1.1.5 两条直线的交点坐标-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

[yx3=-1, 即 x-3 解得=0，即 (kAD =kcB, y+1 12, y=1, D(0,1).故选D 3.BCD解析：对A,k,=tan45=1,k,=1,k·k,≠-1，所以A不符 合题盒，对9月，气-号作=-1，放符合 意；对C,= -5-1 2-0 4-21,1-1,·,-1,故C符合题意； 对D,因为(1，m)·1,- 1-1=0,所以两直线的方向向量互 相垂直，故L1⊥L2,故D符合题意.故选BCD. 4.D解析：因为直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直， 所以26-a(6-3)=0,即得2b+3a=b,所以2+3 a b =1.因为a,b都 是正实数所以2+6=(2+30)（名+号）-4g会9= 2/36+13=25.当且仅当a=b=5时，2a+3b取最小值25.故选D. 5.C解析：点P(x0,y0)不在直线l:Ax+By+C=0上，.Axo+Byo+C≠ 0,.直线Ax+By+C+(Ax0+Byo+C)=0不过点P. 又直线Ax+B+C+(Axo+Byo+C)=0与直线l:Ax+B+C=0平行，故 选C. 6.C解析：设直线1,2的斜率为k1,2,则k12=-2,:k1k2≠-1， 1,h2不垂直，A错误；若k1=k2,则kk2=好≥0，与kk2=-2矛 盾，k1≠2,1,2不平行，B错误；1，山不平行，也不垂直， ∴.(，2相交但不垂直，C正确，D错误故选C. 7.-4解析：因为l1:ax+4y=2,所以l1:ax+4y-2=0.因为两条直线垂 直，且l2:2x-5y+b=0,所以2×a-5×4=0,解得a=10,此时l1:10x+ 4y-2=0,将(1，c)代人l1:10x+4y-2=0中，得到10+4c-2=0,解 得c=-2,此时垂足为点(1，-2).将(1，-2)代人l2:2x-5y+b=0中，得 到2-5×(-2)+b=0,解得b=-12,故a+b+c=10-12-2=-4.故答案 为-4. 8.1或2 舞折集合4={)}-（红0743， x≠2}，B={(x,y)1ax-y+2=0},且AnB=☑，.直线y=x+3与直线 ax-y+2=0平行，或直线ax-y+2=0经过点(2,5)，即a=1或2a 5+2=0=a=7,故答案为1或 3 3 9.解：(1)如图，因为点A在直线x-2y-1=0和 Y 直线y=0上，所以A(1,0),直线AB的斜率 为2-91因为乙AC的平分线所在直线为： 轴，所以直线AC的斜率为-1，所以直线AC 的方程为y=-(x-1),即y=-x+1.因为直线 -2-1=0的斜率为了，所以直线BC的斜 率为-2.设C(m,-m+1),即c=1-（,-m+山=-2，解得m=4所以 2-m C(4,-3). (2)由(1)可知kB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以AB即为AC边上的 高.由于直线AB的斜率为1，且过A(1,0),所以AC边上的高所在的 直线l的方程为y=x-1. 1.5两条直线的交点坐标 白题 基础过关 1.CD解析：易知直线x+y-1=0的斜率为-1，所以与直线x+y-1=0 相交的直线的斜率必定不为-1，选项A,B中的直线的斜率都是-1， 选项C,D中的直线的斜率都是1，故A,B不符合题意.故选CD. 2.B解析：方程2x+y+1=0可化为y=-2x-1,因此该直线的斜率 1 2方程x+2+10可化为y=2-2,因此该直线道 率与=子，因为名≠，6=1≠-1，所以这两条直线相交但不 选择性必修第一册·BS 垂直故选B. 3.D解析：由+1=0。解得{x=2即交点坐标为(2,3).又直线 (2x-y-1=0, (y=3, 3x+4y-5=0的斜率为？，所以要求的直线斜率为子，故直线方程 4 为y-3=号（x-2),即4x-3y+1=0.故选D, 4.A解析：当a=-1时，l1:x-y+4=0,此时l1∥2，不满足题意；当a≠ 6 = -1时，解方程组+y40,得 a+1' 即交点坐标为 6 (x-y-2=0,1 4-2a a+1 a+1’ (6 4-2）因为交点位于第一象限，所以 *≥0， a+1 -20,0, 解得-1<a<2,即实 a+ 数4的取值范围为(-1,2).故选A. 5.C解析：迪20，解得即两直线交点坐标为(2,0，代 y=0, 人c-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-)故选C 6.5xy小5+2=0解斩：由00解得交点坐标为（-1,2).又 所求直线的倾斜角为号，故斜率为m号=5，所以直线方程为 y-2=√3(x+1),即W3x-y+√3+2=0，故答案为W3x-y+√3+2=0. 7.4解析：如图，令2x+y6=0中y=0,得x=3,所以与x轴交于A(3, 0),令x-2y+2=0中x=0,得y=1,所以与y轴交于B(0,1),由 y60可得{化2，所以两直线交于P2,2),所以围成的亚 (x-2y+2=0, 形面积为S=1+2)2,2x(3-2)=4,故答案为4 2 2 P 2+2=0B斗 2x+y-6=0 0 A 8,解：(1)设直线1和直线2的斜率分别为k1,k2,由题意知=2， 因为41h,所以3=2又因为直线马与在x轴上的截距为，所以直 (30）,所以直线的方君为y=2(),即：2x 13 线2过点 y3=0.联立2xy3=0, x+2y-40,解得{-2’即交点坐标为(2,1) (2)因为直线l3不过原点，设其在x轴上的截距为a,所以方程为 5 x+y=1因为6过(2,1)，所以。千201，解得a=2,所以直线 a '2a l3的方程为2x+y-5=0. 9,解：(1)因为B边所在直线的方程为x-3+8=0,所以6如=了又因 为矩形ABCD中，AD⊥AB,所以kAD=-3.所以由点斜式可得AD边所 在直线的方程为y-6=-3(x-0),即3x+y-6=0. (2)由-3+8=0解得=即A1,3),所以对角线AC所在直线 (3x+y-6=0, (y=3, 的方程为号即+2-0 黑题 应用提优 1.ABC解析：直线1的斜率为k1=-sina,过定点(0,0)，直线l2的斜 率为与=号，过点(-e,0).若直线h与6相交，则ma≠号，面 -1≤sina≤1，即sina≠】可以成立；若直线l1与l2垂直，则kk2= 3 3sina=-1,则sina=-3,与-1≤ina≤1矛盾，直线，与l2不可能 黑白题004 垂直，A正确，D错误；若直线与h重合，则c=0,且血a=行，而 -1≤na≤1，可以有i血a=3,B正确；若直线与么平行，则 ma=号且e≠0，而-1≤血a≤1，可以有血a=号，C正确故 1 选ABC 2.ACD解析：当三条直线交于一点时，由4+y40,解得直线1，和 (mx+y=0, 直线2的交点A的坐标 (六岩)由点4在直袋6上可 （把）4，解得m=子或m=-1,放AC正确：至少 4-m 有两条直线平行或重合时，即11，山2，中至少有两条直线的斜率相 等，当m=4时，4；当m=一专时，/%：若6%，则需有受 1 3m2=-2不可能，故D正确.故选ACD 3.B解析：由点A(1,2)在l1:ax+by+1=0上可知a+2b+1=0,同理，由 点A(1,2)在l2:cx+dy+1=0上可知c+2d+1=0,故点B(a,b)与C(c, d)均满足方程x+2y+1=0,由于两点确定一条直线，因此直线BC的 方程为x+2y+1=0.故选B. 4.B解析：如果直线1斜率不存在，直线方程为x=3,不符合题意，所 以直线1斜率存在，设为k,则直线1方程为y=(x-3),联立直线1 3k-2 得y=k(-3), x= k-2” → Ak 联立直线2得 y=k(x-3), 12x-y-2=0 (x+y+3=0 k-2 3k-3 x k+1 -6k 所以直线！与直线1，直线2的交点为 3k-24k k-2'k-2: y2k+1' (k+1+1)又直线1夹在两条直线1，和，之间的线段拾被点P /3k-3-6k 平分，所以3-23弘-3 4k-6k 6-2十+1=6，-2+10，解得k=8,所以直线1的方程 为8x-y24=0,故选B. 5.AB解析：对于选项A:因为x+ay+2a=0表示过定点(0，-2)，且斜 率不为0的直线，可知A=(x,y)lx+ay+2a=0}表示直线x+ay+2a= 0上所有的点，所以Ha∈R,A≠☑，故A正确；对于选项B:当a=-1 时，则A={(x,y)Ix-y-2=0},B={(x,y)|x+y+1=0},联立 x-y2=0解得 x= 2 3 所以AnB= x+y+1=0, {(分)}，B正确：对 22’ 于选项C:当AnB=☑时，若B=☑，则a=0:若B≠☑，可知直线x+ +2a=0与直线aay-1=0平行，且a0,可得=日≠织，解得 a=1;综上所述：a=0或a=1,故C错误；对于选项D:若A=B,由选项 C可阳a0且上吕无，故D结误放选AB 6.x+y-5=0解析：由题可知，△ABC的重心为G(3,2),可得直线AB 的斜率为1-2 为41，则4B边上高所在的直线斜率为-1，则方程为y 3=-(x-2),即x+-5=0,直线4C的斜率为3 2-3 =-2,则AC边上高 所在的直线斜率为分，则方程为)2=子(-4)，即x-2y=0,联立 10 x+y5=0,解得 3 即△ABC的垂心为H x-2y=0, 9），则直线 y=3 5 2- 3 GH斜率为 =-1,则可得直线GH的方程为y-2=-(x-3),故 10 3 3 参考答案 △ABC的欧拉线方程为x+y-5=0.故答案为x+y-5=0. 7.解：(1)因为l1∥2，所以1×(-4)=(-m)×m,解得m=±2，当m=2 时，直线41：x-2y+1=0,直线2：2x-4y+2=0,即x-2y+1=0,显然此时 两直线重合；当m=-2时，直线l1:x+2y+1=0,直线2：-2x-4y+6=0, 即x+2y-3=0,符合题意，故m=-2. (2)由(1)知，当1，h相交时，m≠±2，联立{-m+1=0, mt-4y-m+4=0,解得 所以（品）因为+2-号号好-1即 y=m+2 x+2y-1=0,所以点I恒在定直线x+2y-1=0上. 8.(（1)证明：联立三th可得y=k(y+b)+b=ky+b(k+1)）,又kE lx=ky+b, (0,1),b≠0，所以y= b(k+1)b 1-2白0，即1与2的交点不在x轴上 b (2)解：由(1)知，⅓1已由y=k+b,令y=0,有g=-无，由x=+ 令y=0.可限=则C1=b+生所以s=合 b 1+k 62=2k(1-k) 令t=1+k∈ (1,2),则g=1 t 1 1 2-1(2-)2-2+3 ,对于y=-t -t- 子-（）5-2名-2，当且仅当a反，即a-1 时取等号，所以y∈(-3，-22]，故-t- 2+3e(0,3-21则≥ 1 3-22 1.6平面直角坐标系中的距离公式 白题 基础过关 1.D解析：由已知得1AB1=√(1-m)2+(3-7)2=5,因此11-ml=3,解 得m=4或m=-2.故选D. 2.D解析：1AB1=1AC1,.√(a+2)2+(2+3)7=√(a-1)2+(2-1)7, 9 解得a=-之故选D. 3.D解析：由两点间的距离公式可得|AB1=√4+1=√5，IAC1= √1+9=√/10，IBC1=√1+4=√5.：|AB1=IBC1,且IABI2+|BCI2= 14CI2,故该三角形为等腰直角三角形故选D. 4.2W5解析：设A(x,0),B(0,y).线段AB的中点为M(2,-1), 22, .{x=4,A(4,0),B(0,-2), y=-2 y=-1, .14B1=√(4-0)2+(0+2)7=25.故答案为25. 5.C解析：设点P的坐标为(x,0),则3x-4x0+6 =6,解得x=8或 V32+(-4)2 x=-12,∴.点P的坐标为(8,0)或(-12,0).故选C. 6.A解析：由题意，IMPI的最小值是点M(0,2)到直线2x+y-1=0的 巨离，p10×2+21【一1=√鼓选A √22+12W5 7.B解析点(x,5)关于点(1，)的对称点为(-2，-3)，心{5-3=2， (x-2=2, 解得=4即点P的坐标为(4,1).直线)y=x+1的一般式方程为x (y=1,1 y+1=0,∴.所求距离d= 14-1+11_=2W2.故选B. 12+(-1)2 8.D解析：因为A(4,0),B(2,a)两点到直线1：x+y-5=0的距离相等 黑白题0051.5两条直线的交点坐标 白题 基础过关 限时：25min 题组1两条直线相交的判定 8.(2025·江苏无锡高二期中)已知直线11的方 1.(多选)(2024·浙江嘉兴高二月考)下列直线 程为x+2y-4=0,若直线2在x轴上的截距为 中，与直线x+y-1=0相交的是 ( A.直线x+y=3 B.直线x+y=0 且66 C.直线y=x-3 D.直线y=x-1 (1)求直线11和直线1，的交点坐标； 2.直线2x+y+1=0和直线x+2y+1=0的位置关 (2)已知不过原点的直线1经过直线11与直 系是 ( 线l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上 A.平行 B.相交但不垂直 的截距的2倍，求直线l3的方程 C.垂直 D.重合 题组2两条直线的交点坐标及其应用 3.(2025·江西抚州高二月考)已知直线1：x y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过L,和l2的交点且 与直线3x+4y-5=0垂直的直线方程为 ( A.3x-4y-1=0 B.3x-4y+1=0 9.（2025·四川绵阳高二期中)如图，矩形ABCD C.4x-3y-1=0 D.4x-3y+1=0 的两条对角线相交于点M(3,5),AB边所在 4.（2025·江西上饶高二月考)若直线L1:ax+y 直线的方程为x-3y+8=0,点N(0,6)在AD边 所在直线上， 4=0与直线2：x-y-2=0的交点位于第一象 限，则实数a的取值范围是 (1)求AD边所在直线的方程； ( (2)求对角线AC所在直线的方程， A.(-1,2) B.(-1,+∞) C.(-∞，2) D.(-0,-1)U(2,+∞) 5.苏教版教材变式)已知三条直线2x+y-4= 0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点，则实数k= A.-1 B.1 6.(2025·江西抚州高二月考)过两条直线11：x y+3=0与2：2x+y=0的交点，倾斜角为T的直 线方程为 .(用一般式表示)》 7.直线x-2y+2=0和2x+y-6=0与两坐标轴正 半轴围成的四边形的面积为 选择性必修第一册·BS黑白题008 黑题 应用提优 限时：30min 1.（多选)(2024·广东韶关高二月考)已知直线6.（2024·湖南永州高二月考)数学家欧拉 l1:xsin a+y=0与直线l2:x+3y+c=0,则直线l1 1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提 与直线2的位置关系可能是 出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条 A.相交但不垂直 B.重合 直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 C.平行 D.垂直 △ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2),C(2, 2.（多选)(2025·湖南长沙长郡中学高二月考) 3),则△ABC的欧拉线方程为 下面三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,7.已知m∈R,设直线L1:x-my+1=0,直线 l3:2x-3my-4=0不能构成三角形，则实数m L2:mx-4y-m+4=0. 的取值可以是 ( (1)若l1∥l2,求m的值； A.-1 B名 c D.4 (2)当11与1，相交时，求交点I的坐标（用m 表示)，并证明点I恒在一条定直线上 3.(2025·山西晋中高二月考)已知点A(1,2), B(a,b),C(c,d),若A是直线L1:ax+by+1=0 和l2:cx+dy+1=0的公共点，则直线BC的方 程为 ( A.x+2y-1=0 B.x+2y+1=0 C.2x+y-1=0 D.2x+y+1=0 4.(2025·江西宜春高二月考)过点P(3,0)作 一条直线1，它夹在两条直线1：2x-y-2=0和 8.(2025·安徽阜阳高二期中)已知直线1： 12:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直 y=x+b,L2:x=y+b,k∈(0,1)，b≠0. 线1的方程为 ( (1)证明：l1与l,的交点不在x轴上； A.8x+y-24=0 (2)已知l1与12交于A点，l1,l2分别与x轴交 B.8x-y-24=0 C.8x+y+24=0 于B,C点，记△ABC的面积为S,求名的取 D.x+8y+24=0 值范围。 5.(多选)(2025·江西上饶高二月考)已知集 合A={(x,y)lx+ay+2a=0},B={(x,y）|ax+ ay-1=0},则下列结论正确的是 A.Va∈R,A≠⑦ B.当a=-1时，AnB={(分，2)》 C.当A∩B=时，a=1 D.3a∈R,使得A=B 第一章黑白题009