1.1.1&1.1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 【学习目标】 　　1.理解直线的倾斜角与斜率的关系. 　　2.理解利用直线的方向向量来描述直线的倾斜程度. ◆ 知识点一　直线的斜率与倾斜角的关系 由正切函数的概念可知,倾斜角不是的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足　　　 . 斜率k与倾斜角α有如下关系: 当α∈时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而　　　　;  当α∈时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而　　　　　;  当α=时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大. (　 ) (2)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线不存在斜率. (　 ) ◆ 知识点二　直线的斜率与方向向量的关系 在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),由平面向量的知识可知,向量是直线l的方向向量,它的坐标是　　　　　　.直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同的角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度,它们之间的关系是　　　　　　　　(其中x1≠x2).若k是直线l的斜率,则　　　　是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)一条直线的方向向量与x轴正方向所成的角和直线的倾斜角相等. (　 ) (2)已知直线上不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. (　 ) (3)若直线l的一个方向向量的坐标为(x0,y0),则l的斜率为. (　 ) ◆ 探究点一　直线的斜率与倾斜角的关系 例1 (1)过点A(2,0),B(-1,)的直线的倾斜角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.30° B.60° C.120° D.150° (2)[2024·江西九江高二期中] 已知直线l的斜率k∈[-1,],则直线l的倾斜角α的取值范围为 (　 ) A. B.∪ C. D.∪ 变式 (1)如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　 ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 (2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 ) A.∪ B. C.∪ D.∪ [素养小结] 1.由倾斜角大小(或范围)求斜率大小(或范围)利用公式k=tan α(α≠90°)求解. 2.由两点坐标求直线斜率运用斜率公式k=(x1≠x2)求解. 3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解. 拓展 [2024·广东佛山高二期中] 直线y=2-xtan 36°的倾斜角为 (　 ) A.36° B.72° C.108° D.144° ◆ 探究点二　直线的斜率与方向向量的关系 例2 (1) 已知直线l经过两点A(-1,2),B(3,4),则直线l的一个方向向量的坐标是 (　 ) A.(2,-4) B.(1,2) C.(-4,-2) D.(4,-2) (2)(多选题)直线y=-x-的一个方向向量的坐标是 (　 ) A.(2,3) B. C.(-3,-2) D.(-3,2) 变式 (1)过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y= (　 ) A.- B. C.-1 D.1 (2)直线l:y=kx过点A(2,2),则直线l的一个方向向量的坐标为　　　　　　.  [素养小结] 一般地,如果已知a=(u,v)是直线l的一个方向向量,那么: (1)当u=0时,显然直线l的斜率不存在,倾斜角为90°. (2)当u≠0时,直线l的斜率k存在,且向量(1,k)是直线l的一个方向向量. (3)对于非零实数λ,向量λa都是l的方向向量,而且直线l的任意两个方向向量一定共线. ◆ 探究点三　直线的倾斜角与方向向量的关系 例3 (1)若直线l的一个方向向量是e=(-1,),则直线l的倾斜角是 (　 ) A. B. C. D. (2)若直线l的倾斜角等于135°,则下列向量中不是直线l的方向向量的是 (　 ) A.(2,2) B.(-3,3) C.(,-) D. 变式 若直线l的一个方向向量为a=,则直线l的倾斜角θ=　　　　.  [素养小结] 在运用直线的倾斜角与方向向量的关系时,常常由倾斜角求出斜率,再利用斜率与方向向量的关系来求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 【课前预习】 知识点一 k=tan α　增大　增大　不存在 诊断分析 (1)×　(2)√ 知识点二 (x2-x1,y2-y1)　k==tan α　v=(1,k)　k= 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 【课中探究】 例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)经过A(2,0),B(-1,)两点的直线的斜率kAB==-,设该直线的倾斜角为α,则tan α=-,又0°≤α<180°,所以α=150°.故选D. (2)因为直线l的倾斜角为α,所以α∈[0,π).由-1≤k≤可得-1≤tan α≤,所以α∈∪.故选B. 变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)由题图知直线l1的倾斜角为钝角,∴k1<0.∵直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角较大,∴0<k3<k2,∴k1<k3<k2.故选D. (2)如图所示,设直线l的倾斜角为α,α∈[0,π),由题知kPA==-1,kPB==1.∵直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,∴kPA≤tan α≤kPB,即-1≤tan α≤1,∴α∈∪.故选A. 拓展　D　[解析] 因为直线y=2-xtan 36°的斜率为-tan 36°,且-tan 36°=tan(180°-36°)=tan 144°,所以直线y=2-xtan 36°的倾斜角为144°.故选D. 例2　(1)C　(2)BD　[解析] (1)因为A(-1,2),B(3,4),所以=(4,2),因为(-4,-2)=-,所以向量(-4,-2)与共线,故直线l的一个方向向量的坐标是(-4,-2).故选C. (2)在直线y=-x-上取点P1(1,-1),P2(-2,1),则直线的一个方向向量的坐标为(-2-1,1-(-1))=(-3,2),故D正确;对于A,因为2×2-3×(-3)≠0,所以向量(2,3)与(-3,2)不共线,A不正确;对于B,因为-3×-2×1=0,所以向量与(-3,2)共线,故B正确;对于C,因为-3×2-(-2)×(-3)≠0,所以向量(-3,-2)与(-3,2)不共线,C不正确.故选BD. 变式　(1)C　(2)(2,2)(答案不唯一)　[解析] (1)方法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得=(-2,-3-y)=2,又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),所以=-1,解得y=-1,故选C. 方法二:由直线的一个方向向量为n=(-1,-1),得直线的斜率为=1,所以=1,解得y=-1.故选C. (2)直线l:y=kx过原点O,且过点A(2,2),则=(2,2),所以直线l的一个方向向量的坐标为(2,2)(答案不唯一,与=(2,2)共线的非零向量的坐标均可). 例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)由题意得直线l的斜率为-,则直线l的倾斜角是,故选C. (2)因为直线l的倾斜角等于135°,所以其斜率k=tan 135°=-1,因此直线l的方向向量的坐标是(m,-m)(m∈R,m≠0),故选A. 变式　　[解析] ∵直线l的一个方向向量为a=,∴斜率k====tan,∴直线l的倾斜角θ=. 学科网（北京）股份有限公司 $