第1章 1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线斜率、倾斜角与方向向量的关系这一核心知识点，承接上节课倾斜角和斜率的概念，通过正切函数建立斜率与倾斜角的关联，结合方向向量坐标推导斜率表达式，构建从概念到关系再到应用的学习支架。 该资料以“思考-梳理-例题-探究”为主线，例2通过图形分析求斜率范围培养几何直观（数学眼光），母题探究变式训练发展推理能力（数学思维），方向向量坐标表达体现数学语言精确性。课中助力教师教学，课后练习帮助学生查漏补缺。

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 新课导入 学习目标 　　同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间是否具有某种联系呢？这是我们本节课要解决的内容． 1.了解直线的斜率与倾斜角的关系．　2.了解直线的方向向量．　3.能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题． 知识点一　直线的斜率与倾斜角的关系 思考　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 提示：如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． [知识梳理] 1．倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan α(其中α≠). 2．斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈[0，)时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈(，π)时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． [例1] (1)若直线经过A(1，0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．135° (2)若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角α不是锐角，则实数t的取值范围是____________． 【解析】　(1)由直线经过A(1，0)，B(4，)两点，可得直线的斜率为＝，设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°.故选A． (2)因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t＝2t，解得t＝1；当α＝90°时，1－t＝3，解得t＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，由斜率公式可得，<0，即<0，解得－2<t<1.综上所述，实数t的取值范围是[－2，1]. 【答案】　(1)A　(2)[－2，1] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠)解决． (2)要明确倾斜角α变化时斜率k的变化特征，特别注意当α＝时对范围的影响． [跟踪训练1] (1)(2026·保定期中)如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则下列选项中正确的是(　　) A．k4<k3<k2<k1 B．k3<k4<k2<k1 C．k3<k4<k1<k2 D．k4<k3<k1<k2 解析：选C．设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α1，α2，α3，α4，由题知，0<α1<α2<<α3<α4<π，所以k3<k4<k1<k2. (2)将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是(　　) A．105° B．165° C．15°或75° D．105°或165° 解析：选D．因为直线M′N′的斜率为1，所以直线M′N′的倾斜角是45°.若将直线M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是45°＋60°＝105°，若将直线M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是(45°－60°)＋180°＝165°.故选D． 知识点二　直线的方向向量 思考　你是如何理解直线的方向向量的？ 提示：直线的方向向量可以理解为任取直线上不同的两点分别为起点和终点的向量及与之平行的非零向量． [知识梳理] 1．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2). 2．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． [即时练] 1．已知直线l的一个方向向量为a＝(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　) A．(6，10) B．(4，8) C．(2，4) D．(－2，－) 解析：选A．因为直线l的一个方向向量为a＝(5，8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，只有A能使等式成立． 2．若直线l的倾斜角为，方向向量为e＝(－1，a)，则实数a的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A．因为直线l的方向向量是e＝(－1，a)，所以直线l的斜率为k＝＝－a，又直线的倾斜角α＝，所以斜率k＝tan ＝－＝－a，解得a＝.故选A． 3．已知a＝(－1，)是直线l的一个方向向量，则l的斜率为________． 解析：由直线l的方向向量a＝(－1，)，得其斜率为＝－. 答案：－ 4．若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的倾斜角为135°，则m＝________，该直线的一个方向向量μ＝________． 解析：＝tan 135°＝－1，故2m－3＝m－1，解得m＝2，该直线的一个方向向量μ＝(1，－1). 答案：2　(1，－1)(答案不唯一) (1)在直线上任找两点P，Q，则(或)为直线的一个方向向量． (2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量． (3)a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量． 知识点三　求倾斜角、斜率的范围 [例2] 已知过点P(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围． 【解】　由题意作出图形，如图， 因为kPA＝＝1，kPB＝＝－，若要使直线l与线段AB相交，则kl≥kPA或kl≤kPB，所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞). 母题探究1　本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：由例题可知，直线l的斜率满足kl≥1或kl≤－，所以tan α≥1或tan α≤－，因为0≤α<π，且当α＝时符合题意，所以≤α≤.所以直线l的倾斜角α的取值范围为[，]. 母题探究2　将本例点P(0，－2)变为点Q(5，3)，那么过点Q的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率的取值范围． 解：由题意作出图形，如图， 因为kQA＝＝1，kQB＝＝，若要使直线l与线段AB相交，则kQB≤kl≤kQA，所以直线l的斜率的取值范围为[，1]. 已知线段AB的端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l的斜率取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则解题步骤如下： (1)连接PA，PB； (2)由斜率公式求出kPA，kPB； (3)结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 提醒　如果在直线l的转动范围内有倾斜角为的直线，那么直线l的斜率的取值范围为分界线PA，PB的斜率的两边；如果没有倾斜角为的直线，那么直线l的斜率的取值范围为分界线PA，PB的斜率之间． [跟踪训练2] (2026·驻马店期中)已知直线l经过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(3，－2)为端点的线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为________． 解析：kPA＝＝1，kPB＝＝－1， 则可得直线PA，PB的倾斜角分别为，， 由图知，要使直线l与线段AB没有公共点，需使直线l的倾斜角θ满足<θ<， 即直线l的倾斜角的取值范围为(，). 答案：(，) 应用点　斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 [例3] 已知直线l1的一个方向向量为n＝(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍． (1)求直线l2的斜率； (2)若直线l2经过点A(－1，2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点，求的取值范围． 【解】　(1)设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.因为直线l1的一个方向向量为n＝(2，1)，所以直线l1的斜率为tan α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝＝. (2)由(1)知l2的斜率为，所以＝，解得m＝6.表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率，kQA＝＝－3，kQB＝＝，所以kPQ≤－3或kPQ≥.故的取值范围是(－∞，－3]∪. (1)若直线l过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，kAB＝＝tanα(α为直线l的倾斜角，x1≠x2). (2)代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率． [跟踪训练3] 已知M(1，3)，N(2，1)，若点P(x，y)在线段MN上，则的取值范围是________． 解析：当点P(x，y)与M(1，3)重合，则x＝1，y＝3，则＝＝1，当点P(x，y)与N(2，1)重合，则x＝2，y＝1，则＝＝， 把看作动点P(x，y)与定点(－2，0)的斜率k， 再结合图象：利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知k∈[，1].综上，的取值范围是[，1]. 答案：[，1] 1．以a＝(2，4)为方向向量的直线l绕其与x轴的交点逆时针旋转45°得到直线m，则直线m的斜率为(　　) A． B．－ C．3 D．－3 解析：选D．因为a＝(2，4)＝2(1，2)，设直线l的倾斜角为α，由题意得tan α＝2，45°<α<90°，直线m的倾斜角为α＋45°，因此，直线m的斜率为tan (α＋45°)＝＝＝－3. 2．(教材P8T3(1)改编)若直线l的一个方向向量是d＝(3，)，则直线l的斜率为________． 解析：因为直线l的一个方向向量是d＝(3，)，所以直线l的斜率k＝. 答案： 3．已知直线l的倾斜角α的范围是，则直线l的斜率k的取值范围是_______________________________________________________________． 解析：当≤α＜时，k≥，当＜α≤时，k≤－1，综上，斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[，＋∞). 答案：(－∞，－1]∪[，＋∞) 4．(2026·阜阳期中)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(，2)两点的线段总有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角θ的取值范围． 解：(1)由题意，在平面直角坐标系中画出线段AB及点P，连接PA，PB，如图， 由斜率公式可得kPA＝＝－1，kPB＝＝， 因为l与线段AB相交， 所以kPA≤k≤kPB，所以－1≤k≤. (2)由(1)可得，－1≤tan θ≤， 由于y＝tan x在[0，)和(，π)上均单调递增，所以直线l的倾斜角θ的取值范围为[0，]∪[，π). 1．已学习：直线的方向向量、直线斜率与倾斜角的关系． 2．须贯通：能对直线的倾斜角与斜率之间的关系进行相互转化，体现了转化化归的数学思想． 3．应注意：对直线斜率和倾斜角的关系理解到位，结合图形处理问题． 学科网（北京）股份有限公司 $