6.5 正态分布(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§5　正态分布 【学习目标】 　　1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量. 　　2.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 　　3.了解正态分布的均值、方差及其含义. ◆ 知识点一　连续型随机变量与正态分布 1.连续型随机变量 现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0.将区间无限细分,最终得到一条曲线,这条曲线称为随机变量的分布密度曲线,这条曲线对应的函数称为随机变量的分布密度函数,记为f(x).人们把具有分布密度函数的随机变量称为　　　　　　　　　.   2.正态分布及正态曲线的定义 由误差引起的连续型随机变量X的分布密度函数解析式为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布,对应的图象为　　　　　　　　,简称为　　　　.　  若连续型随机变量X的分布密度函数为φμ,σ(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2). 3.正态分布的几何意义 如果一个随机变量X服从正态分布,那么对于任何实数a,b(a<b),随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值,如图. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)正态曲线可以关于y轴对称. (　 ) (2)正态分布是由参数μ和σ唯一决定的. (　 ) (3)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.(　 ) ◆ 知识点二　正态分布的特点 1.正态分布密度函数φμ,σ(x)=,x∈R,μ∈R,σ>0的图象有以下特点: (1)曲线在x轴的　　　　,与x轴不相交;   (2)曲线是单峰的,关于直线　　　　对称;   (3)曲线的最高点位于　　　　处;   (4)曲线与x轴之间的面积为　　　　;   (5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿　　　　平移(如图①);   图① 图② (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越　　　　,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越　　　　(如图②);  (7)当x<μ时,曲线上升,当x>μ时,曲线下降,当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线. 2.正态分布的均值与方差 若X~N(μ,σ2),则EX=　　　,DX=　　　.  注:参数μ反映了正态分布的集中位置,σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 3.3σ原则 服从正态分布的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率: P(μ-σ<X≤μ+σ)≈　　　　,   P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈　　　　,   P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈　　　　.   通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取　　　　　　之间的值,并称之为3σ原则.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)正态分布密度函数中参数μ,σ2的意义分别是随机变量的均值与方差. (　 ) (2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的. (　 ) (3)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随机变量X在长度为3σ的区间之外取值是一个小概率事件. (　 ) ◆ 探究点一　正态曲线及其性质 例1 已知三个正态分布密度函数φi(x)=·(x∈R,σi>0,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ3 C.μ1=μ2 D.σ2<σ3 变式 [2024·浙江宁波九校联考] 已知随机变量X~N(μ1,),Y~N(μ2,),它们的正态分布密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是 (　 ) A.μ1<μ2,< B.μ1<μ2,> C.μ1>μ2,< D.μ1>μ2,> [素养小结] 利用正态曲线的特点求参数μ,σ的一般方法: (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. (2)正态分布密度函数在x=μ处取得最大值,由此性质结合图象可求σ. (3)由曲线的“胖瘦”区分σ的大小. ◆ 探究点二　利用正态分布的解析式求均值和标准差 例2 已知正态分布密度曲线对应的函数关系式是φ(x)=(σ>0).设有一正态总体,它的正态分布密度曲线是函数φ(x)的图象,且φ(x)=(x∈R),则这个正态总体的均值与方差分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.10与4 B.10与2 C.10与8 D.2与10 变式 已知随机变量X~N(μ,σ2),且其分布密度函数f(x)=在x=处取得最大值,则μ=　　　　,σ=　　　　.  [素养小结] 求标准差与均值,需理解正态分布密度函数解析式中的参数μ,σ的意义,并注意正态曲线的特点. ◆ 探究点三　利用正态分布求概率 例3 设X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3); (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5). 