1.1.1&1.1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 一、选择题 1.已知直线的倾斜角是,则直线的斜率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.- B. C.- D. 2.若直线l的一个方向向量的坐标是(-,6),则其斜率为 (　 ) A. B.- C.2 D.-2 3.已知直线l的倾斜角为α,若45°<α<135°且α≠90°,则直线l的斜率k的取值范围为 (　 ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 4.倾斜角为135°的直线经过点(a+1,5)和(2a-2,3a),则a= (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.如图,若直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4,则 (　 ) A.k4<k3<k2<k1 B.k1<k2<k3<k4 C.k3<k4<k1<k2 D.k2<k1<k3<k4 6.若直线l的斜率k∈,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　 ) A.∪ B. C.∪ D. 7.(多选题)已知直线l过点A(0,2),B(,-1),则 (　 ) A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为 C.直线l的一个方向向量为u=(1,-) D.直线l的一个方向向量为v=(-,3) 8.(多选题)已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),则下列说法正确的是 (　 ) A.直线AB的斜率为7 B.直线BC的倾斜角为钝角 C.若a=(1,1),则a是直线CA的一个方向向量 D.△ABC中,边AB上中线所在直线的斜率为-5 二、填空题 9.[2024·四川成都高二期末] 若直线l的倾斜角为150°,则它的一个方向向量为　　　　.  10.已知直线l的倾斜角为α,直线l的斜率的取值范围为,则α的取值范围为　　　　.  11.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　　.  12.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　.  三、解答题 13.根据下列给出的直线l的倾斜角θ的取值范围,计算直线的斜率k的取值范围. (1)θ∈; (2)θ∈. 14.若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角,求实数t的取值范围. 15.若直线l的一个方向向量的坐标是(1,sin θ),θ∈R,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 ) A.[0,π) B. C. D.∪ 16.(多选题)[2024·河南南阳高二期中] 已知三条直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α,β,γ,且k1<k2<k3,则α,β,γ的关系可能为 (　 ) A.α<β<γ B.β<γ<α C.α<γ<β D.γ<α<β 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 1.C　[解析] ∵直线的倾斜角是,∴直线的斜率为tan=tan=-tan=-.故选C. 2.D　[解析] 由于直线l的一个方向向量的坐标是(-,6),则直线l的斜率为=-2.故选D. 3.B　[解析] 当直线的倾斜角为45°时,斜率为1;当直线的倾斜角为135°时,斜率为-1.由y= tan α的单调性可知,当45°<α<90°时,k=tan α>1;当90°<α<135°时,k=tan α<-1.综上可知,k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B. 4.C　[解析] 由题可知,直线的斜率k=tan 135°==-1,∴a=2.故选C. 5.C　[解析] 由题图可知,直线l3,l4的倾斜角为钝角,斜率为负值,直线l1,l2的倾斜角为锐角,斜率为正值,且直线l4的倾斜角大于直线l3的倾斜角,直线l2的倾斜角大于直线l1的倾斜角,所以0>k4>k3,k2>k1>0,所以k3<k4<k1<k2.故选C. 6.A　[解析] 设直线l的倾斜角为α,依题意得0≤α<π,α≠,tan α∈.当-1≤tan α<0时,可得≤α<π,当0≤tan α≤时,可得0≤α≤,所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选A. 7.ACD　[解析] 因为直线l过点A(0,2),B(,-1),所以直线l的斜率k==-,故B不正确;直线l的倾斜角为,故A正确;易知直线l的一个方向向量为u=(1,-),故C正确;因为u∥v,所以直线l的一个方向向量为v=(-,3),故D正确.故选ACD. 8.BCD　[解析] 对于A,直线AB的斜率kAB==,故A错误;对于B,直线BC的斜率kBC==-<0,所以直线BC的倾斜角为钝角,故B正确;对于C,直线CA的斜率kCA==1,所以直线CA的一个方向向量为(1,kCA),即(1,1),故C正确;对于D,设AB边的中点为D(x0,y0),则x0==-,y0==,即点D,则kCD==-5,故D正确.故选BCD. 9.(-3,)(答案不唯一)　[解析] 因为直线l的倾斜角为150°,所以直线l的斜率k=tan 150°=-,所以直线l的方向向量与v=共线,可取直线l的一个方向向量为(-3,). 10.　[解析] 直线l的斜率的取值范围为,即≤tan α≤1,又0≤α<π,所以≤α≤,所以α的取值范围为. 11.(3,0)或(0,3)　[解析] 由题意可得kPA=-1.若点P在x轴上,则设P(m,0),由=-1,解得m=3;若点P在y轴上,则设P(0,n),由=-1,解得n=3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3). 12.,-3　[解析] 设正方形一边所在直线的倾斜角为α,其斜率k=tan α<2,则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α+,其斜率为tan.根据题意,令tan=2,即==2,解得tan α=,即正方形其中一边所在直线的斜率为.又易知与该边相邻的边所在直线的倾斜角为α+,所以与该边相邻的边所在直线的斜率为tan===-=-3.故该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,-3. 13.解:(1)斜率k与倾斜角θ之间的关系为k=tan θ,利用正切函数的单调性可知,正切函数y= tan θ在上单调递增,又tan=1,tan=,所以当θ∈时,斜率k∈[1,],即斜率k的取值范围是[1,]. (2)由正切函数的性质可知,当θ∈时,y=tan θ单调递增,且θ从右侧趋近时,tan θ趋近-∞,易知tan=-,所以当θ∈时,斜率k∈(-∞,-),即斜率k的取值范围是(-∞,-). 14.解:因为直线AB的倾斜角α不是锐角,所以α=0°或α=90°或α是钝角.当α=0°时,1+t=2t,得t=1;当α=90°时,1-t=3,得t=-2;当α是钝角时,直线AB的斜率小于0,即<0,得<0,所以或解得-2<t<1.综上所述,实数t的取值范围为[-2,1]. 15.D　[解析] 因为直线l的一个方向向量的坐标是(1,sin θ),所以直线l的斜率k=sin θ,所以-1≤k≤1,则-1≤tan α≤1,易得0≤α≤或≤α<π.故选D. 16.ABD　[解析] 正切函数y=tan x在上单调递增,在上也单调递增.分以下四种情况讨论:当0<k1<k2<k3时,α,β,γ均为锐角,且α<β<γ;当k1<0<k2<k3时,α为钝角,β,γ均为锐角,且β<γ<α;当k1<k2<0<k3时,α,β均为钝角,γ为锐角,且γ<α<β;当k1<k2<k3<0时,α,β,γ均为钝角,且α<β<γ.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $