6.5 正态分布(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

5 正态分布 1 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 正态曲线及其性质 探究点二 利用正态分布的解析式求均值和标准差 探究点三 利用正态分布求概率 探究点四 正态分布的实际应用 2 【学习目标】 1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义. 3 知识点一 连续型随机变量与正态分布 1.连续型随机变量 现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量不 是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0.将 区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量的分布密度曲线， 这条曲线对应的函数称为随机变量的分布密度函数，记为 .人们把具有分布 密度函数的随机变量称为________________. 连续型随机变量 课 前 预 习 4 2.正态分布及正态曲线的定义 由误差引起的连续型随机变量的分布密度函数解析式为 , ,,其中实数 , 为参数,这一类随机变 量 的分布密度（函数）称为正态分布密度（函数）,简称正态分布，对应的图 象为___________________,简称为__________. 若连续型随机变量的分布密度函数为 ,,则称随机变量 服从正态分布, 记为 正态分布密度曲线 正态曲线 课 前 预 习 5 3.正态分布的几何意义 如果一个随机变量服从正态分布，那么对于任何实数,，随机变量 在区间的概率可以用来表示.它的几何意义就是随机变量 的 分布密度曲线在区间 对应的曲边梯形面积的值，如图. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）正态曲线可以关于 轴对称.( ) √ （2）正态分布是由参数 和 唯一决定的. ( ) √ （3）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( ) √ 课 前 预 习 7 知识点二 正态分布的特点 1.正态分布密度函数,,,, 的图象有以下特 点: （1）曲线在轴的______,与 轴不相交; （2）曲线是单峰的,关于直线______对称; （3）曲线的最高点位于______处； （4）曲线与 轴之间的面积为___; 上方 1 课 前 预 习 8 （5）当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿_____平移 （如图①）; 轴 图① 课 前 预 习 9 图② （6）当 一定时,曲线的形状由 确定, 越小, 曲线越“高瘦”,表示总体的分布越______, 越大, 曲线越“矮胖”,表示总体的分布越______ （如图②）； 集中 分散 （7）当 时，曲线上升，当 时，曲线 下降，当曲线向左、右两边无限延伸时，以 轴为 渐近线. 课 前 预 习 10 2.正态分布的均值与方差 若,则___, ____. 注:参数 反映了正态分布的集中位置, 反映了随机变量的分布相对于均值 的离散程度. 课 前 预 习 11 3. 原则 服从正态分布的随机变量 在三个特殊区间内取值的概率: ________, ________, ________. 通常认为服从正态分布的随机变量 只取_______________之间的值,并 称之为 原则. 课 前 预 习 12 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）正态分布密度函数中参数 , 的意义分别是随机变量的均值与方差.( ) √ （2）正态曲线是单峰的,其与轴围成的面积是随参数 , 的变化而变化的. ( ) × （3）已知随机变量服从正态分布,则随机变量在长度为 的区间之 外取值是一个小概率事件.( ) × 课 前 预 习 13 探究点一 正态曲线及其性质 例1 已知三个正态分布密度函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. [解析] 正态曲线关于直线 对称，且 越大，曲线越靠右， ，故B，C错误； 越小，总体的分布越集中，曲线越瘦长， ，故A错误，D正确. 故选D. 课 中 探 究 14 变式 [2024·浙江宁波九校联考]已知随机变量， ， 它们的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ) B A.， B.， C.， D.， [解析] 由图可得随机变量的均值比随机变量的均值小，且随机变量 的分布 比随机变量的分布更加分散， 则， .故选B. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 利用正态曲线的特点求参数 , 的一般方法： （1）正态曲线是单峰的,它关于直线 对称,由此性质结合图象求 . （2）正态分布密度函数在 处取得最大值,由此性质结合图象可求 . （3）由曲线的“胖瘦”区分 的大小. 课 中 探 究 16 探究点二 利用正态分布的解析式求均值和标准差 例2 已知正态分布密度曲线对应的函数关系式是 . 设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数 的图象，且 ，则这个正态总体的均值与方差分别是( ) A A.10与4 B.10与2 C.10与8 D.2与10 [解析] ， 均值，标准差， 方差 ，故选A. 课 中 探 究 17 变式 已知随机变量，且其分布密度函数 在 处取得最大值，则____， ____. [解析] 因为函数在处取得最大值, 所以 , . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求标准差与均值，需理解正态分布密度函数解析式中的参数 ， 的意义，并 注意正态曲线的特点. 课 中 探 究 19 探究点三 利用正态分布求概率 例3 设X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3); 解:(3)P(X≥5)=P(X≤-3)=[1-P(-3<X<5)]=[1-P(1-4<X<1+4)]=[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)] ≈×(1-0.954 5)=0.022 75. 解: (1)因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7. (2)P(3<X≤5); 解: (2)因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1), 所以P(3<X≤5)=[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)]=[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)] =[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. (3)P(X≥5). 课 中 探 究 20 变式（1） 已知随机变量，且，则 ( ) C A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 [解析] 随机变量服从正态分布，， 又 ，， ， . 课 中 探 究 21 （2）[2024·江苏南通高二期末]若随机变量，且 ，则 ( ) D A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 [解析] 因为，所以 ， 因为该正态曲线关于直线对称，所以 .故选D. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线的对称性和曲线与 轴之间的面积为1. （2）注意概率值的求解转化: ① ; ② ; ③若 ,则 . （3）熟记, , 的值. （4）求解与正态分布有关的问题时,可画出分布密度函数的图象,结合图象解答. 课 中 探 究 23 探究点四 正态分布的实际应用 例4 某批袋装食盐的标准质量为，规定误差的绝对值不超过 就认为合 格.假设误差服从正态分布，随机抽取100袋这种食盐，计算得误差的样本均值 为0，样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率. 解：由题意，可设误差为，则 ， 可得 , 故估计这批袋装食盐的合格率约为 . 课 中 探 究 24 变式1某冰上项目组计划招收一批10~15岁的青少年参加集训,共有20 000名青少 年报名参加测试,其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60,σ2),成绩在90分及以 上者可以进入集训队,已知成绩在80分及以上的人数为455,请你通过以上信息,推断 进入集训队的人数约为 ( ) A.18 B.22 C.27 D.30 C [解析]由成绩在80分及以上的人数为455,可得成绩在80分及以上的占比为× 100%,则成绩在40分到80分的占比为×100%=0.954 5×100%=95.45%, 又由题可得μ=60,所以σ=10,所以P(40≤X≤80)=0.954 5,P(30≤X≤90)≈0.997 3, 可得P(80≤X≤90)≈×(0.997 3-0.954 5)=0.021 4, 所以P(X≥90)≈0.022 75-0.021 4=0.001 35, 则进入集训队的人数约为20 000×0.001 35=27.故选C. 课 中 探 究 25 变式2 某市高二年级某次考试的物理成绩近似服从正态分布N(60,100),规定:分 数高于80分为优秀. (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例; 解:(1)设学生的物理成绩为随机变量X, 则X~N(60,100),所以μ=60,σ=10,所以P(40≤X≤80)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, 则P(X>80)=≈0.022 75, 所以估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例约为2.275%. 课 中 探 究 26 (2)若该市有40 000名高二年级的学生,估计全市物理成绩在[50,80]内的学生人数. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解:由题意得P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,即P(50≤X≤70)≈0.682 7, P(40≤X≤80)≈0.954 5, 所以P(50≤X≤60)=P(50≤X≤70)≈×0.682 7=0.341 35,P(60≤X≤80)=P(40≤X≤80)≈ ×0.954 5=0.477 25, 所以P(50≤X≤80)=P(50≤X≤60)+P(60≤X≤80)≈0.341 35+0.477 25=0.818 6. 又40 000×0.818 6=32 744, 所以估计全市物理成绩在[50,80]内的学生人数为32 744. 课 中 探 究 27 $