1.1.4 第1课时 两条直线平行(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.4　两条直线的平行与垂直 第1课时　两条直线平行 【学习目标】 　　1.理解两条直线平行的条件. 　　2.能根据斜率与法向量判定两条直线平行. 　　3.能应用两条直线平行解决相关问题. ◆ 知识点　两条直线相交、平行、重合 已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1与l2相交⇔　　　　;  l1与l2平行⇔　　　　　　　　;  l1与l2重合⇔　　　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两条直线平行,那么这两条直线的斜率一定相等. (　 ) (2)如果两条直线平行,那么这两条直线的法向量一定相等. (　 ) (3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. (　 ) (4)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相同. (　 ) (5)若两条直线的斜率都不存在,且两条直线不重合,则这两条直线平行. (　 ) ◆ 探究点一　两条直线平行的判定 例1 判断下列各组直线是否平行,并说明理由: (1)l1:y=2x+1,l2:y=2x-1; (2)l3:2x-y-7=0,l4:x+2y-1=0. 例2 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); (2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3); (3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2); (4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5). 变式 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(3,7),B(4,6),C(1,-2),D(0,-1),判断该四边形的形状. [素养小结] 判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一是判断两直线的法向量或方向向量是否共线;二是利用斜率判定.利用斜率判定两条不重合的直线平行的方法如下: 拓展 若一束光线从点P(0,1)出发,射到x轴上的A点后被反射,反射光线过点Q(2,3),则点A的坐标为　　　　.   ◆ 探究点二　已知平行求直线方程 例3 已知直线l经过点M(2,1),且与直线m:2x-y=0平行,则l的方程为　　　　　.  变式 过点P(1,2)作直线l,若点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线l的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4x+y-6=0或x=1 B.3x+2y-7=0 C.4x+y-6=0或3x+2y-7=0 D.3x+2y-7=0或x=1 [素养小结] 求与已知直线平行的直线的方程时,常常有两种方法:①由两平行直线(倾斜角不为90°)的斜率相等,求出所求直线的斜率,再结合条件求解;②由两直线的法向量或方向向量共线来求解. ◆ 探究点三　已知两直线平行求参数 例4 (1)已知直线l1:(m+3)x+5y=5-3m,l2:2x+(m+6)y=8,若l1∥l2,则m的值是　　　　.  (2)直线l经过点A(m,2),B(-1,m),若直线l与直线y=x+1平行,则m=　　　　.  变式 若直线ax+(1-b)y+5=0和直线(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则 (　 ) A.a=,b=0 B.a=2,b=0 C.a=-,b=0 D.a=-,b=2 [素养小结] (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行时,可直接利用向量共线或直线方程的系数间的关系得出结论. 拓展 已知直线l1:x+ysin α-1=0和直线l2:2x·sin α+y+1=0,若l1∥l2,求α的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　两条直线的平行与垂直 第1课时　两条直线平行 【课前预习】 知识点 k1≠k2　k1=k2且b1≠b2　k1=k2且b1=b2 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 【课中探究】 例1　解:(1)由直线l1,l2的方程可知两直线的斜率都为2, 且直线l1,l2在y轴上的截距分别为1和-1, 所以l1与l2不重合,所以l1∥l2. (2)由直线l3,l4的方程可知两直线的斜率分别为k3=2,k4=-,显然k3≠k4,所以l3与l4不平行. 例2　解:(1)由题意知,直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==-,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kBC==-≠-,所以l1∥l2. (2)由题意知,直线l1的斜率k1==1,直线l2的斜率k2==1,所以直线l1与直线l2平行或重合, 又kFG==1,所以直线l1与直线l2重合. (3)由题意知,直线l1的斜率k1=tan 60°=,直线l2的斜率k2==,则k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合. (4)由题意知l1的斜率不存在,且不与y轴重合,l2的斜率也不存在,且与y轴重合,所以l1∥l2. 变式　解:由题可知,四边形ABCD的任意三个顶点不共线,kAB==-1,kCD==-1,kAD==,kBC==, 由kAB=kCD,kAD=kBC,可得四边形ABCD为平行四边形. 拓展　　[解析] 方法一(利用斜率):点Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),连接AQ',设A(x0,0).∵P,A,Q'三点共线,∴-=,∴x0=,即A. 方法二(利用方向向量):点Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),连接PQ',设A(x0,0).依题意得=(x0,-1),=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=,即A. 例3　2x-y-3=0　[解析] 方法一:因为直线l经过点M(2,1),且与直线m:2x-y=0平行,所以可设直线l的方程为2x-y+λ=0(λ≠0),从而有2×2-1+λ=0,解得λ=-3,即直线l的方程为2x-y-3=0. 方法二:由直线l与直线m:2x-y=0平行,得l的一个法向量的坐标为(2,-1),又直线l过点(2,1),所以l的方程为2(x-2)-(y-1)=0,即2x-y-3=0. 变式　C　[解析] 分以下两种情况讨论:①若l∥AB,则直线l的斜率k=kAB==-4,此时直线l的方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0;②若直线l过线段AB的中点M(3,-1),则直线l的斜率k==-,此时,直线l的方程为y-2=-(x-1),即3x+2y-7=0.综上所述,直线l的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.故选C. 例4　(1)-8　(2)　[解析] (1)当m+6=0,即m=-6时,l1:-3x+5y=23,l2:2x=8,显然不满足题意;当m+6≠0,即m≠-6时,由题意得=≠,可得m=-8. (2)∵直线l经过点A(m,2),B(-1,m),且与直线y=x+1平行,∴=1,解得m=,当m=时,直线l的方程为y=x+,满足题意. 变式　C　[解析] ∵直线ax+(1-b)y+5=0和直线(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,∴=≠,且=≠,解得a=-,b=0,故选C. 拓展　解:当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.当sin α≠0时,直线l1的方程可化为y=-x+,直线l2的方程可化为y=-2xsin α-1,若l1∥l2,则-=-2sin α,且≠-1,得sin α=±,所以α=kπ±,k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $