1.1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.1　一次函数的图象与直线的方程　1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 一、基础巩固 1.(探究点一)如图,直线l过原点,直线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 2.(探究点三)下列说法正确的是(　　) A.直线的倾斜角越大,它的斜率越大 B.两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等 C.任何一条直线都有唯一的斜率 D.任何一条直线都有唯一的倾斜角 3.(探究点四·2025湖南郴州期末)已知倾斜角为的直线的方向向量为(1,m),则m的值为(　　) A.1 B. C.-1 D. 4.(探究点二)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 5.(探究点二)已知直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为6,则k的值是(　　) A.±3 B. C.- D.± 6.(探究点一)a,b,c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为　　　　.  7.(探究点四)直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角为　　　　　.  8.(探究点三)将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线斜率是　　　　.  9.(探究点三)已知点A(1,2),在坐标轴上有一点P使直线PA的倾斜角为60°,求点P的坐标. 二、能力提升 10.(2025山东东营期末)已知直线l1的斜率为-1,直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°,则直线l2的斜率为(　　) A.-2+ B.-2- C. D. 11.(多选题)若直线l的倾斜角为钝角,则下列向量可能作为l的方向向量的是(　　) A.a=(2,1) B.a=(-2,1) C.a=(1,-2) D.a=(0,1) 12.设A(1,1),B(2,a),C(b,3)三点共线,且a,b∈N+,则a-b的值为(　　) A.1 B.-1 C.1或-1 D.无法确定 13.(2025江西新余一模)已知直线l的方程为y=(-a2+1)x+b,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.0, B. C.∪,π D.0,∪,π 14.(多选题)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　) A.-2 B. C.1 D. 15.已知θ∈0,,试用θ表示经过P(0,0),Q(sin θ,cos θ)两点直线l的倾斜角为　　　　　.  16.已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为　　　　 ,　　　　 .  17.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 18.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求的取值范围. 19.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 20.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点.求证:若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=0. 参考答案 1.C　由题图可知,直线l的倾斜角为故选C. 2.D　对于A,两直线的倾斜角分别为α=,β=,α>β,k1=tan α<0,k2=tan β>0,k1<k2,所以A错误;对于B,两直线的倾斜角相等为,但斜率不存在,所以B错误;对于C,当直线的倾斜角为时斜率不存在,所以C错误;D正确. 3.C　因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率k=tan=-1.又直线的方向向量为(1,m),所以m=-1.故选C. 4.A　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图知0°<α3<α2<90°<α1<180°,∴tan α1<0,tan α2>tan α3>0,即k1<0,k2>k3>0,故选A. 5.D　由题知直线y=kx+4能与两坐标轴围成三角形,则k≠0.令x=0,得y=4,所以直线与y轴交点坐标为(0,4),令y=0,得x=-,所以直线与x轴交点坐标为-,0,所以直线y=kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为4×-=6,解得k=± 6.45° 7　因为直线l的一个方向向量为(,1),所以直线l的斜率为k=设直线l的倾斜角为θ,则0≤θ<π,所以tan θ=,则θ= 8　直线y=x+-1的斜率k1=1,倾斜角α1=45°,绕直线上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角α2=45°+15°=60°,斜率k2=tan 60°= 9.解 当点P在x轴上时,设点P(a,0),∵A(1,2),∴kPA=又直线PA的倾斜角为60°,∴tan 60°=,解得a=1-点P的坐标为1-,0.当点P在y轴上时,设点P(0,b).同理可得b=2-,∴点P的坐标为(0,2-). 综上所述,点P的坐标为1-,0或(0,2-). 10.B　因为直线l1的斜率为-1,所以直线l1的倾斜角为135°.又直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°,所以直线l2的倾斜角为105°,tan 105°=tan(45°+60°)==-2-,故直线l2的斜率为-2-故选B. 11.BC　因为直线l的倾斜角为钝角,则其斜率k<0,所以l的方向向量的横、纵坐标的符号相反,故选BC. 12.C　因为A(1,1),B(2,a),C(b,3)三点共线,所以kAB=kAC,即,化简得(a-1)(b-1)=2. 又a,b∈N+,所以a=2,b=3或a=3,b=2,故a-b的值为-1或1. 13.D　直线l的斜率为k=-a2+1≤1,设该直线的倾斜角为θ,则tan θ≤1. 又因为0≤θ<π,故θ∈0,∪,π.故选D. 14.ACD　当直线l过点B时,设直线的斜率为k1,则k1==-,当直线l过点A时,设直线的斜率为k2,则k2==1,故直线l的斜率的取值范围为k≥1或k≤-,故选ACD. 15-θ　设直线l的倾斜角为α,∵θ∈0,,则sin θ≠0,∴tan α==tan-θ. 又∵θ∈0,,α∈[0,π),则-θ∈0,,∴α=-θ. 16.-2　　设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为α,则tan α=3.由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为α+45°,α-45°,因为tan(α+45°)==-2,tan(α-45°)=,所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为-2, 17.解 如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1. (1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}. 18.解 的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率k.∵点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],∴点M在线段AB上运动,且A(2,4),B(5,-2).设直线NA,NB的斜率分别为kNA,kNB.∵kNA=,kNB=-,∴-k的取值范围是-. 19.解 在菱形OBCD中,因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°,所以斜率kOD=kBC=tan 60°=;因为CD∥OB,且OB在x轴上,所以直线OB,CD的倾斜角相等,都为0°,所以斜率kOB=kCD=0; 由菱形的性质知,∠COB=60°=30°,∠OBD=60°,所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°,120°,所以两条对角线所在直线的斜率分别为kOC=tan 30°=,kBD=tan 120°=- 20.证明 ∵A,B,C是三个不同的点,∴x1,x2,x3互不相等.∵A,B,C三点共线,∴直线AB与AC的斜率相等,即,,整理,得+x1x2++x1x3+,即(x2-x3)(x1+x2+x3)=0. ∵x2≠x3,∴x1+x2+x3=0. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$