变式 (1)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)= (　 ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 (2)[2024·江苏南通高二期末] 若随机变量X~N(2,σ2),且P(X≤0)=0.2,则P(X≤4)= (　 ) A.0.2 B. 0.4 C.0.6 D.0.8 [素养小结] 服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. (2)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X>μ+a); ③若b<μ,则P(X<b)=. (3)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (4)求解与正态分布有关的问题时,可画出分布密度函数的图象,结合图象解答. ◆ 探究点四　正态分布的实际应用 例4 某批袋装食盐的标准质量为400 g,规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格.假设误差服从正态分布,随机抽取100袋这种食盐,计算得误差的样本均值为0,样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率. 变式1 某冰上项目组计划招收一批10~15岁的青少年参加集训,共有20 000名青少年报名参加测试,其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60,σ2),成绩在90分及以上者可以进入集训队,已知成绩在80分及以上的人数为455,请你通过以上信息,推断进入集训队的人数约为 (　 ) A.18 B.22 C.27 D.30 变式2 某市高二年级某次考试的物理成绩近似服从正态分布N(60,100),规定:分数高于80分为优秀. (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例; (2)若该市有40 000名高二年级的学生,估计全市物理成绩在[50,80]内的学生人数. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 学科网（北京）股份有限公司 $ §5　正态分布 【课前预习】 知识点一 1.连续型随机变量 2.正态分布密度曲线　正态曲线 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√ 知识点二 1.(1)上方　(2)x=μ　(3)x=μ　(4)1　(5)x轴　(6)集中　分散 2.μ　σ2　3.0.682 7　0.954 5　0.997 3　(μ-3σ,μ+3σ] 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)× 【课中探究】 探究点一 例1　D　[解析] ∵正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,曲线越靠右,∴μ1<μ2=μ3,故B,C错误;∵σ越小,总体的分布越集中,曲线越瘦长,∴σ1=σ2<σ3,故A错误,D正确.故选D. 变式　B　[解析] 由图可得随机变量X的均值比随机变量Y的均值小,且随机变量X的分布比随机变量Y的分布更加分散,则μ1<μ2,>.故选B. 探究点二 例2　A　[解析] ∵φ(x)==,∴均值μ=10,标准差σ=2,∴方差σ2=4,故选A. 变式　　　[解析] 因为函数f(x)=在x=处取得最大值,所以μ=,σ=. 探究点三 例3　解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7. (2)因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1),所以 P(3<X≤5)=[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)]=[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)]=[P(μ-2σ≤X≤μ+ 2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. (3)P(X≥5)=P(X≤-3)=[1-P(-3<X<5)]=[1-P(1-4<X<1+4)]=[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75. 变式　(1)C　(2)D　[解析] (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,又P(X<4)=0.8,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,∴P(0<X<4)=0.6,∴P(0<X<2)=0.3. (2)因为P(X≤0)=0.2,所以P(X>0)=1-P(X≤0)=1-0.2=0.8,因为该正态曲线关于直线x=2对称,所以P(X≤4)=P(X>0)=0.8.故选D. 探究点四 例4　解:由题意,可设误差为X g,则X~N(0,4),可得P(|X|≤4)=P(-4≤X≤4)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,故估计这批袋装食盐的合格率约为95.45%. 变式1　C　[解析] 由成绩在80分及以上的人数为455,可得成绩在80分及以上的占比为×100%,则成绩在40分到80分的占比为×100%=0.954 5×100%=95.45%,又由题可得μ=60,所以σ=10,所以P(40≤X≤80)=0.954 5,P(30≤X≤90)≈0.997 3,可得P(80≤X≤90)≈×(0.997 3-0.954 5)=0.021 4,所以P(X≥90)≈0.022 75-0.021 4=0.001 35,则进入集训队的人数约为20 000×0.001 35=27.故选C. 变式2　解:(1)设学生的物理成绩为随机变量X, 则X~N(60,100),所以μ=60,σ=10, 所以P(40≤X≤80)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, 则P(X>80)=≈0.022 75,所以估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例约为2.275%. (2)由题意得P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, 即P(50≤X≤70)≈0.682 7,P(40≤X≤80)≈0.954 5, 所以P(50≤X≤60)=P(50≤X≤70)≈×0.682 7=0.341 35,P(60≤X≤80)=P(40≤X≤80)≈×0.954 5=0.477 25,所以P(50≤X≤80)=P(50≤X≤60)+P(60≤X≤80)≈0.341 35+0.477 25=0.818 6. 又40 000×0.818 6=32 744, 所以估计全市物理成绩在[50,80]内的学生人数为32 744. 学科网（北京）股份有限公司 $