5.2.2 排列数公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学排列数公式核心知识点，以计数原理为基础推导公式，系统梳理排列数定义、符号表示及阶乘概念，构建从公式推导到解决特殊元素位置、相邻、不相邻等实际问题的完整学习支架。 资料通过校庆名人排列情境引入，分题型详解公式应用通法，结合实例培养数学抽象与逻辑推理能力。课中助力教师系统教学，课后通过分层练习帮助学生巩固运算技能，有效查漏补缺。

2.2　排列数公式 课标 要求 1.能用计数原理推导排列数公式（数学抽象）. 2.能用排列数公式解决简单的实际问题（逻辑推理、数学运算）. 在上海交通大学建校120周年时，有29位曾是交大学子的名人大家，在庆祝会上逐一介绍…… 【问题】　这29位名人大家的排列顺序有多少种？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　排列数及排列数公式 排列数定义 从n个不同元素中取出m（m≤n且m，n∈N＋）个元素的所有　不同排列　的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数 符号表示 　　 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用　n！　表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成＝　n！　.规定0！＝　1　，＝　1　 排列数公式 ＝　n（n－1）（n－2）·…·[n－（m－1）]＝　（m，n∈N＋，且m≤n） 提醒：排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的n，m应该满足n，m∈N＋，m≤n. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）＝n.（　√　） （2）＝m＋.（　√　） 2.89×90×91×…×100可表示为（　　） A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：C　＝100×99×…×（100－12＋1）＝100×99×…×89. 3.某电影要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有　24　种.（用数字作答） 解析：4个不同元素全排列，即有＝24（种）. 4.用0～9这10个数字，可以组成　648　个没有重复数字的三位数. 解析：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为×＝9×9×8＝648. 题型一　排列数公式的应用 角度1　利用排列数公式求值 计算：. 解：原式＝＝＝＝. 角度2　利用排列数公式化简 （1）用排列数表示（55－n）（56－n）…（69－n）（n∈N＋且n＜55）； （2）化简：n（n＋1）（n＋2）（n＋3）·…·（n＋m）. 解：（1）∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有（69－n）－（55－n）＋1＝15（个）数， ∴（55－n）（56－n）…（69－n）＝. （2）由排列数公式可知n（n＋1）（n＋2）·（n＋3）·…·（n＋m）＝. 角度3　利用排列数公式证明 求证：－＝m. 证明：∵－＝－ ＝·＝· ＝m·＝m， ∴－＝m. 通性通法 排列数公式的选择 （1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数； （2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算. 1.（x－2）（x－3）（x－4）·…·（x－15）（x∈N＋，x＞15）可表示为（　　） A.　 　 B.　 　 C.　 　 D. 解析：B　由题意x∈N＋，x＞15.其中最大的数（x－2）为n，则m＝（x－2）－（x－15）＋1＝14.所以（x－2）（x－3）（x－4）·…·（x－15）＝. 2.解方程：＝140. 解：因为所以x≥3，x∈N＋. 由＝140得（2x＋1）2x（2x－1）（2x－2）＝140x（x－1）（x－2）. 化简得4x2－35x＋69＝0， 解得x1＝3，x2＝（舍去）. 所以原方程的解为x＝3. 题型二　排列中的特殊元素或特殊位置问题 〔一题多解〕六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站右端，也不站左端； （2）甲、乙站在两端； （3）甲不站左端，乙不站右端. 解：（1）法一（位置分析法）　因为甲不站左右两端，故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种站法；再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知共有＝480种站法. 法二（元素分析法）　因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知，共有＝480种站法. 法三（间接法）　在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列，有种站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2，于是共有－2＝480种站法. （2）法一（元素分析法）　首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法；再让其他4个人在中间4个位置全排列，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法. 法二（位置分析法）　首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有种站法；再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有种站法，根据分步乘法计数原理，共有＝48种站法. （3）法一（间接法）　甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端的站法有种，故共有－2＋＝504种站法. 法二（直接法）　从元素甲的位置进行考虑，可分两类：第一类，甲站右端有种站法；第二类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有种站法，故共有＋＝504种站法. 通性通法 “特殊”优先原则的思路 　　当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决. 把甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的6天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有（　　） A.20种　　　　　　　B.30种 C.40种 D.60种 解析：C　甲是特殊元素，应优先安排，分类完成.甲排周一，乙、丙只能从周二至周六这5天中选2天，有种安排方法；甲排周二，乙、丙有种安排方法；甲排周三，乙、丙有种安排方法；甲排周四，乙、丙只能排周五和周六，有种安排方法.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法共有＋＋＋＝40（种）. 题型三　排列中的相邻问题 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（　　） A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 解析：C　因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元素与其他元素一起排列共种，再排其内部顺序种，所以不同的安排方案有＝120×2＝240种.故选C. 通性通法 解决“相邻”问题用“捆绑法” 　　将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下： （1）先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体； （2）把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种； （3）“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种； （4）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种. 有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的坐法数为（　　） A. B. C.×25 D.×25 解析：D　要求5对夫妇相邻，我们可以先将每对夫妇划分为1组，然后让这5组人围坐成一圈，于是有种坐法.考虑到组内两人还有顺序问题，因此每组再乘2，于是5对夫妇相邻而坐共有×25种坐法. 题型四　排列中的不相邻问题 永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（　　） A.480 B.240 C.384 D.1 440 解析：A　第一步，将《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女书表演》四个节目全排列，有＝24种排法；第二步，将《祁阳小调》《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有＝20种插法，所以共有24×20＝480种不同的安排方法.故选A. 通性通法 解决“不相邻”问题用“插空法” 　　将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（k≤n－k＋1），求不同排法的种数，具体求解步骤如下： （1）将没有不相邻要求的元素共（n－k）个排成一排，其排列方法有种； （2）将要求两两不相邻的k个元素插入（n－k＋1）个空隙中，相当于从（n－k＋1）个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种； （3）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种. 3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）男生不能站在一起； （2）男生互不相邻，且女生也互不相邻. 解：（1）先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有种排法，故有·＝1 440（种）不同的排法. （2）先排男生有种排法，让女生插空，有·＝144（种）不同的排法. 1.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（　　） A.1 260 B.120 C.240 D.720 解析：D　相当于3个元素排10个位置，不同的分法有＝720（种）. 2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为（　　） A.144 B.72 C.36 D.12 解析：A　先将老师排好，有种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有种排法，故共有＝144（种）排法. 3.不等式＜6的解集为（　　） A.[2，8] B.[2，6] C.（7，12） D.{8} 解析：D　由＜6，得＜6×，化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12　①，又所以2＜x≤8　②，由①②及x∈N＋，得x＝8. 4.小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有　24　种. 解析：先将《论语》《诗经》两本书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排《论语》《诗经》，两本书的排法种数为.所以不同的摆放方法有＝2×6×2＝24（种）. 5.甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次.甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同.”则他们五人不同的名次排列共有多少种情况. 解：若丙的成绩是最好的，则有＝6（种）情况. 若丙的成绩不是最好的，从甲、乙、丙之外的两人中选一人为成绩最好的，再从乙和剩余的一人中选一人为成绩最差的，其他任意排列，则有＝8（种）情况. 故五人不同的名次排列共有6＋8＝14（种）情况. 1.设m∈N＋，且m＜15，则＝（　　） A.（20－m）（21－m）（22－m）（23－m）（24－m）（25－m） B.（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m） C.（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）（15－m） D.（19－m）（18－m）（17－m）（16－m）（15－m） 解析：C　是指从20－m开始依次小1的连续的6个数相乘，即（20－m）（19－m）（18－m）（17－m）·（16－m）（15－m）. 2.已知－＝10，则n的值为（　　） A.4　　　　B.5 C.6　　　　D.7 解析：B　由－＝10，得（n＋1）n－n（n－1）＝10，解得n＝5. 3.12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖情况的种数为（　　） A.123 B.312 C. D.33 解析：C　12名选手中有3名获奖并安排奖次，共有种不同的获奖情况.故选C. 4.有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有（　　） A.种 B.种 C.种 D.2种 解析：C　司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法. 5.〔多选〕下列各式中与排列数相等的是（　　） A. B.n（n－1）（n－2）…（n－m） C. D.· 解析：AD　∵＝，A正确；而·＝n·＝，∴＝·，D正确. 6.〔多选〕甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　） A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 解析：BD　甲、乙、丙按从左到右的顺序排列有＝20（种）情况，故A错误；先安排丙、丁、戊三人，有＝6（种）情况，再将甲、乙两人插空，则有＝12（种）情况，故甲、乙不相邻的排法有6×12＝72（种）情况，故B正确；若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有＝24（种）；若最左端不排乙，则最左端只能从丙、丁、戊中选出1人，又乙不能在最右端，则有＝54（种）情况，则共有24＋54＝78（种）排法，故C错误；将甲与乙捆绑，看作一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有＝24（种）排法，故D正确. 7.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　1 560　条毕业留言.（用数字作答） 解析：根据题意，得＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言. 8.化简：＋＋＋…＋＝　1－　. 解析：因为＝－＝－， 所以＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－. 9.五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有　32　种. 解析：五个位置从左到右依次记为位置一、二、三、四、五.根据角音所在的位置分两类：第一类，角音排在位置一或五，由插空法可得不同的排列顺序有2＝24（种）；第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有2＝8（种）.根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24＋8＝32（种）. 10.〔一题多解〕有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数. （1）选5人排成一排； （2）全体站成一排，男生不全相邻； （3）全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边； （4）全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边； （5）全体站成一排，男生顺序已定，女生顺序不定； （6）站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置； （7）7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻； （8）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻. 解：（1）从7人中选5人排列，不同的排法种数为＝2 520. （2）先排7名学生，有种排法，再减去男生全部相邻的情况. 把3名男生看作一个整体，与4名女生全排列，有种排法， 又3名男生的排列方法有种， 所以不同的排法种数为－＝4 320. （3）法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故不同的排法种数为5×＝3 600. 法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故不同的排法种数为＝3 600. 法三（间接法） 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边或在最右边时都有种排法，故不同的排法种数为－2＝3 600. （4）法一（特殊元素优先法） 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个中任选一个，有种排法，其余人全排列，有种排法，故不同的排法种数为＋＝3 720. 法二（间接法） 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故不同的排法种数为－2＋＝3 720. （5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故不同的排法种数为＝840. （6）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法种数为＝720. （7）先排除甲、乙、丙3人外的4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法.故不同的排法种数为＝960. （8）将甲、乙看作一个整体，相当于6名学生坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故不同的排法种数为＝240. 11.在如图所示的表格中填写1，2，3三个数字，要求每一行、每一列均有这3个数字，则不同的填法种数为（　　） A. B.2 C. D. 解析：B　先填第一行，有种填法；再填第二行，有2种填法；最后填第三行，只有1种填法；所以不同的填法种数为2种.故选B. 12.〔多选〕〔一题多解〕有4名男生，5名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法正确的是（　　） A.6 B. C. D.－3 解析：BCD　法一（元素分析法）　先排甲有6种，再排其余人有种，故共有6种排法. 法二（位置分析法）　中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有×种排法. 法三（等机会法）　9个人全排列有种排法.因为甲排在每一个位置的机会都是均等的，所以甲不在中间也不在两端的排法种数是×＝. 法四（间接法）　9个人全排列有种排法，甲排在中间和两端有3种排法，所以甲不在中间也不在两端的排法种数是－3. 13.某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为　630　. 解析：按两个班共选择活动项数分三类.第一类，两个班共选择2项活动，有种方法；第二类，两个班共选择3项活动，有种方法；第三类，两个班共选择4项活动，有种方法.则活动安排方案的种数为＋＋＝630. 14.已知圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径.问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？ 解：（1）可分两步完成：第1步，先选r，因为r＞0，则r有种选法；第2步，再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法，所以由分步乘法计数原理可得有×＝448个不同的圆. （2）圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2经过原点，a，b，r满足a2＋b2＝r2， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a，b的顺序，有种情况， 所以符合题意的圆有2＝4个. （3）圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a，b取10，0时，r有7种情况， 当a，b取3，7；4，6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a，b的顺序，有种情况， 所以满足题意的圆共有×＋2×＝38个. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $