5.1.3 基本计数原理的简单应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.3　基本计数原理的简单应用 【课前预习】 知识点 方法种数　分解　都可做完　才能做完　并联　串联 诊断分析 解:若完成一件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成这件事,则是分类;若从其中一种情况中任取一种方法只能完成这件事的一部分,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步. 【课中探究】 例1　C　[解析] 方法一(直接法):满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江,有3×32=27(种) 选择方法;三个人中有两个人去丽江,有3×3=9(种) 选择方法;三个人都去丽江,有1种选择方法.综上,共有27+9+1=37(种)不同的选择方法. 方法二(排除法):三个人去四个景点,有43=64(种) 选择方法,没有人去丽江,有33=27(种) 选择方法.综上,共有64-27=37(种)不同的选择方法.故选C. 变式　720　[解析] 若某女生必须担任语文课代表,则再从剩下的10人中选3人分别担任数学、英语、物理学科的课代表,有10×9×8=720(种)选法,根据分步乘法计数原理可得,共有1×720=720(种)选法. 拓展　20　[解析] 由题意知,有1人既会英语又会日语,有6人只会英语,有2人只会日语,从9人中选出会英语和日语的各一人,共分三类:第一类,当选出的会英语的人既会英语又会日语时,再选会日语的人,有2种选法;第二类,当选出的会日语的人既会英语又会日语时,再选会英语的人,有6种选法;第三类,当既会英语又会日语的人不参与选择时,则需从只会日语和只会英语的人中各选一人,有2×6=12(种)选法.故共有2+6+12=20(种)选法. 例2　解:(1)三位数先考虑百位,共4种不同选择,再考虑十位,共4种不同选择,最后考虑个位,共3种不同选择,故能得到4×4×3=48(个)不同的三位数. (2)三位数先考虑百位,共4种不同选择,再考虑十位,共5种不同选择,最后考虑个位,共5种不同选择,故能得到4×5×5=100(个)不同的三位数. 变式　C　[解析] 由题意,分两种情况:若个位为0,则共有4×3×2×1=24(个)五位数;若个位为2或4,则首位有3种选择,共有2×3×3×2×1=36(个)五位数.则共有24+36=60(个)五位数,故选C. 例3　C　[解析] 如图,先在A中种植,有5种不同的选择,再在B中种植,有4种不同的选择,再在C中种植,有3种不同的选择,再在D中种植,若D与B种植同一种花卉,则E有3种不同的选择,若D与B种植不同花卉,则D有2种不同的选择,E有2种不同的选择,故不同的布置方案有5×4×3×(3+2×2)=420(种).故选C. 变式　480　[解析] 从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法.由D与B,C不同色,与A可以同色也可以不同色,可知D有4种涂色方法.故共有6×5×4×4=480(种)涂色方法. 拓展　72　[解析] 分两种情况,即C,A同色与C,A不同色来讨论. ①C,A同色:P的染色方法有4种,A的染色方法有3种,B的染色方法有2种,C的染色方法有1种,D的染色方法有2种. ②C与A不同色:P的染色方法有4种,A的染色方法有3种,B的染色方法有2种,C的染色方法有1种,D的染色方法有1种.综上,共有4×3×2×1×2+4×3×2×1×1=48+24=72(种)染色方法. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　基本计数原理的简单应用 【学习目标】 　　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别. 　　2.会正确应用这两个计数原理计数. ◆ 知识点　两个计数原理的联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 都是解决求完成一件事不同的　　　　　问题,都是对复杂事件的　　　　  区别 完成一件事情,共有n类方法,关键是“分类” 完成一件事情,共有n个步骤,关键是“分步” 各类方法相互独立 各个步骤中的方法相互依存 任何一类方法　　　　这件事  各个步骤都完成　　　　这件事  可利用“　　　　”电路来理解  可利用“　　　　”电路来理解  【诊断分析】 如何区分一个问题是“分类”还是“分步”? ◆ 探究点一　分配问题 例1 若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游, 每人彼此独立地选景点游玩,且丽江必须有人去,则不同的选择方法有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.16种 B.18种 C.37种 D.40种 变式 有8名男生和3名女生,从中选出4人分别担任语文、数学、英语、物理学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有　　　　种.(用数字作答)  [素养小结] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法计算抽取方法数. (2)当涉及对象数目较大时,一般有两种方法: ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算抽取方法数.一般地,若按顺序抽取,则分步进行;若按对象特征抽取,则分类进行. ②间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 拓展 某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有　　　　种不同的选法.  ◆ 探究点二　数字问题 例2 已知一个三位数中的数字从0,1,2,3,4中任意选取. (1)如果三位数中的数字不允许重复使用,那么能得到多少个三位数? (2)如果三位数中的数字允许重复使用,那么能得到多少个三位数? 变式 由0,1,2,3,4这5个数组成无重复数字的五位数且为偶数,则满足题意的五位数的个数为 (　 ) A.24 B.48 C.60 D.62 [素养小结] 解决数字问题的方法 (1)对于组成数字的问题,一般按特殊位置(通常是末位或首位)优先的方法分类或分步完成.如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解. (2)解决组成数字的问题时,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘. [提醒] 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. ◆ 探究点三　涂色问题 例3 春节期间,某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛,花坛分为5个区域.现有5种不同的花卉可供选择,要求相邻区域不能布置相同的花卉,且每个区域只布置一种花卉,则不同的布置方案有 (　 ) A.120种 B.240种 C.420种 D.720种 变式 如图,用6种不同的颜色给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方法共有　　　　种.  [素养小结] 求解涂色(种植)问题一般直接利用两个计数原理,常用思路有: (1)按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理求解; (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理求解; (3)对于空间中的涂色问题,可将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题求解. 拓展 如图,将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有　　　　种.  学科网（北京）股份有限公司 $