第1章 1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系

知识点一　直线的斜率与倾斜角的关系

思考　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？

提示：如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．

[知识梳理]

1．倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan α(其中α≠).

2．斜率k与倾斜角α有如下关系：

当α∈[0，)时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；

当α∈(，π)时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大；

当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在．

[例1] (1)若直线经过A(1，0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为(　　)

A．30° B．45°  

C．60° D．135°

(2)若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角α不是锐角，则实数t的取值范围是____________．

【解析】　(1)由直线经过A(1，0)，B(4，)两点，可得直线的斜率为＝，设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°.故选A．

(2)因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t＝2t，解得t＝1；当α＝90°时，1－t＝3，解得t＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，由斜率公式可得，<0，即<0，解得－2<t<1.综上所述，实数t的取值范围是[－2，1].

【答案】　(1)A　(2)[－2，1]

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠)解决．

(2)要明确倾斜角α变化时斜率k的变化特征，特别注意当α＝时对范围的影响．

[跟踪训练1] (1)(2026·保定期中)如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则下列选项中正确的是(　　)

A．k4<k3<k2<k1 B．k3<k4<k2<k1

C．k3<k4<k1<k2 D．k4<k3<k1<k2

解析：选C．设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α1，α2，α3，α4，由题知，0<α1<α2<

<α3<α4<π，所以k3<k4<k1<k2.

(2)将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是(　　)

A．105° B．165°

C．15°或75° D．105°或165°

解析：选D．因为直线M′N′的斜率为1，所以直线M′N′的倾斜角是45°.若将直线M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是45°＋60°＝105°，若将直线M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是(45°－60°)＋180°＝165°.故选D．

知识点二　直线的方向向量

思考　你是如何理解直线的方向向量的？

提示：直线的方向向量可以理解为任取直线上不同的两点分别为起点和终点的向量及与之平行的非零向量．

[知识梳理]

1．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2).

2．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝．

[即时练]

1．已知直线l的一个方向向量为a＝(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　)

A．(6，10) B．(4，8)

C．(2，4) D．(－2，－)