] 直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为 (　 ) A.12 B.10 C.-8 D.-6 4.经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,并且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程为 (　 ) A.2x+3y-7=0 B.2x+3y+1=0 C.3x-2y-8=0 D.3x-2y-4=0 5.[2024·北京朝阳区高二期中] 若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 6.已知平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0,若这三条直线将平面划分为六个部分,则实数k的取值情况是 (　 ) A.只有唯一值 B.有两个不同值 C.有三个不同值 D.有无穷多个值 7.(多选题)若两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0有交点,则该交点坐标就是方程组的实数解.给出以下四种说法: ①若方程组无解,则两直线平行; ②若方程组只有一组解,则两直线相交; ③若方程组只有一组解,则两直线垂直; ④若方程组有无数组解,则两直线重合. 其中说法正确的有 (　 ) A.① B.② C.③ D.④ 8.(多选题)[2024·湖南长沙高二期中] 已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能围成一个三角形,则实数m的取值可能为 (　 ) A.2 B.- C.- D. 二、填空题 9.已知直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值是　　　　.  10.直线ax+3y-12=0与直线4x-y+b=0垂直,且相交于点P(4,m),则b=　　　　.  11.若关于x,y的方程组 无解,则a的值为　　　　　　.  12.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为M(2,3),则过两点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)的直线的方程为　　　　　　.  三、解答题 13.求过两条直线2x-y+3=0与3x-y+2=0的交点,且分别满足下列条件的直线方程: (1)斜率为-; (2)过点P(2,3); (3)平行于直线3x+y=1. 14.已知直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交于点P. (1)直线l1经过点P,且平行于直线3x-4y+5=0,求直线l1的方程; (2)直线l2经过点P,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l2的方程. 15.已知M(-1,3),N(2,1),点P为x轴上一点,则|PM|+|PN|取得最小值时点P的坐标为　　　　.  16.[2024·河北石家庄高二期中] 数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,这条直线被称为三角形的欧拉线.在△ABC中,已知A(2,0),B(0,4),若△ABC的欧拉线的方程为x-y+2=0,求: (1)外心F的坐标; (2)重心G的坐标; (3)垂心H的坐标. 参考公式:若三角形的三个顶点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则三角形重心的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　两条直线的交点坐标 1.A　[解析] 由解得即交点的坐标为(1,1),所以交点组成的集合为{(1,1)}.故选A. 2.B　[解析] 由直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,可得2k+2=0,即k=-1,所以直线kx+2y=0的方程为x-2y=0.由得故它们的交点坐标为(-2,-1).故选B. 3.B　[解析] ∵直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),∴将点(2,-1)的坐标代入3x+my-1=0,得3×2+m×(-1)-1=0,即m=5,将点(2,-1)的坐标代入4x+3y-n=0,得4×2+3×(-1)-n=0,即n=5,∴m+n=10.故选B. 4.A　[解析] 由得所以两直线交点的坐标为(2,1),又所求直线的斜率为-,所以所求直线的方程为y-1=-(x-2),即2x+3y-7=0.故选A. 5.B　[解析] 由得因为交点位于第一象限,所以解得k>,所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选B. 6.C　[解析] 由题意可知,当三条直线中有两条直线平行且与第三条直线相交,或三条直线相交于同一点时,三条直线将平面分为六个部分.因为直线x-2y+1=0与直线x-1=0不平行,所以分三种情况:①直线x-2y+1=0与直线x+ky=0平行,则k=-2,此时满足题意;②直线x-1=0与直线x+ky=0平行,则k=0,此时满足题意;③直线x+ky=0过直线x-2y+1=0与直线x-1=0的交点,由得所以k=-1.故实数k的值是-2或-1或0,故选C. 7.ABD　[解析] 对于①,若方程组无解,则两条直线无交点,两直线平行,故①正确;对于②③,若方程组只有一组解,则两条直线只有一个交点,两直线相交,但不一定垂直,故②正确,③错误;对于④,若方程组有无数组解,则两条直线有无数个交点,两直线重合,故④正确.故选ABD. 8.AD　[解析] 因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能围成一个三角形,所以直线mx-y-1=0与直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行,且直线mx-y-1=0不过直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点.当直线mx-y-1=0与直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行时,m≠且m≠-.由解得即直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点坐标为,代入直线方程mx-y-1=0中,得m=-,故可知m≠-.结合选项可知实数m的取值可能为2或.故选AD. 9.±6　[解析] 因为直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,所以设交点坐标为(0,b),所以消去b,可得k=±6. 10.-13　[解析] 由两直线垂直可得×4=-1,解得a=.由两直线相交于点P(4,m),得 解得 11.-5或3或±1　[解析] 显然,当a=1时,方程(a2-1)x+(a-1)y=12无解,故方程组无解.当a≠1时,方程组的解即直线y-2=(a+1)(x-1)(不包括点(1,2))与(a2-1)x+(a-1)y=12的交点坐标,则方程组无解,即两直线无交点.若两直线平行,则a+1=-(a+1),解得a=-1.当两直线不平行时,需满足直线(a2-1)x+(a-1)y=12过点(1,2),即a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.综上,a的值为-5或3或±1. 12.2x+3y+1=0　[解析] 因为两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为M(2,3),所以2a1+3b1+1=0且2a2+3b2+1=0,所以点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)在直线2x+3y+1=0上,所以过两点Q(a1,b1),P(a2,b2)(a1≠a2)的直线的方程为2x+3y+1=0. 13.解:方法一:由得所以直线2x-y+3=0与直线3x-y+2=0的交点为M(1,5). (1)当斜率为-时,由直线方程的点斜式得,所求直线方程为y-5=-(x-1),整理得x+2y-11=0. (2)由直线方程的两点式得所求直线方程为=, 即2x+y-7=0. (3)直线3x+y=1的斜率k=-3,所以所求直线方程为y-5=-3(x-1),即3x+y-8=0. 方法二:由题意知,直线3x-y+2=0不符合题意,所以由直线系方程可设所求直线的方程为2x-y+3+λ(3x-y+2)=0,整理得(2+3λ)x-(λ+1)y+2λ+3=0. (1)当直线的斜率为-时,λ≠-1,=-,解得λ=-,故所求直线方程为x+2y-11=0. (2)由题意知,所求直线过点P(2,3),将P点坐标代入直线系方程得4+5λ=0,解得λ=-, 故所求直线方程为2x+y-7=0. (3)由直线3x+y=1的斜率为-3,所求直线与直线3x+y=1平行,得λ≠-1,=-3,解得λ=-,故所求直线方程为3x+y-8=0. 14.解:(1)由解得所以P(-2,2). 设l1:3x-4y+m=0(m≠5),将(-2,2)代入l1的方程得3×(-2)-4×2+m=0,解得m=14,所以l1的方程为3x-4y+14=0. (2)由题意知,直线l2在两坐标轴上的截距都不为0,且截距的绝对值相等,设l2:+=1或l2:-=1,将(-2,2)代入l2的方程得+=1(无解)或-=1,可得b=-4,所以l2的方程为-=1,即x-y+4=0. 15.　[解析] 如图所示,易知点N关于x轴的对称点为Q(2,-1),由对称性可知|PN|=|PQ|,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|≥|MQ|,当且仅当M,P,Q三点共线时,等号成立.当|PM|+|PN|取得最小值时,点P为直线MQ与x轴的交点,因为直线MQ的斜率kMQ==-,所以直线MQ的方程为y+1=-(x-2),即4x+3y-5=0.由可得故当|PM|+|PN|取得最小值时,点P的坐标为. 16.解:(1)因为三角形三边的垂直平分线的交点为外心,所以外心F在边AB的垂直平分线上,因为kAB==-2,所以边AB的垂直平分线的斜率为,又边AB的中点坐标为(1,2),所以边AB的垂直平分线的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.由题知,外心F在直线x-y+2=0上,由得即外心F的坐标为(-1,1). (2)设C(x0,y0),则G,因为重心G在直线x-y+2=0上,所以-+2=0,即y0=x0+4.当x0=0时,点C的坐标为(0,4),与点B重合,不符合题意;当x0≠0时,y0≠4,kBC==1,所以边BC的垂直平分线的斜率为-1,又边BC的中点坐标为,外心F在边BC的垂直平分线上,所以-1=-,即y0+x0+4=0,又y0=x0+4,所以x0=-4,y0=0,所以点C的坐标为(-4,0).所以G. (3)垂心H在AB边的高所在直线上,由(1)可知,AB边的高所在直线的斜率为,由(2)知C(-4,0),所以AB边的高所在直线的方程为y=(x+4),又点H在直线x-y+2=0上,所以由得即H(0,2). 学科网（北京）股份有限公司 $