第1章 1.4 第2课时 两条直线垂直（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线垂直”核心知识点，基于直线斜率、方向向量等前置知识，推导得出斜率存在时k1k2=-1及斜率为0与不存在时的垂直判定条件，构建完整的知识体系作为后续几何问题解决的学习支架。 该资料以问题链驱动探究，通过方向向量垂直引导学生抽象出垂直条件，培养数学眼光。例题涵盖多种情形及斜率法、法向量法等解题思路，训练分类讨论的数学思维。课时对点练分层设计，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第2课时　两条直线垂直 学习目标　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会用条件判定两条直线是否垂直.3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应的几何问题. 导语 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么怎样通过直线的斜率来判断两条直线垂直的位置关系呢？ 一、两条直线垂直的判定 问题1　平面中，两条不重合的直线l1，l2，当其斜率都存在时，设它们的斜率分别为k1，k2，则两条直线的一个方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示　k1·k2＝－1. 问题2　若直线l1的方向向量为v1＝(a，0)(a≠0)，l2的方向向量为v2＝(0，b)(b≠0)，l1与l2垂直吗？ 提示　垂直. 知识梳理 1.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2.当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 例1　(课本例18)　判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝3x+2，l2：y＝－x+1； (2)l1：x+2y－1＝0，l2：2x－y＝0； (3)l1：x+2＝0，l2：2y＝1. 解　(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝3，k2＝－. 因为k1k2＝3×＝－1，所以l1⊥l2. (2)方法一　设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－，k2＝2. 因为k1k2＝×2＝－1，所以l1⊥l2. *方法二　由两条直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(1，2)，n2＝(2，－1). 因为n1·n2＝(1，2)·(2，－1)＝2－2＝0，所以l1⊥l2. (3)由两个方程，可知l1∥y轴，l2∥x轴，所以l1⊥l2. 例1　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2 025，l2：x＝2 024. 解　(1)∵k1＝－3，k2＝， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. (2)方法一　∵k1＝－，k2＝， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 方法二　由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4). ∵n1·n2＝0，∴l1⊥l2. (3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2. 反思感悟　判断两条直线是否垂直的方法 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. (2)若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直. 跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 答案　ABD 解析　A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； B中，l2过点P(1，1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直； C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直； D中，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝，故两条直线垂直. 二、求与已知直线垂直的直线 例2　(课本例19)　求经过点A(2，3)，且垂直于直线l：2x+y－1＝0的直线的方程. 解　依据条件，设所求直线的方程为y－3＝k(x－2). 将直线l：2x+y－1＝0化为y＝－2x+1. 依题意，有－2k＝－1，得k＝. 所以所求直线的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y+4＝0. 例2　已知三角形的三个顶点A(－2，0)，B(4，－4)，C(0，2). (1)求线段BC的垂直平分线的方程； (2)求AB边上的高所在直线的方程. 解　(1)∵BC的中点为(2，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝－，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝，其方程为y＋1＝(x－2)，即2x－3y－7＝0. (2)∵边AB所在直线的斜率 kAB＝＝－， ∴AB边上的高所在直线的斜率k'＝， ∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝x， 即3x－2y＋4＝0. 反思感悟　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 跟踪训练2　求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1，∴k＝， 又∵直线l经过点A(2，1)， ∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， 即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2，1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 三、根据两直线垂直求参数的值 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为　　　　. 答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号. (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为　　　　. 答案　－或－1 解析　由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 解得m＝－或－1. 反思感悟　解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系. (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练3　(1)过点A，B(7，0)的直线l1与过点(2，1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　) A.－3 B.3 C.－6 D.6 答案　B 解析　由题意知l1⊥l2， ·×＝－1，得k＝3. (2)直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A.－4 B.2 C.－2 D.4 答案　C 解析　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0，∴a＝－1， ∴直线l1：2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2. 1.知识清单：两直线垂直的条件. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　A 解析　∵l1⊥l2，∴－×＝－1， ∴a＝－. 2.过点(1，0)且与直线x－2y＝0垂直的直线方程是(　　) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 答案　C 解析　过点(1，0)且与直线x－2y＝0垂直的直线的斜率为－2，则根据点斜式可得直线的方程为y－0＝－2×(x－1)，整理得2x＋y－2＝0. 3.已知直线l1：mx＋3y＝2－m，l2：x＋(m＋2)y＝1.若l1⊥l2，则实数m＝　　　　. 答案　－ 解析　因为l1⊥l2，所以m×1＋3(m＋2)＝0， 解得m＝－. 4.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(1，－2)，C(－2，4)，则BC边上的高所在直线的斜率k为　　　　. 答案　 解析　BC边上的高所在的直线与BC边所在的直线垂直，又kBC＝＝－2，所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A.平行或重合 B.平行 C.垂直 D.重合 答案　C 解析　因为k1＝tan 60°＝，k2＝＝－，所以k1k2＝－1，即直线l1，l2的位置关系是垂直. 2.(多选)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为(　　) A. B.a C.－ D.不存在 答案　CD 解析　当a≠0时，由l1⊥l2，得＝－， 当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在. 3.过点A(3，4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程是(　　) A.2x＋y－10＝0 B.x＋2y－11＝0 C.x－2y＋5＝0 D.x－2y－5＝0 答案　A 解析　设经过点A(3，4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，所求直线方程为2x＋y－10＝0. 4.已知平面内有A(7，0)，B(3，2)，C(4，4)三点，则(　　) A.△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90° B.△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90° C.△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90° D.△ABC不是直角三角形 答案　B 解析　∵kAB＝＝－，kBC＝＝2， ∴kAB·kBC＝－1，∴∠ABC＝90°，故选B. 5.在平面直角坐标系内点A(4，2)，B(1，－2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标为(　　) A.(3，0) B.(0，0) C.(5，0) D.(0，0)或(5，0) 答案　D 解析　设C(x0，0)，则kAC＝， kBC＝. ∵∠ACB＝，∴AC⊥BC， 则kAC·kBC＝－1，即·＝－1， 解得x0＝0或x0＝5， ∴点C的坐标为(0，0)或(5，0). 6.A，B两点的坐标分别为(3，1)和(1，3)，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　) A.x－y＝0 B.x＋y－4＝0 C.x＋y＝0 D.x－y＋4＝0 答案　A 解析　由题意得直线AB的两点式为，即x＋y－4＝0，设直线AB的垂线为x－y＋D＝0，线段AB的中点坐标为(2，2)，将中点坐标代入方程可得2－2＋D＝0， 则D＝0， ∴x－y＝0， ∴线段AB的垂直平分线的方程为x－y＝0. 7.(5分)若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于　　　　. 答案　 解析　由题意得l1⊥l2， ∴2a－3＝0，解得a＝. 8.(5分)直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝　　　　，若l1∥l2，则m＝　　　　. 答案　－2　2 解析　直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，所以k1·k2＝，若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2. 9.(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断l1与l2是否平行；(5分) (2)当l1⊥l2时，求实数a的值.(5分) 解　(1)由两直线平行的充要条件， 得 即解得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. (2)由两直线垂直的充要条件，得a＋2(a－1)＝0， 即a＝.故当l1⊥l2时，实数a的值为. 10.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2，0). (1)求直线CD的方程；(5分) (2)求AB边上的高CE所在的直线方程.(5分) 解　(1)因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD， 设直线CD的方程为2x－y＋m＝0(m≠－2)， 将点C(2，0)代入上式得m＝－4， 所以直线CD的方程为2x－y－4＝0. (2)方法一　设直线CE的方程为x＋2y＋n＝0， 将点C(2，0)代入上式得n＝－2. 所以直线CE的方程为x＋2y－2＝0. 方法二　设直线CE的方程为y＝k(x－2)， 即kx－y－2k＝0， 其法向量为n1＝(k，－1). 又直线AB的方程为2x－y－2＝0， 其法向量为n2＝(2，－1). 因为CE⊥AB，所以n1·n2＝0， 即2k＋1＝0，故k＝－. 所以直线CE的方程为－x－y＋1＝0， 即x＋2y－2＝0. 11.(多选)已知直线l1：3x＋y－3＝0，直线l2：6x＋my＋1＝0，则下列表述正确的有(　　) A.直线l2的斜率为－ B.若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝－18 C.直线l1的倾斜角的正切值为3 D.若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2 答案　BD 解析　对于A，当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故A错误；对于B，若l1⊥l2，则3×6＋1×m＝0，所以m＝－18，故B正确；对于C，直线l1的斜率为－3，故C错误；对于D，若l1∥l2，则－3＝－，且3≠－，所以m＝2，故D正确. 12.(多选)若直线3x＋2y＋6＝0，2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，则m的值可以为(　　) A.0 B.1 C.－1 D.－ 答案　ACD 解析　由题意，若直线3x＋2y＋6＝0和2x－3m2y＋18＝0垂直，可得3×2＋2×(－3m2)＝0，解得m＝±1.经验证，当m＝1时，有两条直线平行，构不成三角形；当m＝－1时，符合题意.同理，若直线3x＋2y＋6＝0和2mx－3y＋12＝0垂直，可得6m－6＝0，解得m＝1，应舍去；若直线2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0垂直，可得4m＋9m2＝0，解得m＝0或m＝－，经验证均符合题意.故m的值为0，－1，－. 13.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，则△ABC一定是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　当cos A＝0，cos B＝0时，两直线方程为x＝0，y＝0，相互垂直，因为角A，B，C是△ABC的内角，所以cos A与cos B不可能同时为0，故排除这种情况； 因为直线ax＋ycos A－cos B＝0与xcos B－by＋cos A＝0垂直，所以acos B－bcos A＝0， 即sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0，A＝B， 故△ABC一定是等腰三角形. 14.(5分)与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0 解析　由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0，与x轴交于点B，与y轴交于点A， 令x＝0，可得y＝－，即A， 令y＝0，可得x＝－，即B， 又∵△AOB的周长为10， 即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10， ∴＝10， 解得b＝±10. 故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0. 15.(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝　　　　　. 答案　4＋ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知， 直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝－， 解得m＝4＋. 16.(12分)已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(6分) (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.(6分) 解　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1. ① 由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2. ② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1). (2)设Q(x，0)，∵∠NQP＝∠NPQ， ∴kNQ＝－kNP. 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1，0). 又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $