5.2.2 第2课时 排列的综合问题(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　排列的综合问题 ◆ 知识点　排列的常见问题类型及解决方法 1.相邻问题通常采用“捆绑”法; 2.不相邻问题通常采用“插空”法; 3.定位问题通常采用“位置分析”法或“元素分析”法; 4.定序问题通常采用“直除”法. ◆ 探究点一　排数问题 例1 用0,1,2,3,4五个数字, (1)可组成多少个五位数? (2)可组成多少个无重复数字的五位数? (3)可组成多少个无重复数字的五位奇数? (4)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数? 变式 (1)用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数? (2)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数,若组成的六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是第几个数? [素养小结] 排数问题的解题原则 排数问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排数问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素.解决该类排数问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论. ◆ 探究点二　排队问题 角度1　相邻问题 例2 有3名男生,4名女生,这7个人站成一排.在下列情况下,各有多少种不同的站法. (1)男、女各自站在一起; (2)男生必须排在一起. 变式 4名学生和3名教师站成一排照相. (1)若中间三个位置排教师,则有多少种排法? (2)若一边是教师,另一边是学生,则有多少种排法? [素养小结] 解决相邻问题一般采用“捆绑”法,即将相邻元素捆绑在一起,看成一个元素,再与剩余的元素进行排列的一种方法. 角度2　不相邻问题 例3 5名同学国庆节期间去某地采风观景,结束后他们排成一排照相留念,若甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有　　　　种.  变式 甲、乙、丙等6名同学站成一排照相. (1)甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙、丙3名同学均不相邻的排法共有多少种? [素养小结] 解决不相邻问题一般采取“插空”法,其解题步骤为:首先排其他元素,其次确定“空隙”位置的数量,最后将指定元素排在“空隙”位置处.其中最后一步一定要注意交换元素顺序对结果是否有影响. 角度3　定位、定序问题 例4 有7名学生,其中3名男生,4名女生,在下列不同条件下,求不同的排法种数. (1)全体站成一排,其中甲不站在最左边,也不站在最右边; (2)全体站成一排,其中甲不站在最左边,乙不站在最右边; (3)男生顺序已定,女生顺序不定. 变式 有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的排法共有 (　 ) A.66种 B.60种 C.36种 D.24种 [素养小结] 解决定位问题一般采用特殊元素、特殊位置优先安排的方法,即对于有限制条件的元素(或位置)在解题时要优先考虑.对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先将这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　排列的综合问题 【课中探究】 例1　解:(1)各个数位上数字允许重复,首位上不能为0,故由分步乘法计数原理知, 有4×5×5×5×5=2500(个)符合题意的五位数. (2)方法一(直接法):考虑特殊位置“万位”,从1,2,3,4中任选一个填入万位,有种填法, 将剩余4个数字填入其余四个数位,这4个数字进行全排列,有种排法,故共有=96(个)符合题意的五位数. 方法二(间接法):若不考虑首位是否为0,则有=120(种)情况,其中首位为0的情况有=24(种),故符合题意的五位数有120-24=96(个). (3)考虑特殊位置“个位”和“万位”,先填个位,从1,3中选一个填入个位,有种填法,然后从剩余3个非零数中选一个填入万位,有种填法,最后将剩下的3个数填入中间三个数位,这3个数进行全排列,有种排法,故共有=36(个)符合题意的五位奇数. (4)是3的倍数的三位数要求其各数位上数字之和是3的倍数,则可由0,1,2或0,2,4或1,2,3或2,3,4组成无重复数字的三位数,由0,1,2和0,2,4组成的无重复数字的三位数共有2=8(个),由1,2,3和2,3,4组成的无重复数字的三位数共有2=12(个),故共有8+12=20(个)符合题意的三位数. 变式　解:(1)个位上的数字必须是0或5.若个位上的数字是0,则有个符合题意的五位数;若个位上的数字是5且五位数不含0,则有个符合题意的五位数;若个位上的数字是5且五位数含0,则有个符合题意的五位数. 故共有++=216(个)符合题意的五位数. (2)当十万位上的数字为1时,有个无重复数字的六位数; 当十万位上的数字为2,万位上的数字为0,1,3中的一个时,有3个无重复数字的六位数,所以240 135前面有+3=192(项),即240 135是第193个数. 例2　解:(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起,即3名男生进行全排列,有种排法,女生必须站在一起,即4名女生进行全排列,有种排法,全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法,由分步乘法计数原理知共有··=288(种)排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,故有·=720 (种)不同的排法. 变式　解:(1)先排教师有种排法,再排学生有种排法,故共有×=144(种)排法. (2)先排教师有种排法,再排学生有种排法,教师和学生各看成一个大元素,可以交换位置,共有=288(种)排法. 例3　72　[解析] 先将除甲、乙两人外的另外3个人排成一排,再将甲、乙插入到已经排好的3个人形成的4个空中,共有=6×12=72(种)排法. 变式　解:(1)根据题意,甲、乙、丙3名同学相邻,将三人看成一个整体,有=6(种)排法,将这个整体与其他三人全排列,有=24(种)排法.故共有6×24=144(种)排法. (2)甲、乙、丙3名同学均不相邻,可分为两步解决. 第一步,先把其余三人排列,有=6(种)排法; 第二步,把甲、乙、丙3名同学插入由其余三人隔开的四个空中,有=24(种)排法.故共有6×24=144(种)排法. 例4　解:(1)方法一:先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,故不同的排法种数为5×=3600. 方法二:左、右两边的位置可安排除甲外其余6人中的2人,有种排法,其他位置有种排法,故不同的排法种数为=3600. (2)方法一:分两类:第一类,甲站在最右边,有种排法;第二类,甲不站在最右边,则甲可以从除去两端的位置后剩下的5个位置中任选一个,有种排法,而乙可以从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个,有种排法,其余人全排列,有种排法,故不同的排法种数为+=3720. 方法二:7名学生全排列,有种排法,其中甲在最左边时,有种排法,乙在最右边时,有种排法,甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有种排法,故不同的排法种数为-2+=3720. (3)7名学生站成一排,有种排法,其中3名男生的排法有种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故不同的排法种数为=840. 变式　B　[解析] 首先对五名学生全排列,则共有=120(种)排法,因为只有甲在乙的左边或甲在乙的右边两种情况,所以甲不排在乙的左边的不同的排法共有=60(种).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $