第1章 1.1 1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角和斜率”核心知识点，前承一次函数图象与直线方程，通过定义倾斜角（x轴正方向逆时针旋转到直线重合的角，范围[0,π)）确定直线方向，再以斜率公式（两点纵坐标差与横坐标差的比）量化倾斜程度，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 该资料以泰山十八盘现实情境导入，引导学生用数学眼光观察倾斜现象，通过思考问题抽象倾斜角概念，结合图形分析培养几何思维。例题与跟踪训练注重分类讨论和公式应用，三点共线问题强化斜率公式的数学语言表达，课中助于情境激趣和概念理解，课后通过练习题帮助学生查漏补缺。

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 新课导入 学习目标 　　泰山为五岳之首，其十八盘更有名．“拔地五千丈，冲霄十八盘．”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在攀登中．十八盘岩层陡立，坡角70°～80°，在不足1 km的距离内升高400米．你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？ 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 　2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 　3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 思考1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线或者一点和一个方向也可以确定一条直线． 思考2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． [知识梳理] 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0，π) [例1] (1)已知直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α (2)已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________． 【解析】　(1)如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. (2)因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角为(150°＋60°)－180°＝30°. 【答案】　(1)D　(2)30° 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 提醒　倾斜角的取值范围． [跟踪训练1] (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析：选C．因为直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90°<α<180°. (2)如图，已知直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则直线l3的倾斜角为________． 解析：由题意得，∠BCA＝30°，又l2⊥l1，l3平分∠BAC，所以直线l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. 答案：30° 知识点二　直线的斜率 思考　日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则比值k＝反映了直线l的倾斜程度． [知识梳理] 1．定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 2．特例：直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在． [例2] (对接教材例1)满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率． (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)经过点M(a，2)，N(3，6). 【解】　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ⊥x轴，所以直线PQ的斜率不存在． (4)当a＝3时，直线的斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝. (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率不存在． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． [跟踪训练2] (1)已知点A(2，3)，B(3，5)，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选A．直线AB过点A(2，3)，B(3，5)，则直线AB的斜率k＝＝2.故选A． (2)(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则B的坐标可能为(　　) A．(0，－4) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，－8) 解析：选CD．设B(x，0)(x≠3)或(0，y)，因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8). 应用点　三点共线问题 [例3] (1)(对接教材例2)已知直线l经过点A(1，2)，且斜率k＝1，判断B(0，0)，C(2，3)，D(3，2)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上； (2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). ①若A，B，C三点在同一条直线上，求实数a的值； ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 【解】　(1)因为kAB＝＝2≠1，kAC＝＝1，kAD＝＝0≠1，且直线l经过点A(1，2)，故点C在直线l上，点B，D不在直线l上． (2)①因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，所以a＝2或a＝. ②由①知当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝，那么A，B，C三点不共线时，a≠2且a≠，即实数a的取值范围为{a|a≠2且a≠}． 用斜率公式解决三点共线的方法 [跟踪训练3] (1)若A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)三点在同一条直线上，则实数m的值为________． 解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝. 答案： (2)设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1，由kAC＝3kBC，得＝3×，解得m＝4. 答案：4 1．(多选)如图，α能表示直线l的倾斜角的是(　　) 答案：AC 2．(教材P5T1改编)若直线l经过点A(0，－2)，B(1，－3)，则该直线的斜率为(　　) A．5 B．－5 C．1 D．－1 解析：选D．由题意知，k＝＝－1，即直线l的斜率为－1.故选D． 3．设m∈R，若三个不同的点A(2，0)，B(m，2)，C(2m－2，2－m)都在直线l上，则m的值为________． 解析：当m＝2时，A(2，0)，C(2，0)为同一点，不满足题意；当m≠2时，则＝，可得m＝－2，此时A(2，0)，B(－2，2)，C(－6，4)满足题意，所以m＝－2. 答案：－2 4．判断下列三点是否在同一条直线上： (1)A(－3，1)，B(2，－4)，C(3，0)； (2)D(5，－1)，E(－1，2)，F(－5，4). 解：(1)因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－，所以kAB≠kAC，所以A，B，C三点不在同一条直线上． (2)因为kDE＝＝－，kDF＝＝－，所以kDE＝kDF.又直线DE与直线DF有公共点D，所以D，E，F三点在同一条直线上． 1．已学习：直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式． 2．须贯通：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率． 3．应注意：忽视倾斜角范围，图形理解不清． 学科网（北京）股份有限公司 $