1.2.1 第1课时 圆的标准方程(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 第1课时　圆的标准方程 【学习目标】 　　回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程. ◆ 知识点一　圆的标准方程 1.圆的标准方程的表示 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是　　　　　　　　　　　.  　　　　和　　　　分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.   2.几种常见的特殊的圆的方程 条件 方程形式 圆心在原点 x2+y2=r2(r>0) 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0) 圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) 圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0) 圆与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0) 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆. (　 ) (2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),则该圆的圆心为(a,b),半径为m. (　 ) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0). (　 ) (4)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0. (　 ) ◆ 知识点二　点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法如下: 位置关系 利用点到圆心的距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|　　r  (x0-a)2+(y0-b)2　　r2  点M在圆外 |CM|　　r  (x0-a)2+(y0-b)2　　r2  点M在圆内 |CM|　　r  (x0-a)2+(y0-b)2　　r2  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)点P(1,3)在圆x2+y2=24上. (　 ) (2)点(2,2)在圆(x-1)2+(y+2)2=1外. (　 ) 2.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的内部,求实数m的取值范围. ◆ 探究点一　圆的标准方程的判断 例1 (1)圆(x+2)2+(y-3)2=2的圆心和半径分别是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(2,3), B.(-2,-3),2 C.(2,3),1 D.(-2,3), (2)下面方程为圆的标准方程的是 (　 ) A.(x+2)2+(y-1)2=-1 B.(x-4)2+(y+5)2=log2 C.(x-π)2+(y+e)2=0.01 D.(x-1)2+(y-1)2=k2 变式 下面方程为圆的标准方程的是 (　 ) A.(x-1)2+(x+3)2=3 B.(x-1)2+(y-1)2=a C.x2+y2-2x+2=0 D. y2+(x-1)2=1 [素养小结] 对圆的标准方程的认识:左边是平方和结构,即(x-a)2+(y-b)2,右边是一个正数. ◆ 探究点二　求圆的标准方程 例2 (1)圆心为原点,半径是5的圆的标准方程为　　　　　　　　.   (2)圆心为点C(2,1),半径是的圆的标准方程为　　　　　　　　.   (3)经过原点和点(3,-1)且圆心在直线3x+y-5=0上的圆的标准方程为　.  变式 (1)直线+=1与x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为直径的圆的标准方程为 (　 ) A.(x-2)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-2)2=5 (2)过点A(1,-2),B(3,4)且周长最小的圆的标准方程为　　　　　　　　.  [素养小结] 利用待定系数法确定圆的标准方程 由三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.这种方法是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是: ①设——设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解——解方程组,求出a,b,r; ④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的标准方程. ◆ 探究点三　点与圆的位置关系 例3 已知点A(1,0),B(1,2)与圆O:x2+y2=4,则 (　 ) A.点A与点B都在圆O外 B.点A在圆O外,点B在圆O内 C.点A在圆O内,点B在圆O外 D.点A与点B都在圆O内 变式 若点(1,1)在圆(x-a)2+y2=5的内部,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-1,3) B.(-2,2) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) [素养小结] (1)判断点与圆的位置关系的方法 ①计算该点与圆的圆心之间的距离,与半径作比较即可; ②把点的坐标代入圆的标准方程,判断等式两边的大小关系,并作出判断. (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围或大小. 拓展 [2024·山东烟台高二期中] 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2上总存在两个点到原点的距离为2,则圆C的半径r的取值范围是 (　 ) A.(3,5) B.(5,7) C.(3,7) D.(3,+∞) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 第1课时　圆的标准方程 【课前预习】 知识点一 1.(x-a)2+(y-b)2=r2　圆心　半径 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 知识点二 =　=　>　>　<　< 诊断分析 1.(1)×　(2)√ 2.解:因为P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的内部,所以(1+2)2+(-1)2<m,则m>10,即m的取值范围为(10,+∞). 【课中探究】 例1　(1)D　(2)C　变式　D 例2　(1)x2+y2=25　(2)(x-2)2+(y-1)2=3　(3)+y2=　[解析] (3)设该圆的圆心为C(a,5-3a),因为该圆经过原点和点(3,-1),所以=,解得a=,可得C,则该圆的半径为=,故所求圆的标准方程为+y2=. 变式　(1)B　(2)(x-2)2+(y-1)2=10　[解析] (1)因为直线+=1在x轴、y轴上的截距分别为4,2,所以A(4,0),B(0,2),所以线段AB的中点坐标为(2,1),且圆的半径r=|AB|=×=,故以线段AB为直径的圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选B. (2)连接AB,当圆以线段AB为直径时,圆的周长最小,此时,线段AB的中点(2,1)即为圆心,因为|AB|==2,所以圆的半径r=,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 例3　C 变式　A　[解析] 因为点(1,1)在圆(x-a)2+y2=5的内部,所以(1-a)2+12<5,解得-1<a<3,则实数a的取值范围是(-1,3),故选A. 拓展　C　[解析] 由圆心为C(3,4),得原点与C(3,4)之间的距离d=5.因为总存在两个点到原点的距离为2,所以若原点在圆外,则可得3<r<5;若原点在圆上,则r=d=5,满足题意;若原点在圆内,则d<r<d+2,可得5<r<7.综上所述,圆C的半径r的取值范围是(3,7).故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $