第6章 1 随机事件的条件概率-【重难点手册】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

答案D 误区】忽略直线斜率不存在的情况 易错探因解本题时易由直线PA的斜率=号，直线 易错题1（错误率32%）求经过A(m,3),B(1,2)两点的 直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。 PB的斜率km=一号，得直线1的斜率上的取值范围 正解当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的 倾斜角a=90, 是[一号，号]，事实上，在直线1的允许活动范周内， 当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率k=3号 直线1的倾斜角连续变化时，直线斜率的变化并不 定连续，当直线1垂直于x轴（直线1的倾斜角为90°） 品 时，直线1的斜率不存在.出错的原因是忽略了直线斜 当m>1时，=m己>0，所以直线的倾斜角口的取值 率的变化与倾斜角变化的关系，忽略了直线倾斜角为 90时直线无斜率， 范围是0°<a<90°： 当时，=一<0，所以直线的颜斜角。的取值 误区3忽略直线方程成立的条件 易错题3（错误率29%）求过点M(m,0)和点N(2,1)的 范围是90°<a<180. 直线方程， 易错探因利用斜率公式求直线的斜率的条件是“≠ 正解当m=2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的 x”解本题时易忽略m=1,即斜率不存在的情况 斜率不存在，直线方程为x=2: 误区2忽略直线斜率变化与倾斜角变化的关系 当m≠2时，直线的斜率为k=0-号=一L m-2m-2 易错题2（错误率37%）(2024·武汉一中月考)已知点 又直线过点V(2,1), A(2.1),B(-2,2,若直线1过点P(-青，-吉)，且 所以直线的点斜式方程为y一1=一 m-2(x-2),即 与线段AB有交点，则直线（的斜率k的取值范围是 x十(m一2)y-m=0. (. 综上，当m=2时，所求的直线方程为x=2: A[-号] 当m≠2时，所求的直线方程为x十(m一2)y一m=0. 易错探因解本题时容易忽略m一2=0即m=2的情 B[-4oU(o,号) 形，此时直线的斜率不存在 c(-,-号)U[1,+∞ 误区4求直线方程时忽略斜率不存在的情况 n(-o,-]U[号，+） 易错题4（错误率27%）已知直线1过点A(1,2),且原 正解如图，当直线1由位置PA绕 点到直线1的距离为1，求直线1的方程. 点P转动到位置PB时，1的斜率 正解当直线1过点A(1,2)且斜率不存在时，直线1的 为正值并逐渐变大直至1垂直于 1012 方程为x=1,原点到直线1的距离为1，满足题意： x轴，当直线1垂直于x轴时，l无 当直线1过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线1 斜率，继续转动，斜率变为负值并逐渐变大直至到达 的方程为y一2=k(x一1)，即kx-y一k+2=0, PB位置，易求得直线PA的斜率m=号，直线PB的斜 因为原点到直线1的距离为1， 率6=一号，则直线1的斜率长的取值范围是 所以一生2=1，解得大=是 2+I (-,-g]u[g+） 所以直线1的方程为y一2=是一1少， 即3x-4y十5=0. 所以，当m=1或m=一3时，原方程表示的图形是一 综上所述，直线1的方程为x=1或3x一4y+5=0. 个圆。 易错探因符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率 导致上述错解的原因为形如A十Bv+F=0的方程 不存在的情况，从而只得到一条直线3x一4y十5=0. 表示圆的条件是A=B≠0，且片<0， 误区5对距离公式理解不透彻 误区7对圆心的位置考虑不全面 易错题5（错误率25%）(2024·大同一中单元检测)求 易错题7（错误率31%）已知某圆圆心在x轴上，半径 两平行线l1:3x十4y十2=0和4：6x十8y-4=0之间 为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 的距离 正解l:6.x十8y一4=0可化为3x十4y一2=0，根据两 正解方法一如图，由题设知AC=r=5,AB=8, 所以AO=4. 平行直线间的距离公式可得4=2-（一2)=4 √3+4平 5 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 4=12-（-401-6 3十4平 5 导致上述错解的原因为两平行线4，中r,y的系数 不对应相等，不符合两平行直线间距离公式的使用 在R△4AC中，C|=￥AC-AOP=√5-=3 设点C的坐标为(a,0),则1OC1=a=3,所以a=士3. 条件 所以所求圆的标准方程为(x十3)十y2=25或(.x一3)2+ 误区6。对方程表示圆的条件认识不深刻 y2=25. 易错题6（错误率26%）(2024·黄冈中学单元检测)若 方法二由题意设所求圆的标准方程为(x一“)2十 关于x,y的方程(2m2十m一1)x2十(m2一m十2)y2十 y=25. 因为圆截y轴所得的线段长为8， 十2=0表示的图形是一个圆，求实数m的值 正解欲使方程Ax+By+F=0表示一个圆， 所以圆过点(0,4)，(0，一4). 只要A=B≠0，且片<0 代入方程得a2+16=25,所以a=士3. 所以所求圆的标准方程为(x十3)2十y2=25或(x一3)2+ 由22十一1=2一m十2.得r十2一3=0. y=25. 所以n=一3或m=L 易错探因由题意可得COC=3,点C在x轴上，则点C ①当m=1时，方程为2+2y+3=0,号>0，不符合 可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只 考虑了在x轴正半轴上的情况， 题意，舍去。 ②当m=-3时，方程为14x2+14y=1,即x2+y2 误区8求切线方程时忽略斜率不存在的情况 表示以原点为圆心，以平为半径的圆。 1 易错题8（错误率32%）过点P(6,一8)与圆C:x+ 故n=-3. y2一2x一4y一20=0相切的直线方程为 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 正解：圆的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=25， 形如Ax十By2十F=0的方程表示一个圆， ∴.圆心的坐标为C(1,2),半径r=5. 只要A=B≠0， 易知点P(6,一8)在圆C的外部，显然直线x=6是其 所以2m+m一1=一m十2.即2+2m一3=0， 中一条切线。 解得=1，t2=一3. 设另一条切线的斜率为k,则另一条切线的方程为y十 2 8=k(x一6)，即kx一y一6k-8=0 .圆C的圆心为C(2,1),半径r=3. 由圆心到切线的距离等于半径，得一2一6-8=5， 由两圆相切，得引CA=7, VP+1 ∴.(a-2)2十(4-1)2=7，解得u=2士2√/10， 解得发=一是 ∴.所求圆的方程为(x一2-2√/10)2十(y-4)2=16或 “切线的方程为-是x一y一6×(-子）一-8=0， (x-2+2/10)2+(y-4)2=16. 导致上述错解的原因为只考虑了圆心在直线y=0上 即3.x+4y+14=0. 方的情况，而漏掉了圆心在直线y=0下方的情况另 综上可知，切线的方程为x=6和3.x十4y十14=0. 外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的 答案x=6和3z十4y十14=0. 易错探因过圆外一点作圆的切线有两条，解本题时容 误区10忽略椭圆标准方程的限制条件 易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即 忽略切线x=6,从而造成漏解。 易错题10 《错溪奉25%)若方限千十兰与=1表示 误区9对两圆的位置关系考虑不全面 椭圆，则实数k的取值范围为 7-k>0, 易错题9（错误率30%）(2024·黄石二中月考)求半径 正解由题意可知k一5>0， 解得5<k<7且k≠6. 为4，与圆C:x十y-4x一2y一4=0相切，且和直线 7-k去k5: y=0相切的圆的方程。 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 正解设所求圆的方程为(x一a)十(y一b)=广(r>0), 答案(5.6)U(6,7). 圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径为4，故圆 易错探因本题在正解中画被浪线处容易出错，其原因是 心为A(a,4)或A(a,-4.又：圆C的圆心为C(2,1), 忽略椭圆标准方程的限制条件，而得到错误答案(5,7). 半径r=3,若两圆相切，则1CA=4十3=7或1CA= 4一3=1.作分类讨论： 误区11忽略对椭圆焦点位置的讨论 当取A(a,4)时，(a一2)2+(4-1)2=7或(a-2)F+ (4一1)2=1（无解），a=2士2√10，此时所求圆的 易错题1Ⅱ（错送率30%）已知幅圆的标准方程为云十 方程为(x-2-2、10)2+(y-4)2=16或(x-2+ y =1(m>0),并且焦距为6，则实数的值为 m 2、10)2+(y-4)=16: 当取A(a,-4)时，(a-2)2十（一4-1）=7产或(a一 正解"，2=6，∴.c=3. 2)2十（一4-1）2=12（无解），∴，a=2±2/6，此时所 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知2= 求圆的方程为(x-2-26)2十(y十4)2=16或(x 25,=m2,a=6+c2,得25=m2+9,.m2=16. 2+26)2+(y+4)2=16. 又m>0,故m=4. 综上所述，所求圆园的方程为(.x一2-210)2+(y一4)2=16 当椭圆的惩点在y轴上时，由椭圆的标准方程知= m2,=25,a2=+2,得m2=25+9=34. 或(x-2+2/10)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+ 4)2=16或(x-2+2√6)2+(y+4)=16. 又m>0,故m=34. 易错探因求解本题时易出现如下的错解： 综上，实数m的值为4或3. 由题知，所求圆的圆心为A(a,4),半径为4， 答案4或√34. 故可设所求圆的方程为(x一a)2+(y一4)2=4， 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，其原因 由圆C的方程配方，得(x一2)2+(y一1)2=3， 是想当然地认为焦点在x轴上而漏掉一解。 A.双曲线和一条直线 误区12忽略椭圆的焦点位置 B.双曲线和一条射线 易错题2（错误率3)若精圆千。+苦 C双曲线的一支和一条直线 9 =1的离心 D,双曲线的一支和一条射线 率e= 2,求k的值 正解依题意得|FF=10,当a=3时，2a=6<FF,, 正解①若焦点在x轴上，即当k十8>9时，：2=k十8， 故点P的轨迹为双曲线：当a=5时，2a=10=FF|, =9. 故点P的轨迹为一条射线.又|PF-PF:|=2a>0, ,,点P的轨迹为双曲线的右支和一一条射线。 ,一，听以e一2一2一—1 ak+84 答案D 解得k=4 易错探因本题易忽略双曲线定义中的限制条件“差的 ②若焦点在y轴上，即当0<k十8<9时，a°=9，：= 绝对值” k+8, 义因为e=,所以= ==1k=1 误区15忽略双曲线的焦点位置 a 9 解得k=一子 易错题15（错误来30%0）若方程2加十m1表 综上可知6=4或女=一马 示双曲线，则实数m的取值范围为 12一m>0, (2-m<0. 易错探因错解中忽略了椭圆的焦点位置的不确定性， 正解依题意有 或 m一301m-3>0, 应分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论 解得一32或m>3. 误区13忽略隐含条件 所以实数m的取值范围是（一3,2）U(3,十∞). 答案(-3,2)U(3,+∞). 易错题13（错误率30%）若直线y=kx十1(k∈R)与椭 易错探因本题易出错的地方是只考虑了双曲线的焦点 圆号+二-1恒有公共点，求实数m的取值范围。 在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况，从而得 到错误答案（一3,2）. 正解因为y=kx十1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在 椭圆号+片-1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共 误区16忽略对焦点所在轴的讨论 点，所以上<1，即m≥1 易错题16（错误率35%）已知双曲线的渐近线方程为 当m=5时，专+兰-1不是椭圆，它是以原点为园 3,焦距为2、26，求双曲线的标准方程. m 正解当双曲线的焦点在x轴上时， 心，半径为5的圆，因此，m的取值范围为[1,5)U 42=18 (5,十02). 解得 2=a2+6=26, 6=8, 易错探因本题易出现错解的原因是容易忽视m≠5这 个隐含条件 y 所以所求双曲线的标准方程为8一8=1： 误区14忽略双曲线定义中的限制条件 g=2 当双曲线的焦点在y轴上时，由 3 易错题14（错误率29%）已知F(-5,0),F2(5,0),动 c2=a2+=26. 点P满足PF|-PF|=2a,当a为3和5时，点P :=18, 解得 的轨迹分别是(). =8, 所以所求双曲线的标准方程为兰一。 818=1 放所求双曲线的标准方程为后一。-1政 8181. 平行，直线与双曲线只有一个公共点： 若4一≠0，则△=(2k一2k)”一4(4一2)（一k2+ 易错探因本题易误认为焦点一定在x轴上，而稀掉焦 点在y轴上的情况 2次-5=0：解得k=号· 误区17忽略抛物线中定点和定直线间的关系 综上可得，直线1的斜率k的取值为号或士2 易错探因注意直线与双曲线只有一个公共点分为两种 易错题17（错误率32%）若动点P到定点F(1,1)的距 情况： 离与它到直线：3x十y一4=0的距离相等，则动点P (1)将直线方程代人双曲线方程后得到一个关于x(或 的轨迹是(). y)的一元二次方程，利用△=0可判断直线与双曲线只 A.椭圆B.双曲线 C.抛物线 D.直线 正解设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得 有一个交点。 (2)当直线平行于双曲线的渐近线时，也可判断直线与 -10+(0y-1=3x+y-4 ,整理得x一3y十 110 双曲线仅有一个交点 2=0.所以动点P的轨迹为直线。 第二种情况特别容易被忽略，应值得注意， 答案D 误区20忽略直线与抛物线的交点个数的条件 易错探因在抛物线的定义中，易忽略定点和定直线间 的关系.定点一定是定直线外一点，若定点在定直线 易错题20（错误率39%）已知抛物线C:y=2p.x(p> 上，轨迹不再是抛物线，而是一条直线. 0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程. 误区18忽略抛物线标准方程的特征 (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线/，使得 易错题18（错误率28%）若抛物线y=a.x的准线方程 直线/与抛物线C有公共点，且直线OA与直线/的距 是y=2,则a的值是 离等于号？若存在，求直线1的方程：若不存在，请说 正解把抛物线方程y=a2化为标准形式得r2=】 u w. 明理由， 所以一-2a=- 1 正解(1)将(1，一2)代入y2=2p.x,得（一2）2=2p·1, 8 所以p=2. 答案 8· 故所求的抛物线方程为yY=4,其准线方程为x=一1. 易错探因受二次函数的影响，误以为y=ax就是抛物线 (2)假设存在符合题意的直线1，其方程为y=一2x十t, 的标准方程，从而得到一冬=2，即a=一8的错误结论。 3y2=4xr, 由 得y2+2y-21=0. y=-2.x+t, 误区19遗漏直线与双曲线有一个公共点的特 因为直线1与抛物线C有公共点， 殊情况 所以4=4什8>0.解得>一之 易错题19（错误率29%）已知过点P(1,1)的直线L与 双曲线x一兰=1只有一个公共点，试探究直线1的 由直线0A与直线（的E高等于停可得片-停，所 5 4 斜率k的取值， =士1.由于-1e[-之+小.1e[-+) 正解设直线1的斜率为k,则：y=(.x一1)十1，代人双 所以符合题意的直线1存在，其方程为y=一2x十1 曲线的方程得(4一k).x2一(2k-2k).x一十2k一5=0. 易错探因本题易错的地方是解出1的值后忽略了对： 若4一=0，即k=±2，此时直线与双曲线的渐近线 是否满足直线与抛物线有交点的验证 S 2×62×cs60°=144. 误区21错把向量比直线 .CD=12. 易错题21（错误率31%）（多选题）下列命题是真命题 易错探因本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向 的是( 量夹角的概念，而误认为CA,BD)=120°，从而得到错 A.若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是共线 误答案62. 向量 误区23混淆“向量平行”和“向量共向” B若A.B.C,D不在一条直线上，则AB与C方不是共 线向量 易错题23（错误率28%）已知向量a=(1,2,3),b=(x C向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在 x2+y-2,y),且a,b同向，求x,y的值. 一条直线上 正解 由题意知a/B,则兰-中2=音可得 2 D.向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必在 条直线上 y=3.x①. 正解A为真命题，A,B,C,D在一条直线上，向量AB, +y-2=2x②， CD的方向相同或相反，因此AB与CD是共线向量：B 把①代入②得x2+x-2=0,解得x=一2或：x=1. 当x=一2时y=一6：当x=1时，y=3 为假命题，A,B,C,D不在一条直线上，则AB.CD的方 x=一2， 向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量：C为假 当 时，b=(-2,-4,-6)=-2a.向量a与b y=-6 命题，因为AB.CD两个向量所在的直线可能没有公共 反向，不符合题意，故舍去： 点，所以四点不一定在一条直线上：D为真命题，因为 AB,AC两个向量所在的直线有公共点A,且AB与AC 当/， 时，b=(1,2,3)=a,向量a与b同向，符合题意 y=3 是共线向量，所以三点共线。 故xy的值分别为1,3. 答案AD 易错探因本题易错的地方是将“向量共向”误认为“向 易错探因本题易混淆向量与直线这两个概念，从而误 量平行”，得到错解：x,y的值分别为一2，一6或1,3. 认为B,C也是其命题 事实上，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要 误区22向量的夹角与空间角混淆不清 条件，上述错解扩大了范围 易错题22（错误率29%）如图所示，在平面角为120°的 误区24建立的空间直角坐标系不正确 二面角rABB中，ACCa,BDCB,且AC⊥AB,BD⊥ 易错题24（错误率31%）在四棱锥O-ABCD中，底面 AB,垂足分别为点A,B.已知AC=AB=BD=6,求线 段CD的长。 ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=年，OA⊥底面 ABCD,OA=2.M为OA的中点，求异面直线AB与 MD所成角的大小. 正解作AP⊥CD于点P,如图所示，分别以AB,AP, AO所在直线为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系， 正解AC⊥AB,BD⊥AB, ..CA.AB=0.BD.AB=0. ,二面角aAB3的平面角为120°， .(CA,BD》=180°-120°=60 CD=C市=(Ci+AB+Bd)=C+A店+ BD:+2CA.AB+2CA.BD+2BD.AB=3X6+ 6 则A0.0,0).B1,0.0).M0,01,D(-号号.0 B-2 答案 a++c./+e 所以AB=(1,0,0), 易错探因本题易错的地方是求出cOs(BD,B,C)= 而-（号停-小 云++？·+元后，误认为异面直线BD,和 2-c2 所以cos(A店，M市= AB.MD 1 2 BC所成角的余弦值为 62-2 ABIMD a++c.√+元 出错的原因有两个：(1)忽略异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与MD所成角的大小为， (0,受]，其余弦值为非负数：(2)误把两个向量BD和 易错探因本题易错的地方是误以AB,AD,AO所在的 直线分别为x轴y轴，之轴建立空间直角坐标系，从而 B,C的夹角看作异面直线BD,和B,C所成的角， 得出错误答案.事实上，这里AB与AD不垂直. 误区26混淆二面角与面面角的大小 误区25忽略异面直线所成角与向量夹角的关系 易错题26（错误率28%）已知四边形ABCD为矩形， 易错题25（错误率30%）在长方体ABCD-A:B,CD PA⊥平面ABCD.设PA=AB=a,BC=2a,求二而角 中，AB=a,BC=b,AA1=c,则异面直线BD,和B1C BPCD的余弦值 所成角的余弦值为 正解建立如图所示的空间直角坐标系Ax,则B(a,0, 正解以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 0),C(a.2a,0),P0,0,a),D0,2a,0),BC=(0,2a,0) 标系，则B(b,a,0),D(0,0,c),B(h,a,c),C(0,a,0), Bi-(-a,0.a),Ci-(-a,0.0),Pi=(0,2a,-a. 则BD=(-h,-a,c),BC=(-b,0,-c) 从而cos(BD,BC= BD·BC IBD B.CI -2 设平面PBC,平面PCD的法向量分别为 a++2·+正 1=(1,为，)，n=(22+边） m·BC=0,m·CD=0. 则有 和 m·驴=0·P币=0， 2ay=0. -ax2=0, 即〈 和 对上式进行以下讨论： 【-a,x1十az1=0 (2ay-a2=0. ①当<b时，cs(BD,BC)>O,这时(BD,BC)是锐 令=1.可得平面PBC的一个法向量m1=(1,0,1), 角，则BD,BC即异面直线BD和BC所成的角： 令为-1，可得平面PCD的一个法向量n:=(0,1.2), ②当>b时，os(BD,BC)<0,这时〈BD,BC)是 所以m一造 5 钝角，则BD,BC)的补角x一(BD,B,C)即异面直 观察图形知二面角B-PCD为钝角，所以二面角 线BD,和B,C所成的角： ③当c=b时，cos(BD,BC)=0,这时(BD,BC BPCD的余弦值为-一 9o°，则(BD,BC)即异面直线BD,和BC所成的角. 易错探因本题在正解中画波浪线处容易出错，求出 综上，异面直线BD和BC所成角的余弦值为 cos (m,n:)= 风调=严后，误认为所要求的余 nn2 8-c2 、a2++e·√+ 弦值即为，其原因是混消了二面角与两个平面的 7 法向量所成角的关系，从而得出错误的答案 10种安装方法，所以有20种不同的安装方法：若恰有 1种颜色相邻，则有2×6=12种不同的安装方法.综 误区27计数时出现“遗漏”或“重复” 上，共有3×(6+20+12)=114种不同的安装方法. 易错题27（错误率31%）(2024·天津新华中学检测) 答案114. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的 从颜色考虑.从3种颜色中任选1种颜色，最多安装 各1人，有种不同的选法 3盏，最少安装2盏，分类讨论.不妨就选安装2盏红 正解共分三类：第一类，当选出的会英语的人既会英语 灯、2盏黄灯、3盏蓝灯（这里有3种选法）来讨论.先排 又会日语时，选会日语的人有2种选法：第二类，当选 3盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把2盏红灯插进 出的会日语的人既会英语又会日语时，选会英语的人 去，再把2盏黄灯插进去，有A好A是=240种插空方式 有6种选法；第三类，当既会英语又会日语的人不参与 所以共有240×3=720种不同的安装方式. 选择时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人， 导致上述错解的原因如下： 有2×6=12种选法.故共有2+6十12=20种选法. 错把同色的路灯看成了可以区分的元素，但同色路灯 答案20. 是相同元素，相同元素在排列中是不考虑顺序的。 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 误区29忽略排列的有序性 共分两步完成，选出会英语和日语的各1人.第一步， 选出会英语的，有7种方法：第二步，选出会日语的，有 易错题29（错璞率30%）(2024·中山一中单元测试) 3种方法.故共有7×3=21种不同的方法， 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前 导致上述错解的原因如下： 排，丙在后排，则共有 种排法， 忽视了既会英语又会日语的多面手，当从7个会英语 正解先排甲，乙，有A种排法，再排丙，有A种排法， 的人中选出的1人既会英语又会日语时，选会日语的 其余5人有A种排法，故共有AAA=5760种 人时，只有2种选法了.这是因分类不清造成“重复” 排法。 答案5760. 误区28不能正确区分有顺序与无顺序问题 易错探因求解本题时容易出现下面两种错解： 易错题28（错误率32%）(2024·宜昌一中测试)为亮 错解一甲，乙两人在前排，前排还少2人，有A种排 化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色 法：丙在后排，其余3人有A种排法，故共有AA 路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共3种颜色，在安装时 120种排法. 要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯 错解二甲，乙两人在前排，有A好种排法，从余下 至少婴有2盏，那么有种不同的安装方法 5人（不含丙）中选2人排在前排，有A种排法：其余 正解安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种 4人（含丙）在后排，有A:种排法，故共有A5AA 颜色的路灯至少要有2盏，这说明3种颜色的路灯的 960种排法. 分配情况只能是2,2,3盏的形式.先讨论颜色，在选择 导致上述两种错解的原因如下： 颜色时有3种方法，选好了1种颜色后，安装时采用插 甲、乙两人在前排，但甲、乙的位置不能确定，需对甲、 空的方式.下面不妨就选安装2盏红灯、2盏黄灯，3盏 乙两人的位置进行排列.同样地，丙在后排，丙的位置 蓝灯来讨论.先排2盏红灯，2盏黄灯，若2盏红灯、 也不能确定，后排4人的位置需进行排列： 2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排 误区30分类不当导致重复 法，共有6种不同的安装方法：若2盏红灯，2盏黄灯分 别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有 易错题30（错误率35%）(2024·珠海一中月考)在 8 11名工人中，有5人只当钳工，4人只当车工，另外2人 从A1,A,A三点中任取两个点，在B,B,B,B,B 既可当钳工，又可当车工.现从11人中选出4人当钳 五点中任取一个点，有CC个不同的平面.由分类加 工，4人当车工，则共有 种不同的选法。 法计数原理，有CCg十CC=45个不同的平面， 正解讨论既会钳工又会车工的2人的工种，可以分成 上述解法的错误在于分类重复，因为在4上任取两点 六类： 与在2上任取一点确定的平面，实际上就是直线4分 (1)这2人只当钳工，有CCC=10种选法： 别与B,B,B,B,B确定的平面，这样的平面共有 (2)这2人只当车工，有CCC=30种选法： 5个：同理，在上任取两点与在上任取一点确定的 (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有CCC野 平面，就是直线分别与A,A:,A确定的平面，这样 80种选法： 的平面共有3个，所以这八个点可以确定8个不同的 (4)当不分配这2人时，有CC=5种选法： 平面。 (5)这2人只选一人当钳工，另一人不选， 误区32混淆二项展开式项的系数与二项式系数 有CCC=20种选法： (6)这2人只选一人当车工，另一人不选， 易错题32（错误率28%）设(x一2)展开式中第二项 有CCC=40种选法。 与第四项的系数之比为1：2，则含x的项为 所以共有10十30十80+5+20十40=185种不同的选法. 答案185. 正解(x一2)”展开式中第二项与第四项分别为T:= 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： Cx-1(-2)=-2n-l,T=Cx-3(-√2)= 讨论既可当钳工又可当车工的2人的工种，可以分成 -22Cx-. 三类： (1)这2人只当钳工，有CC种选法： 根粥题意得到2亮一子，能理得行一3一0，解 (2)这2人只当车工，有CC种选法： 得n=4或n=一1（没有意义，舍去）. (3)这2人中一人当钳工，另一人当车工，有(CC)A号 设(x一2)1展开式中含x的项为第r十1项，则 种选法，所以共有CC+CC+(CC)A=260种不 同的选法 T,+=Cx(-2)'(r=0.1.2.3.4). 导致上述错解的原因如下： 根据题意有4一r=2.解得r=2,所以(x一2)展开式 (1)与(2)重复，若(1)中的C可以不选这2人，则与 中含x的项为T=C肾x2(一√2)=12x2. (2)中的C就重复了：(2)与(3)，(1)与(3)都重复. 答案12x 易错探因第二项的系数为C,第四项的系数为C.根 误区31分类重复 易错题31（错误率34%）(2024·贵阳一中检测)已知 架题意得到哈-子·将二项展开式的某项的系数与三 项展开式的二项式系数弄混了，这是同学们解题时经 l,是两条异面直线，在上有A,A,A三点，在 常犯的错误。 上有B,B,B,B,B五点，则这八个点可以确定 个不同的平面， 误区33对二项式通项理解不透彻 正解共有5+3=8个平面. 答案8. 易错题33（错误率29%）若x=2,则(1+x)0的展开 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 式中的第儿项的系数最大？ 分成两类，第一类：从A1,AA三点中任取一个点， 正解设展开式的第r+1项的系数最大，则有 在B,B,B,B,B五点中任取两个点，根据不共线 C(2)≥C(2), 的三点确定一个平面，有CC个不同的平面.第二类： C(2)≥C洁1(2)+1， 9 解得101-512≤r≤102-512. 产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列 又r∈N4,故r=29. 满足概率和为1，而忽略了0≤≤1(i=1,2). 即(1十x)的展开式中的第30项的系数最大 误区36在求随机变量的分布列时出现错误， 易错探因本题在求出=29后，很容易误认为第29项 即所求，其实应该是展开式中的第30项。 导致求错均值 误区34未能正确区分条件概率与积事件的概率 易错题36（错误率37%）(2024·济南调考)学校新购 易错题34（错误率29%）袋中有6个黄色、4个白色的 置了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工 乒乓球（只有颜色不同），不放回抽取，每次任取一球， 作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分 取两次，求第二次才取到黄球的概率。 别为P,P,P,则试验中产生故障的投影仪数量的数 正解设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄 学期望为 球，C表示第二次才取到黄球。 正解设表示产生故障的仪器数，A,(i=1,2.3)表示 则PO=PAB)=高×号-高 第；台仪器出现故障 P(-1)-P(AA A)+P(AAA)+P(A AA) 易错探因求解本题时容易出现如下错解： =P(1-P)(1-P)+P(1-P)(1-P)+P1 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球， P)(1-P)=P1+P+P-2PP-2PP3-2P3P C表示第二次才取到黄球，期八O-B)-号-号 +3P P:Ps. 出现上述错误的原因是不理解P(AB)与P(BA)的含 P(=2)=P(AAA)+P(AA:A)+P(AA2A)= 义，事实上，求P(BA)时表示第一次抽取结果已知： PP:(1-P)+PP(1-P:)+P:P:(1-P)=PP: 抽到白球.而求P(AB)时两次抽取都是随机的， +PP十PP-3PPP, P(=3)=P(AAA）=P(A)P(A)P(A）= 误区35对随机变量分布列的性质认识不够 PP:P. 易错题35（错误率29%）设X是一个离散型随机变量， 所以E()=1×P(=1)十2XP(=2)+3×P(=3) 其分布列为 P+P:+P. X 0 1 答案P十P十P 9a2-a 3-8a 易错探因求解本题时容易出现如下的错解： 则常数a的值为( P(E=1)=P(A)P(A)P(A)=P(1-P)(1-P)= 号 B号 P+PPP-PP-PP. c日或号 n-古成-号 P(=2)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:(1-P)=PP: -PPP 正解由离散型随机变量分布列的性质可得 P(=3)=P(A:)P(A:)P(A)=PP:P, 9a2-a+3-8a=1. 所以E()=P(=1)×1+P(=2)×2+P(=3)× 0≤9a2-a≤1， 解得a=子 3=P+PP:P:-PP:-PiP:+2PP:-2PP:P.+ 10≤3-8a≤1， 3P P:P=P+2P P:P+PP:-P P3. 答案A 导致上述错解的原因是求概率时出现错误，由于3台 易错探因本题易由离散型随机变量分布列的性质得 投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后的结果产生 9d-a十3-a=1,解得a=号或a=号，从而错选C 影响，所以在解题的过程中应进行分类讨论 106 第六章 概率 §1随机事件的条件概率 1.1条件概率的概念 1.2 乘法公式与事件的独立性 1.3全概率公式 重点和难点 课标要求 重点：两个事件相互独立的充要条件 1.能计算简单随机事件的条件概率. 及应用 2.了解条件概率与独立性的关系. 难，点：对条件概率公式、全概率公式的 3.会利用乘法公式计算概率. 理解 4.会利用全概率公式计算概率。 01-必备知识梳理一。 基础梳理 巴划重点 知识点1条件概率 (1)计算条件概率时 1,条件概率的定义 P(AB)表示事件A和B同时 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,则称P(BA) 发生的概率，不能随便用事件 二P为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简 B的概率P(B)代替P(AB). (2)在条件概率的表示 称条件概率 中，“”之后的部分表示条件. 2.从集合角度看条件概率 2 (3)P(AB)和P(BA) 从集合的角度看，若事件A已发生，则为使 A边B 的意义不同，P(AB)表示在 B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中 事件B发生的条件下事件A 的样本点，即此点必属于AB(如图).由于已知A已经发生，故A 发生的概率，而P(BA)是指 成为计算概率P(B引A)的新的样本空间. 在事件A发生的条件下事件 3.条件概率的性质 B发生的概率. 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率 的性质 设P(A)>0,则 (1)P(A)=1. 226 第六章 概率型 (2)条件概率的可加性：若B,C是两个互斥事件，则P(BUCA) =P(BA)+P(CA).其证明如下： 由B,C互斥知事件AB与事件AC也互斥，从而P[A(BU C)]=P(ABUAC)=P(AB)+P(AC). 于是由条件概率的计算公式得P[(BUC)|A] P[A(BUC)]_P(AB)+P(AC)-P(AB)+P(AC)-P(BIA) P(A) P(A) P(A)P(A) +P(CA). (3)设B和B互为对立事件，则P(B引A)=1-P(BA). 4.条件概率与独立性的关系 国敲黑板切 当P(A)>0时，事件A与B相互独立的充要条件是P(B引A) (1)可以用以下两种方法 =P(B). 判断事件A与B是否相互 (1)必要性的证明 独立： 若事件A与B相互独立， ①P(B|A)=P(B): 即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0, ②P(AB)=P(A)P(B). P(BIA)-P(AB)-P()P(B)-P(B). 若①或②成立，则事件A P(A) P(A) 与B互相独立，若①或②不成 (2)充分性的证明 立，则事件A与B不独立， 若P(BA)=P(B),且P(A)>0, (2)当事件A,B互斥时， 则P(B)= P(AB) P(AUB)=P(A)十P(B), P(A) →P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=0: 即事件A与B相互独立， 当事件A,B相互独立时， 5.乘法公式 P(AB)=P(A)P(B).P(BA) ,则有PAB) =P(B),P(A|B)=P(A), (1)由条件概率的定义P(B引A)= P(AUB)=1-P(A B) P(BA)P(A)(其中P(A)>0).① =1-P(A)P(B)=1-[1 同理，P(AB)=P(AB)P(B)(其中P(B)>0).② P(A)][1-P(B)]=P(A)+ 称公式①②为乘法公式，利用他们可以计算两个事件同时发 P(B)-P(AB). 生的概率 (3)乘法公式的推广：设 (2)乘法公式的推广 A,A2,…,A。为任意n个事 件，满足P(AA…A)>0. ①推广到3个事件 则P(AA…A.)=P(A)× 若P(A1A2)>0.则P(A1AA)=P(A1)P(A2A)P(A P(AlA)XP(A|AA)X·X A1A). P(AnA,A:…A-1). ②推广到n个事件 该公式将n个事件同时 若A,(i=1,2,…,n)为随机事件，且P(AA2…A.-1)>0,则 发生的概率分解为单个事件 P(A1A…An)=P(A1)P(A2A)P(A3AA2)…P(AnA1A2… 的条件概率的乘积 Aw-1). 227 更难包手曲高中数学选择性必修第一册S心 知识点2全概率公式和贝叶斯公式 刀提个醒 1.全概率公式 如果我们把B,看成导致 设B,B2,…,Bn为样本空间2的一个划分，若P(B,)>0(i= 事件A发生的各种可能“原 1,2,,,则对任意一个事件A有PA)=∑P(B,)PAB,. 因”，那么，全概率公式告诉我 们：事件A发生的概率恰好是 上述公式称为全概率公式， 事件A在这些“原因”下发生 2.贝叶斯公式 的条件概率的平均 设A,A2,…,A.是一组两两互斥的事件，AUA2U…UA= 2,且P(A)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B二2，P(B)>0,有 P(A:|B)= P(A)P(BA) P(A,)P(B A,) P(B) P(AOP(BIAD i=1,2,…, 上述公式称为贝叶斯公式 重难拓展 确记方法 重难点】条件概率的求法 计算条件概率时，公式 例☐(2024·绵阳中学单元检测)设b和c分别是抛掷一枚 骰子先后两次得到的点数. PN=部只适用子古 (1)求方程x2十bx十c=0有实根的概率： 典概型，公式P(B|A) (2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2十 P(AB)适用于所有条件概率 P(A) bx十c=0有实根的概率. 的计算 解析(1)设该试验的样本空间为2，记“方程x2十b.x十c=0 没有实根”为事件A,“方程x2十bx十c=0有两个相同实根”为事 件B,“方程x2十bx十c=0有两个相异实根”为事件C,则2= (b,c)b,c=1,2,…,6}, A={(b,c)-4c<0,b,c=1,2,…,6} B={(6,c)|b-4c=0,b,c=1,2,…,6} C={(b,c)1-4c>0,b,c=1.2,…,6}. 所以2中的样本，点个数为36，A中的样本点个数为17，B中 的样本点个数为2，C中的样本点个数为17. 又因为B,C是互斥事件， 所以所求概率P=P(B)+P(C)=品+-9 363636 (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D,“方程x2十 br十c=0有实根"为事件E,易得PD)-需，P(DB)-, 所以P(ED)=PCDE=Z P(D)11 228 第六章 概率么 重难点2条件概率的性质及应用 马记方法 例☑在10000张有奖储蓄奖券中，设有1个一等奖，5个二 若事件B和事件C互 等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件 斥，则P((BUC)A)=P(B 下，第二张中二等奖或三等奖的概率， A)+P(CA),即为了求得比 较复杂事件的概率，往往可以 [解析设“第一张中一等奖”为事件A,“第二张中二等奖”为 先把它分解成若干个互斥的 事件B,“第二张中三等奖”为事件C,则P(A)=10OO0:P(AB) 较简单的事件之和，求出这些 简单事件的概率，再利用概率 1 ×5 5 的加法公式即得所求的复杂 10000^999999990000' 事件的概率。 -×10 10 P(AC)=10000×g99999990000 5 所以P(B1A)=P4B)-99990000 -5 P(A) 9999,P(C1A)= 10000 10 国敲黑板 P(AC)_99990000 10 1.如果所求事件的概率 P(A) 1 9999 10000 与前后两个试验有关，且这两 个试验彼此关联，第一个试验 所以P(BUC)1A)=P(BA)+P(CA)=99g9+9999 5 10 的各种结果直接对第二个试 验产生形响，而问第二个试验 出现某结果的概率，这类问题 3333 属于全概率公式的应用问题， 重难点3全概率公式与贝叶斯公式的应用 至于在什么情况下使用贝叶 例3设甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和 斯公式，这就要看问题的提 2个黑球，先从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱中任意 法，如果已知某事件已发生， 要求样本空间中导致该事件 取出两球，试求： 发生的某一事件的概率，应采 (1)从乙箱中取出的两球是白球的概率： 用贝叶斯公式求之 (2)在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的 2.如果事件B能且只能 两球是白球的概率. 在原因A,A,…,A。下发 生，且A1,A2,…,An两两互 解析因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取 斥，A十A2+…十A=2,这 得两白球；取得一黑球和一白球：取得两黑球.分别用A1,A2,A 些原因发生的概率P(A,) 表示，则A1,A2,A1为样本空间的一个完备事件组. (i=1,2,…,n)以及在原因A 发生的条件下事件B发生的 设“从乙箱中取出的两球是白球”为事件B,则有 概率P(BA)都是已知的，或 pa)=8-高PA)=e= 都可求出，则 (1)可使用全概率公式计 PA)8-品PBA)-8-品 算事件B发生的概率。 (2)如果已知事件B发 P(BIA)-P()0. 生，要计算导致结果B发生的 原因A的可能性大小，即事 229 重难⑤手册高中数学选择性必修第一册？S心 (1)由全概率公式得P(B)= ∑PA,)P(B1A)= 件A:的条件概率P(A|B)的 201 大小，可采用贝叶斯公式求之 (②)由贝叶斯公式得P(AB)= P(A)P(BI A)= 显然如果把A:看成是导 P(B) 致事件B发生的原因，那么全 P(A)P(B A)3 概率公式与贝叶斯公式可分 别说成“由因求果”与“执果求 ∑P(A)P(B|A) 因”的概率计算公式 门-02关建能力提升。 题型方法 甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2)， 题型1求随机事件的条件概率 (6D.共2种，所以PBA=是 例①集合E={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人 题型2乘法公式的应用 各从E中任取一个数. (1)若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到 例5(2024·武汉中学单元检测)已知口 奇数的条件下，求： 袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色 ①乙抽到的数比甲抽到的数大的概率； 外完全相同. ②乙抽到偶数的概率. (1)先后两次从中不放回地各摸出一球， (2)若甲先取（放回），乙后取，假设事件 求两次摸到的均为黑球的概率； A:“甲抽到的数大于4”：事件B:“甲、乙抽到 (2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求 的两数之和等于7”，求P(BA). 第三次才摸到黑球的概率. 解析(1)①将甲抽到数字a,乙抽到数字 解析设事件A,表示第i次摸到的是黑球 b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1， (i=1,2,3),则事件A1A2表示两次摸到的均 3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4), 为黑球 (3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5, )由题意知PA)=品PAA)=号 6),共15种.在这15种情形中，乙抽到的数比 根据乘法公式，有P(AA)=P(A1)P(A 甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1， 5),(1,6),(3,4),(3,5),(3.6),(5,6),共9 A)=0X9-5 3×2=1 种，所以所求概率为品一是 所以先后两次从中不放回地各摸出一球 ②在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的 两次摸到的均为黑球的概率为5： 有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6) (2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则 (5,2),(5,4),(5,6),共9种，所以所求概率为 A=A A2 A3. 9=3 15=5 由题意知P(A)=品P(A1A)=日， (2)甲抽到的数大于4的情形有(5,1)， (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6, P(A.IA:A.)= 2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12种，其中 根据乘法公式，有P(A1A2A3)=P(A1)· 230 第六章 概率么型 PA1A,PA1AA,)=品×g×g- 0.80+0.03×0.05=0.0125, 840 即在仓库中随机取一只元件，它是次品的 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球 概率为0.0125. 第三次才携到黑球的概率为 (2)由贝叶斯公式得P(B「A)= 题型3全概率公式与贝叶斯公式的综 P(AB1)P(B)_0.02X0.15=0.24, P(A) 0.0125 合应用 即在取到的元件是次品的条件下，此次品 全概率公式和贝叶斯公式在实际生活中 出自甲工厂的概率是0.24. 的应用是相互联系的，在解决生活中较复杂的 题型4在事件相互独立的情形下求概率 问题时往往需要综合应用两个公式，单纯运用 1.计算相互独立事件同时发生的概率时， 其中一个公式很难解决问题，综合运用两个公 先用字母表示出事件，再分析题中涉及的 式往往能使问题更容易被解决. 事件。 例6(2024·重庆十一中单元测试)某电 (1)简单计算问题：将题中所求事件转化 子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家 为若干个独立事件的交，利用独立事件的性质 元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所 和推广求解。 示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均 (2)复杂计算问题：一般将问题划分为若 匀混合的且无区别标志， 干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 率加法公式和相互独立事件的概率计算公式 甲 0.02 0.15 求解 乙 0.01 0.80 2.求相互独立事件同时发生的概率的 丙 0.03 0.05 步骤： (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次 (1)首先确定各事件之间是相互独立的： 品的概率： (2)确定这些事件可以同时发生： (2)在仓库中随机取一只元件，若已知取 (3)求出每个事件发生的概率，再求其积. 到的是次品，则此次品出自甲工厂的概率是 例⑦(2024·天津耀华中学单元测试)如 多少？ 图，用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统 晖析(1)设事件A表示“取到的是一只次 V1,N.当元件a,b,c都正常工作时，系统N 品”，事件B表示“所取到的产品是由甲工厂 正常工作：当元件a正常工作且元件b,c至少有 提供的”，事件B2表示“所取到的产品是由乙 一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件 工厂提供的”，事件B表示“所取到的产品是 a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90. 由丙工厂提供的”，则P(B1)=0.15,P(B) (1)求系统N正常工作的概率P: 0.80,P(B)=0.05,P(A|B)=0.02,P(A (2)求系统N2正常工作的概率P2. B2)=0.01,P(AB)=0.03,由全概率公式可 (N) 得P(A)=P(A|B)P(B)+P(AB2)· N)- P(B2)+P(AB3)P(B3)=0.02×0.15+0.01× 231 更难食手册高中数学选择性必修第一册S己 解析设事件A表示元件a正常工作，事 0.90×0.90=0.792. 件B表示元件b正常工作，事件C表示元件C 故系统V2正常工作的概率为0.792. 正常工作， 易错警示 (1)依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)· ◆易错题34（错误率29%）袋中有6个 P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648 故系统N,正常工作的概率为0.648. 黄色、4个白色的乒乓球（只有颜色不同），不 (2)依题意知P2=P(A)P(B)P(C)+ 放回抽取，每次任取一球，取两次，求第二次 P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.80× 才取到黄球的概率 0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80× 参考答案见《全书易错题集》第10页 -03-核心泰养墨焦一◆ 考向分类 解析(1)估计该地区这种疾病患者的平 考回1条件概率 均年龄为5×0.001×10十15×0.002×10+ 例⑧(2022·全国新高考Ⅱ卷)在某地区 25×0.012×10+35×0.017×10十45×0.023× 进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾 10+55×0.020×10+65×0.017×10+75× 病忠者的年龄，得到如下的样本数据的频率分 0.006×10+85×0.002×10=47.9. 布直方图： (2)这种疾病患者的年龄位于区间[20,70) 的概率为0.012×10+0.017×10+0.023× ↑频率组距 0.023----- 10+0.020×10+0.017×10=0.12+0.17+ 0.020 0.23+0.2+0.17=0.89. 0.017 0.012 (3)设此人患这种疾病为事件A, 此人年龄位于区间[40,50)为事件B. 0.006 0.002 由题意知P(AB)=0.1%×0.023×10= 0.00 0102030405060708090年龄岁 0.00023. (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄 所以此人年龄在区间[40,50)条件下，此 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)： 人患这种疾病的概率 (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄 P(AB)= P(AB)_0.00023≈0.0014， 位于区间[20,70)的概率： P(B) 16% (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%， 故所求概率约为0.0014. 该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区 命题意图：主要考查频率分布直方图 总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人 命题规律真题探源：概率以及条件概率的计算根据 的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病 教材相关知识命制 的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间 选填题、 难度 ★★ 常考题型 0.45高考热度 的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精 解答题 系数 ★★ 确到0.0001). 核心素养 逻辑推理，数学运算 素养水平水平二 232 第六章 概率么 考向2求独立事件的概率 所以需要进行第五场比赛的概率为1一6 例9(2020·全国I卷)甲、乙、丙三位同 113 学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 1684 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首 (3)丙最终获胜，有两种情况： 先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者 比寒四场结来且丙最终获胜的概率为日： 与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空， 直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场 两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人 开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有 最终获胜，比赛结束。 三种情况，即胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜， 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场 概率分别为店·8·日 比赛双方获胜的概率都为2 因此丙最终获胜的概率为日+6十 8 (1)求甲连胜四场的概率： 1 7 (2)求需要进行第五场比赛的概率： 816 (3)求丙最终获胜的概率， 命题意图：主要考查独立事件概率的求法 点拨](1)先判断甲连胜四场的特征，甲必 命题规律 的综合应用 须前四场全胜，利用独立事件的概率公式，即 真题探源：根据救材PI89A组第8题改编 可求出甲连胜四场的概率； 选填题、 难度 (2)根据赛制知至少需要进行四场比赛， 常考题型 0.45高考热度★★★ 解答题 系数 至多需要进行五场比赛，对需要进行四场比 核心素养 逻辑推理、数学运算 素养水平水平二 赛的可能情形进行分类，再利用独立事件的 概率公式和互斥事件的概率公式，即可求得 其意演练 结果； 1.(2022·天津卷，考向1)52张扑克牌， (3)将丙最终获胜的可能情形进行分类， 没有大小王：无放回地抽取两次，则两次都抽 分别求出各类事件发生的概率，再利用互斥事 到A的概率为 :已知第一次抽到的是 件的概率加法公式，即可求得结果， A,则第二次抽到A的概率为 2.(2019·全国1卷，考向2)11分制乒乓 解物()甲连胜四场的概率为（侵）广=。 球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10 (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获 多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三 胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比 种情况： 赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球 甲连胜四场的概率为。： 时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立 在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打 乙连胜四场的概率为 了X个球该局比赛结束， (1)求P(X=2): 丙上场后连胜三场的概率为 8· (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率。 233 重难包手细高中数学 选择性必修第一册？SD 04学业质量测评。 基础过关练 测试时间：20分钟 则一个验血阳性的人确患此病的概率为 1.[题型1](2024·武汉洪山高中检测)在一次 (结果保留三位小数). 考试中，某班级数学成绩不及格的学生占 6.[题型1、2]现有6个节目准备参加比赛，其 20%,数学成绩和物理成绩都不及格的学 中4个舞蹈节目，2个语言类节目，现从这 生占15%.已知该班某学生数学成绩不及 6个节目中不放回地依次抽取2个节目，求 格，则该学生物理成绩也不及格的概率为 (1)第1次抽到舞蹈节日的概率： ( ) (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节日的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次 A.0.15 B.0.2 C.0.3 D.0.75 抽到舞蹈节目的概率. 2.[题型2]第一个袋中有黑、白球各2只，第二 个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中 任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中 任取一球，则两次均取到白球的概率为 ( A.7 B号 c D分 B 综合提能练 测试时间：30分钟 3.[题型1](2024·海南中学测试)已知3件次 7.[题型1、4](2024·南师大附中检测)若将整 品和2件正品混在一起，现需要通过检测将 个样本空间想象成一个边长为1的正方形， 其区分，每次随机检测一件产品，检测后不 任何事件都对应样本空间的一个子集，且事 放回，则在第一次取出次品的条件下，第二 件发生的概率对应子集的面积，则如图所示 次取出的也是次品的概率是( 的阴影部分的面积表示( A高 B c P(AB 4.[题型4](2024·哈尔滨三中检测)某电视台 的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率 P(AIB) 分别为？，青，寻，只有通过前一关才能进入 A.事件A发生的概率 下一关，且通过每关相互独立.一选手参加 B.事件B发生的概率 该节目，则该选手能进入第四关的概率为 C.事件B不发生的条件下事件A发生的概率 ( D.事件A,B同时发生的概率 A号 B号 c蜡 8.[题型1](2024·温州中学检测)有歌唱道： “江西是个好地方，山清水秀好风光”.现有 5.[题型3]设验血诊断某种疾病的误诊率为 甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准 5%,即若用A表示验血阳性，B表示受验者 备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著 患病，则P(A|B)=P(AB)=5%.若受检 名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩 人群中仅有0.5%患此病，即P(B)=0.005, 记事件A:甲和乙至少一人选择庐山，事件 234 第六章 概率么型 B:甲和乙选择的景点不同，则条件概率 得正品而甲不是正品的概率为合，且每台获 P(BA)=(). A君 B名 c n.9 得正品的概率均大于2，则甲，乙同时生产 9.[题型1、3](2024·太原五中检测)（多选题） 这种零件，至少一台获得正品的概率是 甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙 箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从 13.[题型1]某校从学生文艺部6名成员 甲箱中随机取出一球放人乙箱中，分别以 (4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文 A,A2,A3表示事件由甲箱中取出的是红 艺汇演活动. 球、白球和黑球：再从乙箱中随机取出一球， (1)求男生甲被选中的概率； 以B表示事件由乙箱中取出的球是红球，则 (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙 下列结论正确的是(). 被选中的概率： (3)在要求被选中的两人中必须一男一女 APB)-号 的条件下，求女生乙被选中的概率 BPBA,)=品 C.事件B与事件A,相互独立 D.事件A,A2,A:两两互斥 10.[题型4]（多选题）甲、乙两个质地均匀且完 全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲 14.[题型1、2、3]用一门大炮对某目标进行三 四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面 次独立射击，第一、二、三次的命中率分别 上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个 为0.4,0.5,0.7.若命中此目标一、二、三 四面体一次.记事件A为“两个四面体朝下 弹，该目标被摧毁的概率分别为0.2,0.6， 一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四 0.8,试求此目标被摧毁的概率. 面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为 “乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下 列结论正确的是(). A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(B∩C)=P(A∩C)=P(A∩B) C.P(ANBnC)- C 培优突破练 测试时间：10分钟 15.[题型1、2、3](2024·衡水中学培优训练) D.P(A)P(BP(C)- 假设只考虑天气的两种情况：有雨和无雨. 11.[题型4]事件A,B,C相互独立，若P(AB)= 若已知今天的天气情况，而明天天气保持 合P(C)=8PABC)=8则P(B)= 不变的概率为P,变的概率为1一P.若第一 天无雨，试求第n天也无雨的概率. :P(AB)= 12.[题型4门有甲、乙两台机床生产某种零件， 甲获得正品而乙不是正品的概率为子，乙获 235(2)①油题意知，(1+2x)w+1=1ao|+1a1|x十…+ 学业质量测评 a+1l.z2+1, 1.D2.B3.C4.A 令x=1得，aw|+|a1+…+lan+,=3H. 5.0.087. ②由题意知a6=C克+1·（一2） 提示：P(BA)= P(B)P(A B) P(B)P(AIB)+P(B)P(A B) 又aa=(-2)b,∴.a=C选+1， .(k十1)=(k十1)·Cn+1=k·C8+1十C选+1= 0.005×0.95 =0.005×0.95+0.995×0.05 (2n+1)·C8.1+C选+1(k∈N,), ≈≈0.087. ,1·6十2·+3·b+…+(k+1)·十+ 6.设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节 (2n十2)·b 目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事 =1·C8-1十2·C+1+3·C+1+…+(2+2) 件AB. C封 (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数 =(C+1十(%+i十(8+1+…十C家)十(2n+1)(C2十 为n(2)=A号=30 C十C%十…十C密) 根据分步乘法计数原理，有n(A)=A:A=20, =22+1+(2m十1)·22 所以P(A)=(A)_202 =(2+3)·22 n(2)303 第六章概率 (2)因为n(AB)=A=12,所以P(AB=AB n(2) §1随机事件的条件概率 品- L.1条件概率的概念 (3)由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第 1.2乘法公式与事件的独立性 2 1.3全概率公式 2次抽到舞蹈节目的概率P(BA)=PA)- 3 P(A) 5 真题演练 7.A提示：由题意得，P(AB)表示在事件B发生的条件下 11 1277 提示：记第一次抽到A为事件A,第二次抽 事件A发生的概率，P(AB)表示在事件B不发生的条件 到A为事件B,则 下，事件A发生的概率，则P(AB)+P(AB)就是事件A PA)==PAB)==动P(B) 1 1 发生的概率 8D提示：由题知，事件A:甲和乙至少一人选择庐山共 P(AB)-22=1 有A)=C+(十1=7（种）情况，事件A∩B:甲和乙选 P(A) 17 13 择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有(A∩B)=C侧 2.(1)X=2就是10：10平后，两人又打了2个球，该局 +C=6(种)情况，则P(BA)=mADB)=6 1(A) 比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因 7 此P(X=2)=0.5×0.4十(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. 9.BD提示：因为每次取一球，所以A,A,A是两两互 (2)X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个 斥的事件，放D正确：因为PA)=高，P(A)=品， 球，该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是 5 甲，乙各得1分，后两球均为甲得分.因此所求概率为 PA)=高，所以P(B1A)=PnA6量 P(A) 5 [0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. 10 55 2、4 引，故B正确：同理P(B1A)=PBnA)_0Xi 则甲，乙均我得正品的餐来为侧-是×号一之 P(A.) 2 10 ,,甲、乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概 34 P(B1A)PBOA》10三4所以P(B)= 率是+日+日-昌 P(A) 3 13.(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,a PBnA,)+PBnA)+PBnA,)=高×音+品× 从6名成员中挑选2名成员，有AB,AC,AD,Aa,A. EC,BD,Ba,B,CD,Ca,Ch,Du,Db,ab,共15种情况. 青+品×多故A,C错误 49 记“男生甲被选中”为事件M,不妨假设男生甲为A, 10.ABD提示：由已知PA)=号×+×号= 事件M所包含的基本事件为AB,AC,AD,Aa,Ab, PB)=PO=是-立，所以PA)=PB=P(C. 共5个，故P0=是-3 (2)记“男生甲被选中”为事件M,“女生乙被选中”为事件 PAP(B)P(C=日，则A,D正确：由已知有 N,不妨设男生甲为A,女生乙为6，则PM门)=高 PAnB)=,PAnC)=},P(BnC)=,所以 又由I)知PM=号放PNM=PC=号 P(M05 P(B∩C)=P(A∩C)=P(A∩B),则B正确：事件A, (3)记“挑选的两人一男一女”为事件S,则P(S) B.C不相互独立，故P(AnBOC)=,则C错误. 是~女生乙被选中“为事件N,不妨设女生乙为6，则 P(A)P(B) P(snM=音，故PNs)=P8= P(S) 提示：由题童得PBPO=名 14.设事件A表示“第f次命中目标，i=1,2,3” PAP(BP(C)=g· 设事件B,表示“日标被命中j弹，=0,1,2,3” 设事件C表示“目标被摧毁” PB)=1-P(B) 且 所以解得PA)=子，PB)=之· 由已知P(A)=0.4,P(A)=0.5,P(A)=0.7: PC=1-P(C). P(CB)=0,P(C1B)=0.2,P(CIB)=0.6, 所以PB)=PP(B=号×号=吉 P(CB)=0.8. 2 提示：设甲，乙两台机床生产正品的概率分别为 又由于三次射击是相互独立的，所以 P(B)=P(A,∩A∩A)=P(A:)P(A)P(A) p,g,则2<1,2<1 0.6×0.5×0.3=0.09,P(B)=P(A∩A∩A)+ :甲获得正品面乙不是正品的概率为子， P(A∩A∩A)+P(A1∩A∩A)=0.6×0.5× 0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36, ∴p1-g)=子@ P(B2)=P(A∩A∩A)+P(A∩A∩A)+ 又：乙获得正品而甲不是正品的概率为。， P(A∩A∩A3)=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+ 0.4×0.5×0.7=0.41,P(B)=P(A∩Ae∩A) g1-p）=言 ② P(A)P(A2)P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14. 3 由全概率公式得到 联立①②解得 P(C)=P(CIB)P(B)+P(CIB)P(B)+P(CB) 4=3 P(B)+P(CB)P(B)=0×0.09+0.2×0.36+ 56 0.6×0.41+0.8×0.14=0.43. 学业质量测评 15.设“第i天无雨”为事件A,记P=P(A),i=1,2,,m 1.D 2.A 3.ABD 则有P=1,且P(A+1A)=P,P(A+1A)=1一P, 4.0.35. 提示：根据分布列的性质可知，随机变量的 则A,A,…,A.为样本空间的一个完备事件组. 所有取值的概率和为1，可得x=2,y=5,故 由全概率公式可得第n天无雨的概率P。=P(A,)· P(号<X<号)=PX=2)+PX=3)=0.35. P(AA1)+P(An)P(A|A1)=PP。1十 5.10:0.6. 提示：由题意可得，P(X≤4)=4=0,4，则 (1-P)(1-P.-1)=(2P-1)·P。-1+1-P,n2≥2， n=10.P(X>4)=1-P(X≤4)=1-0.4=0.6. 整理得P.-=(2P-1)(P-号) 6.(1)由题意可得出下表 即P-号=(2p-D(B-号)： X 0 2 3 取得3个取得】个白取得2个白 将B=1代入上式可得P.-名=合2P-1D, 结果 取得3个白球 黑球 球，2个黑球球，1个黑球 由此可得P,=21+(2P-1)1门，n≥2 (2)由题意可得Y=5X十6，而X可能的取值为0,1,2， 3,故Y的可能取值为6,11,16,21. §2离做型随机变量及其分布列 7.B由题意得，随机变量X满足2≤X≤4的事件是X 2.1随机变量 =2、X=3,X=4这3个互斥事件的和，而P(X=2)= 22离散型随机变量的分布列 PK-》=C-,PX= C号+4C=1 真题演练 62 62 1X的所有可能取值为-1,0,1，P(X=一1)=(1一a)3 C5+2C-5 6 P(X=0)=a9+(1-a)(1-), P(X=1)=a(1一). 所以P2≤X≤)=}+需+0- 所以X的分布列为 8A提示：因为>≥1，解得0<x<1,因为(0,1]C X -1 1 (0,十∞)，所以=1. P (1-a39+(1-a)(1-》 (1-3》 2b=a+c, 2.I)由已知，有PA)=CC+C- 9.B提示：由题意知 解得6=子 C 3 a+b+c=1, 所以事件A发生的概率为子 :f(x)=x+2x十有且只有一个零点， (2)随机变量X的所有可能取值为0,1.2， ∴4=4-4g=0,解得=1.P(g=1D=3 则PX=0-G+g+E=高 10.A提示：由随机变量的分布列知，的所有可能取 C 值为0,1,4,9， P(X=1-CC+CCi_Z Cio 15· 则P(g=0)=意P=D=是+2-意 PX=2)=CC=4 C615 P=4)=+-，Pg=9)= 所以随机变量X的分布列为 若Pg<)-·则实数x的取值范围是(4,9明 X 0 1 11.AD对于A,X=2表示决出冠军需进行2局比赛， 15 15 5 即甲连赢2局或乙连赢2局， 57