1.1.3 第3课时 直线方程的一般式(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第3课时　直线方程的一般式 【学习目标】 　　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的一般式. 　　2.会进行直线方程的五种形式之间的转化. ◆ 知识点一　直线方程的一般式 关于x,y的二元一次方程　　　　　　　(其中A,B不全为0)表示的是一条直线,称它为直线方程的　　　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线方程的一般式都可以化为截距式. (　 ) (2)直线方程的一般式都可以化为斜截式. (　 ) (3)平面直角坐标系中的任何一条直线都可以用直线方程的一般式表示. (　 ) ◆ 知识点二　直线方程的点法式 若直线l过点P0(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),则直线l的方程为　　　　　　　,称这个方程为直线方程的点法式.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何直线的方程都可以化为点法式. (　 ) (2)直线Ax+By+C=0的一个法向量的坐标为(B,-A). (　 ) (3)直线Ax+By+C=0的一个方向向量的坐标为(B,-A). (　 ) ◆ 探究点一　直线方程的一般式 例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)斜率是,且经过点A(5,3); (2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (3)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1; (4)经过点B(4,2),且平行于x轴. 变式1 若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.m≠0 B.m≠2 C.m≠±2 D.m≠±2且m≠0 变式2 求直线x-2y+2=0绕点(-2,0)按逆时针方向旋转后所得到的直线的方程. [素养小结] 1.求直线方程的一般式的方法 2.由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时,一定要注意转化的前提条件. ◆ 探究点二　直线方程一般式的应用 例2 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0. (1)若直线l在x轴上的截距为-3,求m的值; (2)若直线l的斜率为1,求m的值. 变式 (1)[2024·北京101中学高二月考] 由曲线2|x|+|y|=2围成的图形的面积为 (　 ) A.2 B.4 C.5 D.8 (2)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的位置可能是 (　 ) A B C D [素养小结] (1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0. (2)在直线方程Ax+By+C=0中,令x=0可得直线在y轴上的截距,令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程注意验根. 拓展 已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0. (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. ◆ 探究点三　直线方程的点法式 例3 (1)直线l过点A(3,-1),且l的一个法向量为n=(3,2),则直线l的方程的点法式为　　　　　　　　.  (2)在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),则AB边上的高所在直线的方程是 (　 ) A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0 C.x+2y-8=0 D.x-2y+4=0 变式 过点P(-1,2),且与直线=垂直的直线的方程的点法式为　　　　　　.  [素养小结] 在求直线方程的点法式时,一定要区别直线的法向量与方向向量, 结合向量的知识准确找出直线的一个法向量,再由点法式,写出直线的方程. ◆ 探究点四　直线过定点问题 例4 (1)无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点的坐标为 (　 ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1) (2)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0过定点 (　 ) A. B. C. D. 变式 已知A(-2,4),B(4,2),直线l:ax-y-2=0与线段AB恒相交,求实数a的取值范围. [素养小结] (1)题目给出已知直线方程含参,则直线一般过定点; (2)直线过定点,当斜率存在时,将直线方程化为点斜式,可得直线过定点P,当斜率不存在时,根据直线方程也可得直线过定点P,从而可得答案. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　直线方程的一般式 【课前预习】 知识点一 Ax+By+C=0　一般式 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ 知识点二 A(x-x0)+B(y-y0)=0 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√ 【课中探究】 例1　解:(1)由点斜式,得直线方程为y-3=(x-5), 即x-y-5+3=0. (2)由两点式,得直线方程为=, 即2x+y-3=0. (3)由截距式,得直线方程为+=1,即x+3y+3=0. (4)直线方程为y=2,即y-2=0. 变式1　B　[解析] 当m2-4=0时,m=2或m=-2;当m2-2m=0时,m=0或m=2.要使方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则m2-4,m2-2m不能同时为0,所以m≠2,故选B. 变式2　解:设直线x-2y+2=0的倾斜角为α,旋转后直线的倾斜角为β,则tan α=,tan β=tan==3.易知旋转后的直线过点(-2,0),所以旋转后所得到的直线的方程为y=3(x+2),即3x-y+6=0. 例2　解:(1)由题意知m2-2m-3≠0,即m≠3且m≠-1, 令y=0,得x=,∴=-3,解得m=-. (2)由题意知,2m2+m-1≠0,即m≠且m≠-1.将直线l的方程化为斜截式,得y=x+,∴=1,得m=-2. 变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)当x≥0,y≥0时,曲线方程为2x+y=2;当x≥0,y<0时,曲线方程为2x-y=2;当x<0,y≥0时,曲线方程为-2x+y=2;当x<0,y<0时,曲线方程为-2x-y=2.作出曲线2|x|+|y|=2,如图所示,由图可知,围成的图形是一个菱形,其面积为×2×4=4.故选B. (2)直线l1的方程是ax-y+b=0,可化为y=ax+b,l2的方程是bx+y-a=0,可化为y=-bx+a.在A中,假设直线l1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,l2的倾斜角为钝角,故A错误;在B中,假设直线l1的位置正确,则a>0,b<0,所以-b>0,l2的倾斜角为锐角,故B错误;在C中,假设直线l1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,l2的倾斜角为钝角,且l2在y轴上的截距为正数,故C错误;在D中,假设直线l1的位置正确,则a<0,b>0,所以-b<0,l2的倾斜角为钝角,且l2在y轴上的截距为负数,故D正确.故选D. 拓展　解:(1)易知a≠-1,在方程(a+1)x+y+2-a=0中,令x=0,则y=a-2,令y=0,则x=.∵l在两坐标轴上的截距相等,∴a-2=,解得a=2或a=0. (2)将直线l的方程化为斜截式得y=-(a+1)x+a-2, ∵直线l不经过第二象限,∴解得a≤-1, ∴实数a的取值范围为(-∞,-1]. 例3　(1)3(x-3)+2(y+1)=0　(2)A　[解析] (1)直线l的方程的点法式为3(x-3)+2(y+1)=0. (2)∵在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),∴AB边上的高所在直线的一个法向量为=(2,1),且过点C(2,3),故AB边上的高所在直线的方程是2(x-2)+(y-3)=0,即 2x+y-7=0.故选A. 变式　7(x+1)+5(y-2)=0　[解析] 与直线=垂直的直线的一个法向量的坐标为(7,5),则所求直线方程的点法式为7(x+1)+5(y-2)=0. 例4　(1)D　(2)D　[解析] (1)由(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0,得(k-1)(y+1)=(k+2)(x-3).当k≠1时,直线方程为y+1=(x-3),由点斜式可知,直线过定点(3,-1);当k=1时,直线方程为x=3,过点(3,-1).因此所求定点坐标为(3,-1).故选D. (2)由a+2b=1,得a=1-2b,则直线方程ax+3y+b=0即为(1-2b)x+3y+b=0,整理得y+=,由直线方程的点斜式可知,直线过定点.故选D. 变式　解:由ax-y-2=0,得y+2=ax,由点斜式可知,直线l过定点D(0,-2).如图所示,设线段AB与y轴交于点C,易知直线l不过点C,由图知,当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段CB(不含端点C)上时,a大于或等于直线DB的斜率,即a≥=1;当直线l:ax-y-2=0与线段AB的交点在线段AC(不含端点C)上时,a小于或等于直线DA的斜率,即a≤=-3.综上,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $