1.1.1&1.1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 【学习目标】 　　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 　　2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. ◆ 知识点一　一次函数的图象与直线的方程 一般地,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的每一对x,y的值为坐标的点构成的.同时函数解析式y=kx+b可以看作二元一次方程. ◆ 知识点二　直线的倾斜角 1.定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角. 2.通常倾斜角用α表示.当　　　　　　　　　时,规定它的倾斜角为0.  3.倾斜角α的取值范围:　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有直线都有倾斜角. (　 ) (2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°. (　 ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线. (　 ) ◆ 知识点三　直线的斜率 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是　　　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应. (　 ) (2)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负. (　 ) (3)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. (　 ) ◆ 探究点一　一次函数的图象与直线的方程 例1 已知一次函数y=x+b的图象经过点A(2,0),则b的值为　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (多选题)函数y=x-2的图象经过的象限有 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [素养小结] 一元一次方程与一次函数的关系 (1)对于一次函数y=kx+b(k≠0),由它的函数值y=0就得到关于x的一元一次方程kx+b=0,解这个方程可得x=-,于是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为. (2)若已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标为,则一元一次方程kx+b=0的根为-. ◆ 探究点二　直线的倾斜角 例2 [2024·内蒙古呼伦贝尔高二期中] 下列图中α能表示直线l的倾斜角的是 (　 ) A B C D 变式1 若直线l过点A(1,1),且不过第四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　 ) A.[0,π) B. C. D. 变式2 (多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A按顺时针方向旋转后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为 (　 ) A.α+ B.α+ C.α- D.-α [素养小结] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. ②直线倾斜角的取值范围是[0°,180°). ◆ 探究点三　直线的斜率 例3 (1)已知直线上两点,求直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角: ①A(3,5),B(-1,-2); ②C(-3,5),D(3,-1). (2)判断下列三点是否在同一条直线上: ①A(-3,1),B(2,-4),C(3,0); ②D(5,-1),E(-1,2),F(-5,4). 变式 设点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为　　　　.  [素养小结] 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)斜率k与两点P1,P2在直线上的位置无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后顺序可以同时交换,但分子与分母不能交换; (2)当x1=x2时,公式右边无意义,直线与x轴垂直,直线的倾斜角α=90°,斜率不存在; (3)当y1=y2时,直线与x轴平行或重合, 直线的倾斜角α=0°,斜率k=0. 拓展 已知A(1,0),B(2,a),C(a,1)可以构成三角形,则实数a的取值集合为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 　　　　第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 【课前预习】 知识点二 2.直线l和x轴平行或重合　3.[0,π) 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√ 知识点三 k= 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)× 【课中探究】 例1　-2　变式　ACD　例2　A 变式1　B　[解析] 如图所示,当直线l在l1的位置时,α=0;当直线l在l2的位置时,α=.故直线l的倾斜角α的取值范围是.故选B. 变式2　BC　[解析] 因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以当≤α<π时,直线l1的倾斜角为α-,当0≤α<时,直线l1的倾斜角为π-=+α.故选BC. 例3　解:(1)①直线AB的斜率kAB==,由kAB>0,结合倾斜角的取值范围知,其倾斜角为锐角. ②直线CD的斜率kCD==-1,由kCD<0,结合倾斜角的取值范围知,其倾斜角为钝角. (2)①因为kAB==-1,kAC==-, 所以kAB≠kAC,所以A,B,C三点不在同一条直线上. ②因为kDE==-,kDF==-, 所以kDE=kDF. 又直线DE与直线DF有公共点D,所以D,E,F三点在同一条直线上. 变式　4　[解析] 依题意知直线AC的斜率存在,则m≠-1,由kAC=3kBC,得=3×,所以m=4. 拓展　　[解析] 因为A(1,0),B(2,a),C(a,1)可以构成三角形,所以A,B,C三点不共线.当A(1,0),B(2,a),C(a,1)三点共线时kAB=kAC,即=,解得a=,所以当a≠时,A,B,C三点可以构成三角形,所以实数a的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $