第1章 1.1 1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

§1　直线与直线的方程

1．1　一次函数的图象与直线的方程

1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系

第1课时　直线的倾斜角和斜率

知识点一　直线的倾斜角

思考1　在平面中，怎样才能确定一条直线？

提示：两点确定一条直线或者一点和一个方向也可以确定一条直线．

思考2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？

提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．

[知识梳理]

[例1] (1)已知直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)

A．α B．180°－α

C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α

(2)已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________．

【解析】　(1)如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

(2)因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角为(150°＋60°)－180°＝30°.

【答案】　(1)D　(2)30°

直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

提醒　倾斜角的取值范围．

[跟踪训练1] (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°

C．90°<α<180° D．0°<α<180°

解析：选C．因为直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.

(2)如图，已知直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则直线l3的倾斜角为________．

解析：由题意得，∠BCA＝30°，又l2⊥l1，l3平分∠BAC，所以直线l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.

答案：30°

知识点二　直线的斜率

思考　日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？

提示：当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1，则比值k＝反映了直线l的倾斜程度．

[知识梳理]

1．定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率．

2．特例：直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在．