1.2.3直线与圆的位置关系讲义-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 1.2.3直线与圆的位置关系 知 识 梳 理 一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离. (2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离. 注意：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. (2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. (3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 二：圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是. 三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=． 注意： 设直线的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为（x―x0）2+（y―y0）2=r2，求弦长的方法有以下两种： （1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2=r2―d2． 则弦长|AB|=2|BC|，即． （2）代数法：解方程组， 消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则 例题讲解 考点一 直线与圆的位置关系 例1、圆：与直线：的位置关系为( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解析】圆：的圆心为，半径，直线：即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A 例2、直线与圆的位置关系为(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】由题知，圆心坐标，半径，将直线化为点斜式得， 知该直线过定点，又，故该定点在圆内，所以该直线与圆必相交.故选：C 例3、(多选)已知直线，圆，则下列说法正确的是(    ) A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则 B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则 C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 【答案】ACD 【解析】圆的圆心为，半径为2， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离为3， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离大于1，小于3， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确.故选：ACD 例4、已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x2+y2=4，∴圆心为（0，0），半径r=2. 又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为.∴直线与圆相交. 解法二：∵ ∴（2x+1）2+x2=4，即5x2+4x-3=0. 判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0.∴直线与圆相交. 例5、已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 【答案】（1）m＞0或（2）m=0或（3） 【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m2）x2―2（m2+2m+2）x+m2+4m+4=0． ∵Δ=4m（3m+4），∴当Δ＞0时，即m＞0或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4，即圆心为C（2，1），半径r=2． 圆心C（2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离． 当d＜2时，即m＞0或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d＞2时，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 例6、已知P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，试判断直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系． 【答案】相离 【解析】 ∵点P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，∴． 又圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离为，且， ∴，∴，即d＞R．∴直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2相离． 例7、已知直线与曲线. （1）求证:不论为何值,直线和曲线恒有两个交点; （2）求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直线的方程. 【答案】（1）略（2） 【证明】（1） 证法一：将直线与曲线C的方程联立得， 消去y得(1+k2)x2―2(4k2+k+3)x+2(8k2+4k+3)=0． ③ ∵Δ=4(4k2+k+3)2―8(1―k2)(8k+4k+3)=12k2―8k+12=， ∴方程③有两相异实根，从而，由①②组成的方程组有两组解，即直线与曲线C恒有两个交点． 证法二：将曲线C的方程配方得(x―3)2+(y―4)2=4，它表示以C（3，4）为圆心，2为半径的圆． 设圆心C到直线的距离为d，则，即， ∴直线与曲线C恒有两个交点． 证法三：注意到直线：kx―y―4k+3=0可化为y―3=k(x―4)，可知直线恒过定点A（4，3）． ∵曲线C是以C（3，4）为圆心，2为半径的圆，（见“证法二”） 又42+32－6×4－8×3+21＜0，即点A在圆C内， ∴直线与曲线C恒有两个交点． （2）设直线被曲线C所截的线段为AB，当PQAB时，最小，直线PQ的斜率， 所以直线AB的斜率，其方程为： 考点二 直线与圆的弦长 例1、已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为(    ) A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为5， 则到直线的距离为， 即直线和圆相交， 故直线被圆截得的弦的长度为，故选：D 例2、若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】  当最短时，直线，所以.又，所以， 所以的方程为，即.故选：D 例3、直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程． 【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0 【解析】法一：根据题意知直线的斜率存在，设直线的方程为y―5=k（x―5） 圆心（0，0）到直线的距离，在由弦长的一半、半径和距离构成的直角三角形中， ，解得或k=2故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0． 法二：根据题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）, 联立方程，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0， ∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0． 又，． 由斜率公式，得y1―y2=k（x1―x2）， ∴ ． 两边平方，整理得2k2―5k+2=0，解得或k=2，符合题意． 故直线的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0． 考点三 圆的切线方程 例1、过点作圆的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心， ∵，则点在圆上，即点为切点， 则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率， 故切线的方程，即.故答案为：. 例2、过点的圆的切线方程为 ． 【答案】或 【解析】当切线的斜率不存在时，切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径，∴，解得， ∴切线方程为，综上所述，切线方程为或．故答案为：或． 例3、由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为.故答案为：. 例4、过点与圆相切的两条直线的夹角为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆可化为，则圆心，半径为；    设，切线为、，则， 中，，所以．故选：C． 例5、过点作圆的切线,求切线的方程. 【答案】或 【解析】因为，所以点在圆外． 法一：设过点与圆相切的直线为,即. 因为圆心到的距离,则,即.解得或. 从而,切线方程为或. 解法二:设过点与圆相切的直线为.由 可得.从而. 解得或.从而,切线方程为或. 例6、过点A（4，―3）作圆C：(x―3)2+(y―1)2=1的切线，求此切线方程． 【答案】15x+8y―36=0 【解析】∵(4―3)2+(―3―1)2=17＞1，∴点A在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x―4)． 因为圆心C（3，1）到切线的距离等于半径1，所以，解得． 所以切线方程为，即15x+8y―36=0． ②若切线斜率不存在，圆心C（3，1）到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是x=4，综上，所求切线方程为15x+8y―36=0或x=4． 举一反三 1．已知圆，直线，则圆C与直线l(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 【答案】B 【解析】由可得，故圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆C相切．故选：B 2．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为(    ) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解析】由题意知为圆内异于圆心的一点，则， 而圆：的圆心到直线的距离为， 故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C 3．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】圆的方程可化为，其圆心坐标为，半径为， 当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立； 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.故选：C. 4．已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】圆的方程可化为，其圆心坐标为，半径为， 当时，直线，圆心到直线的距离，此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，故充分性成立；当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1时， 圆心到直线的距离，所以，解得，故必要性成立， 所以“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的充要条件.故选：C. 5.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2,3），半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线距离等于2，解得或，因为是下半圆，故可得（舍），当直线过（0,3）时，解得，故，所以C正确． 6.已知直线：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C：(x―1)2+(y―2)2=25，则m为任意实数时，与C是否必相交？ 【答案】相交 7.求实数m的范围，使直线与圆分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离． 【答案】（1）或（2）（3） 【解析】圆的方程化为标准为，故圆心（3，0）到直线的距离，圆的半径． （1）若相交，则，即，所以或． （2）若相切，则，即，所以． （3）若相离，则，即，所以． 8．若圆与y轴交于A，B两点，则(    ) A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D 9．(多选)已知直线：与圆：相交于，两点，则(    ) A．圆心到直线的距离为1 B．圆心到直线的距离为2 C． D． 【答案】BD 【解析】因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确． 因为，所以C错误，D正确．故选：BD 10．(多选)已知圆，下列说法正确的是(    ) A．圆心为 B．半径为2 C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为 【答案】BD 【解析】将圆化为标准方程得，可知圆心，半径，故A错误，B正确；由圆心到直线的距离，即，直线与圆相切，故C错误；圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，所以D正确.故选：BD. 11.求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0 【解析】如图所示，，，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，． 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y+4=k（x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为， ∴，即17k2+24k+7=0，∴k1=―1，． ∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 12.已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）x―1=0或3x+4y－11=0 【解析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），依题意，有， 即，解得a=2，所以圆C的方程为． （Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=1符合题意． 设直线l方程为y―2=k(x―1)，即kx―y―k+2=0，则，解得， 所以直线l的方程为，即3x+4y―11=0． 综上，直线l的方程为x―1=0或3x+4y－11=0． 13．圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】设圆的圆心，点 将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，所以切线斜率， 切线方程为，即.故答案为： 14．过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为， 故答案为：或 ． 15．已知圆C经过点A（2，0）、，且圆心C在直线y=x上． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l截圆所得弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）x2+y2=4；（2）x=1或 【解析】（1）AB的中点坐标，AB的斜率为．可得AB垂直平分线为，与x―y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过， ∴直线l的方程为，即，则圆心（0，0）到直线的距离， 又圆的半径r=2，截得的弦长为，则有，解得：， 则直线l的方程为． 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意． 直线l的方程：x=1或． 16.已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=4，直线l1过定点A（1，0）． （1）若l1与圆C相切，求l1的方程； （2）若l2一圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程． 【答案】（1）x=1或3x―4y―3=0；（2）y=x―1，或y=7x―7 【解析】（1）①若直线l1的斜率不存，则直线l1：x=1，符合题意． ②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x―1)，即kx―y―k=0． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得． 所求直线l1的方程是x=1或3x―4y―3=0． （2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx―y―k=0， 则圆心到直线l1的距离 又∵三角形CPQ面积 ∴当时，S取得最大值2．∴，k=1或k=7．∴直线方程为y=x―1，或y=7x―7． 17.已知点P(，)是圆上一点，求证：过P点的圆的切线方程是：. 【解析】当时，过P点切线方程为；当时，可设切线斜率为k. 法一：方程组，判别式为0；过P切线方程 ∴ 代入 ∴ 由△=0，可解得(较繁琐，过程略)从而可得切线方程： 即 . 法二：∵ ，由 ， ∴ ∴ 切线方程为： 即 . 法三：平面几何法.点O到切线的距离为半径； 设过P切线方程 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 下同法二. 课 后 作 业 1．若直线与圆相交，则点(    ) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：，即， 据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.故选：B. 2．已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：B 3．已知圆：，直线：，则(    ) A．直线在y轴上的截距为1 B．直线的倾斜角为 C．直线与圆有2个交点 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABC 【解析】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确； B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确； C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确； D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.故选：ABC 4．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ） A． B． C．(x―5)2+y2=5 D．(x+5)2+y2=5 【答案】D 【解析】 设圆心O（a，0）（a＜0），则，又圆O位于y轴左侧，所以a=―5，即圆O的方程为(x+5)2+y2=5． 5．(多选)已知直线与圆，则下列说法正确的是(    ) A．直线恒过定点 B．圆的圆心坐标为 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，直线被圆截得的弦长为4 【答案】ABD 【解析】变形为，故恒过定点正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线被圆截得的弦长为直径4，D正确．故选：ABD． 6．(多选)已知直线：与圆：．则下列说法正确的是(    ) A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确；    对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确.故选：AD. 7．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为(    ) A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为，可得圆心距， 如图，，所以， 当共线时，取得最小值，故的最小值为.    故选：B 8．直线ax―y+3=0与圆相交于A、B两点且，则a的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】圆的圆心为M（1，2），半径r=2．因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得：a=0，故选：D． 9．(多选)圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有(   ) A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．若到直线的距离为2，则点有2个 D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是 【答案】BCD 【解析】对于A，由圆：，得圆的标准方程为，圆心为，半径，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A错误；对于B，圆心到直线的距离，所以的最小值为，故B正确； 对于C，设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设，由，解得：或.当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为2；当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，不合题意. 综上所述，圆上到直线的距离为2的点有且只有2个，故C正确 对于D，过作与圆相切于，连结. 则切线长要使切线长最小，只需最小.又点到圆心的最小值为圆心到直线的距离，由勾股定理得切线长的最小值为，故D正确.故选：BCD. 10．已知直线l：kx+y―2=0（k∈R）是圆C：x2+y2―6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由圆C：x2+y2―6x+2y+9=0得，(x―3)2+(y+1)2=1，表示以C（3，―1）为圆心、半径等于1的圆． 由题意可得，直线l：kx+y―2=0经过圆C的圆心（3，―1），故有3k―1―2=0，得k=1，则点A（0，1）， 即．则线段．故选D． 11．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为， 设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. 12．过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 设是直线的动点，自向圆作切线， 当长最短时，两切线所成的角最大， 即是圆心到直线的距离时，两切线所成的角最大， 由点到直线的距离公式可得，，，， ．故选：C． 13．(多选)已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 (    ) A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为 C．的最大值为 D．的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】由圆，可得，可得圆心，半径为， 因为点分别为直线与轴、轴的交点，可得， 对于A中，因为圆心到直线的距离为，所以A正确； 对于B中，由圆截轴的弦长为，所以B不正确； 对于C中，点在圆上，且，其中，所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，因为圆心到直线的距离为， 则圆上点到直线的最小距离为， 因为，所以的面积的最小值为，所以D正确.故选：ACD. 14．“”是“直线与圆相离”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将配方，即， 表示圆需满足， 所以或，其圆心为，半径为， 因为直线与圆相离， 故圆心到直线的距离，解得， 结合或可得或， () 则成立推不出直线与圆相离； 反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件，故选：B 15．关于曲线C：，下列说法正确的是(    ) A．曲线C可能经过点 B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条 C．若，曲线C表示两条直线 D．若，则直线被曲线C截得弦长等于 【答案】B 【解析】A. 将点代入方程得，即，方程无解，所以曲线C不可能经过点，故错误； B.若，曲线C：表示以为圆心，以为半径，又原点到圆心的距离为，且，所以原点在圆外，所以过原点与曲线C相切的直线有两条，故正确； C. 当时，曲线C：，则，解得，表示点，故错误； D. 当时，曲线C： ，圆心在直线上，所以直线被曲线C截得弦长为直径，等于2，故错误.故选：B 16．若过点且与圆相切的直线只有一条，则 . 【答案】0 【解析】由题意可得点在圆上，所以，解得.故答案为：0. 17．过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 . 【答案】或 【解析】圆化为标准方程为，圆心，半径为1， 当直线的斜率不存在时，直线：，此时直线与圆不相切，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，由题意， 所以，平方化简得，解得或.故答案为：或. 18．已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为： 19．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【解析】圆的标准方程为：， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离相等，即，化简得， 解得，，综上：直线方程为：，故答案为： 20．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】由圆的方程，得，此圆的圆心为，半径为2， 显然点在圆上，因此直线l垂直于经过点、点的直线， 所以直线l的方程为.故答案为： 25．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【解析】圆的圆心为， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接． 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为．    故答案为：. 21．过点引圆切线，则切线长是 . 【答案】3 【解析】把圆的方程化为标准方程得：，得到圆心坐标为，圆的半径， ，切线长是，故答案为：3 22．已知圆C：x2+(y―1)2=5，直线：mx―y+1―m=0， （1）求证：对任意m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点． （2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角； （3）求弦AB的中点M的轨迹方程； （4）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程． 【答案】（1）略（2）或（3）x2+y2―x―2y+1=0（x≠1）（4）x―y=0或x+y―2=0 【解析】（1）由已知直线：y―1=m(x－1 )，知直线恒过定点P（1，1）． ∵12=1＜5，∴P点在圆C内． 则直线与圆C总有两个不同的交点． （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1、x2为方程组的两个实根， ∵，∴， ∴m2=3，．∴的倾斜角或． （3）∵C（0，1）、P（1，1），|CM|2+|PM|2=|CP|2， 设M（x，y），∴x2+(y―1)2+(x―1)2+(y―1)2=1． 整理得轨迹方程为：x2+y2―x―2y+1=0（x≠1）． （4）∵，∴，∴． 又∵，∴，即， 解方程(1+m2)x2―2m2x+m2―5=0，得． ∴，解得m=±1． ∴x―y=0或x+y―2=0． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.2.3直线与圆的位置关系 知 识 梳 理 一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离. (2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离. 注意：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. (2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. (3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 二：圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是. 三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=． 注意： 设直线的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为（x―x0）2+（y―y0）2=r2，求弦长的方法有以下两种： （1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2=r2―d2． 则弦长|AB|=2|BC|，即． （2）代数法：解方程组， 消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则 例题讲解 考点一 直线与圆的位置关系 例1、圆：与直线：的位置关系为( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 例2、直线与圆的位置关系为(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 例3、(多选)已知直线，圆，则下列说法正确的是(    ) A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则 B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则 C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 例4、已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系. 例5、已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 例6、已知P（x0，y0）在圆x2+y2=R2的内部，试判断直线直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系． 例7、已知直线与曲线. （1）求证:不论为何值,直线和曲线恒有两个交点; （2）求当直线被曲线所截的线段最短时此线段所在的直线的方程. 考点二 直线与圆的弦长 例1、已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为(    ) A．2 B．7 C． D． 例2、若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为(    ) A． B． C． D． 例3、直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程． 考点三 圆的切线方程 例1、过点作圆的切线，则切线的方程为 . 例2、过点的圆的切线方程为 ． 例3、由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 例4、过点与圆相切的两条直线的夹角为，则(    ) A． B． C． D． 例5、过点作圆的切线,求切线的方程. 例6、过点A（4，―3）作圆C：(x―3)2+(y―1)2=1的切线，求此切线方程． 举一反三 1．已知圆，直线，则圆C与直线l(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心 2．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为(    ) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 3．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的值范围是（ ） A． B． C． D． 6.已知直线：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4，圆C：(x―1)2+(y―2)2=25，则m为任意实数时，与C是否必相交？ 7.求实数m的范围，使直线与圆分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离． 8．若圆与y轴交于A，B两点，则(    ) A．2 B．4 C． D． 9．(多选)已知直线：与圆：相交于，两点，则(    ) A．圆心到直线的距离为1 B．圆心到直线的距离为2 C． D． 10．(多选)已知圆，下列说法正确的是(    ) A．圆心为 B．半径为2 C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为 11.求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程． 12.已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程． 13．圆在点处的切线方程为 . 14．过点且与圆：相切的直线方程为 15．已知圆C经过点A（2，0）、，且圆心C在直线y=x上． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l截圆所得弦长为，求直线l的方程． 16.已知圆C：(x―3)2+(y―4)2=4，直线l1过定点A（1，0）． （1）若l1与圆C相切，求l1的方程； （2）若l2一圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程． 17.已知点P(，)是圆上一点，求证：过P点的圆的切线方程是：. 课 后 作 业 1．若直线与圆相交，则点(    ) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 2．已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 3．已知圆：，直线：，则(    ) A．直线在y轴上的截距为1 B．直线的倾斜角为 C．直线与圆有2个交点 D．圆上的点到直线的最大距离为 4．若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ） A． B． C．(x―5)2+y2=5 D．(x+5)2+y2=5 5．(多选)已知直线与圆，则下列说法正确的是(    ) A．直线恒过定点 B．圆的圆心坐标为 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，直线被圆截得的弦长为4 6．(多选)已知直线：与圆：．则下列说法正确的是(    ) A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 7．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为(    ) A．5 B．3 C．2 D．1 8．直线ax―y+3=0与圆相交于A、B两点且，则a的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．(多选)圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有(   ) A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．若到直线的距离为2，则点有2个 D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是 10．已知直线l：kx+y―2=0（k∈R）是圆C：x2+y2―6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 11．若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 12．过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则(    ) A． B． C． D． 13．(多选)已知点在圆上，点分别为直线 与轴，轴的交点，则下列结论正确的是 (    ) A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为 C．的最大值为 D．的面积的最小值为 14．“”是“直线与圆相离”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．关于曲线C：，下列说法正确的是(    ) A．曲线C可能经过点 B．若，过原点与曲线C相切的直线有两条 C．若，曲线C表示两条直线 D．若，则直线被曲线C截得弦长等于 16．若过点且与圆相切的直线只有一条，则 . 17．过点的直线与圆相切，则直线的斜率为 . 18．已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为 . 19．经过点且与圆相切的直线方程为 ． 20．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为 ． 25．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 21．过点引圆切线，则切线长是 . 22．已知圆C：x2+(y―1)2=5，直线：mx―y+1―m=0， （1）求证：对任意m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点． （2）设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角； （3）求弦AB的中点M的轨迹方程； （4）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$