1.1-1.2 直线的斜率与倾斜角 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.1-1.2 直线的倾斜角与斜率BS 目录 考点一 倾斜角 2 考点二 倾斜角与斜率 3 考点三 直线斜率与倾斜角、方向向量的关系 7 考点四 倾斜角与斜率综合运用 9 知识点一 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是 ． 知识点二 直线的斜率 (1)斜率：两点的斜率公式：，则 (2)直线的倾斜角范围： (3)斜率与倾斜角的关系： 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。 考点一 倾斜角 倾斜角的范围是: 【例1】(1)如图所示，直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D.不存在 (2)经过第二、四象限，则直线的倾斜角的范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° (3)直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 考点二 倾斜角与斜率 【例1】直线的斜率为( ) A．1 B． C． D．2 【例2】过点)与点)的直线的倾斜角为( ) A． B． C．或 D． 【例3】经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【例4】直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例： 1．若为直线的倾斜角，则过两点、的直线的斜率为（        ） A． B． C． D． 2．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为________． 变式训练： 1．如果过P(-2，m),Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 2.经过两点的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3.经过两点的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4.经过两点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6.已知直线经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D.不存在 7.直线的倾斜角为( )． A． B． C． D． 8.直线y＝的倾斜角是( ) A． B． C． D． 9.直线的倾斜角是( ) A． B． C． D． 10．已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 11．若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 12．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 14．直线的倾斜角为 . 15.已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 16.如图所示，三条直线，且三条直线的斜率分别是，则正确的是（ ） A. B. C. D. 17．如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 18．直线的倾斜角的取值范围是 ． 19．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 20．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21、已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 考点三 直线斜率与倾斜角、方向向量的关系 定义：在直线上任取两个不同的点，，则是直线的方向向量，它的坐标为。 若是直线的斜率，则是它的一个方向向量；若直线的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率。 【例3-1】已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标。 【例3-2】若直线的一个方向向量，求直线的倾斜角。 典例： 1．直线l：的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．已知直线l的一个方向向量v＝(2，4)，则直线l的斜率为________. 2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 3．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．直线的一个方向向量是 . 6．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角 10（2025桂林市一模） 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 考点四 倾斜角与斜率综合运用 【例1】2．已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 典例： 1．已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________. 变式训练： 1．已知直线过点，. (1)当为何值时，直线的斜率是？(2)当为何值时，直线的倾斜角为？ 2．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围. 3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______． 4.，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是( ) A． B． C． D． 5．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 6．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 7．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 8．已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 9．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 10．已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 11．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1-1.2 直线的倾斜角与斜率BS 目录 考点一 倾斜角 2 考点二 倾斜角与斜率 3 考点三 直线斜率与倾斜角、方向向量的关系 10 考点四 倾斜角与斜率综合运用 14 知识点一 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是 ． 知识点二 直线的斜率 (1)斜率：两点的斜率公式：，则 (2)直线的倾斜角范围： (3)斜率与倾斜角的关系： 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。 考点一 倾斜角 倾斜角的范围是: 【例1】(1)如图所示，直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D.不存在 (2)经过第二、四象限，则直线的倾斜角的范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° (3)直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】(1)B (2)C (3)C 【解析】直线l的倾斜角为=45°+90°=135°，故选B (2)由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90°180°，故选C. (3)略 考点二 倾斜角与斜率 【例1】直线的斜率为( ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】已知直线方程化为斜截式为，斜率为．故选：C． 【例2】过点)与点)的直线的倾斜角为( ) A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】，故直线的倾斜角为.故选：A. 【例3】经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【例4】直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 直线的斜率为，由于，设倾斜角为， 则，，所以.故选：B. 典例： 1．若为直线的倾斜角，则过两点、的直线的斜率为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，利用直线的斜率公式结合弦化切可求得结果. 【详解】由题意可得，所以，. 故选：B. 2．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为________． 【答案】 【详解】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 变式训练： 1．如果过P(-2，m),Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】A 2.经过两点的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.经过两点的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4.经过两点的直线的斜率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6.已知直线经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D.不存在 【答案】A 7.直线的倾斜角为( )． A． B． C． D． 【答案】C 8.直线y＝的倾斜角是( ) A． B． C． D． 【答案】A 9.直线的倾斜角是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为：，所以：k=由于：，则，即：= 故选：B. 10．已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】因为斜率为的直线经过点， 所以，解得. 故选：B. 11．若经过两点的直线斜率为1，则实数（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用斜率公式即可求解. 【详解】过两点的直线斜率为，所以，解得，. 故选：A. 12．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由斜率的定义可得，即，解得. 故选：D. 13．已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可． 【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，， 当点B在轴上时，设，由，可得，解得， ， 所以点B坐标为或. 故选：BC. 14．直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，即可得出倾斜角. 【详解】由题意可将原直线方程变形， 则直线的斜率为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为. 故答案为：. 15.已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 16.如图所示，三条直线，且三条直线的斜率分别是，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 17．如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， .故选：D. 18．直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 19．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D. 20．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，，综上，    故选：C. 21、已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以， 设倾斜角为，，则，所以.故选：B 考点三 直线斜率与倾斜角、方向向量的关系 定义：在直线上任取两个不同的点，，则是直线的方向向量，它的坐标为。 若是直线的斜率，则是它的一个方向向量；若直线的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率。 【例3-1】已知直线的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标。 解：设点，（其中）为直线上的两点，则直线的一个方向向量，则，即 ∴ 因此，是直线的一个方向向量的坐标。 【例3-2】若直线的一个方向向量，求直线的倾斜角。 解：依题意得，直线的一个方向向量，则直线的斜率， 因此直线的倾斜角为。 典例： 1．直线l：的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线方程为，则是直线的一个方向向量. 故选：B 变式训练： 1．已知直线l的一个方向向量v＝(2，4)，则直线l的斜率为________. 【答案】2 2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 又因为，所以，故选：C. 3．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为，而，所以也是直线的一个方向向量.故选：B. 4．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.故选：B 5．直线的一个方向向量是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量是.故答案为：（答案不唯一） 6．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 7．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为. 故选：B 8．已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线的方向向量可知直线的斜率，所以. 故选：D. 9．已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角 【答案】/ 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角. 【详解】记直线 的倾斜角为， 由题知，又, 所以，即. 故答案为： 10（2025桂林市一模） 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程，整理可得. 故选：D. 试卷第1页，共3页 13 学科网（北京）股份有限公司 考点四 倾斜角与斜率综合运用 【例1】2．已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意知直线过定点，如图所示： 则，    由图像得直线的斜率的取值范围是或． 故选：D． 典例： 1．已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】直线l表示过点的直线，在平面直角坐标系中作出线段如图， 当直线l过点B时，直线l与线段相交且斜率最大，此时斜率； 在平面直角坐标系中作出线段如图， 直线l过点B时，斜率，直线l过点C时，斜率，所以k的取值范围为. 故答案为：2； 变式训练： 1．已知直线过点，. (1)当为何值时，直线的斜率是？(2)当为何值时，直线的倾斜角为？ 【答案】(1)m=；(2)m=1. 【解析】(1)由题意，，解得； (2)若直线的倾斜角为，则平行于轴，所以，得. 2．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围. 【答案】斜率的范围：；倾斜角的范围：. 【解析】如图所示. ∵，， 又直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 所以由图像可得：，因此倾斜角的范围为：. 3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______． 【答案】 【解析】如图所示： 设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为， 则，，， 所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：, 所以倾斜角的取值范围.故答案为：. 4.，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率，直线的斜率，结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．故选：． 5．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 方程，令，则，令，则，设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，，所以的取值范围为.故答案为：. 6．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 7．已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 8．已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 9．已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 10．已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，根据斜率的范围求得直线的倾斜角的范围. 【详解】画出图象如下图所示， ， 所以直线的斜率的范围是， 对应倾斜角的取值范围是. 故选：D    11．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】   设直线的斜率为，倾斜角为，， ，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以， 因为，所以. 故选：B. 20 学科网（北京）股份有限公司 $