5.4.2 二项式系数的性质(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

4 二项式定理 1 4.2 二项式系数的性质 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 杨辉三角 探究点二 二项式系数和、各项系数和 探究点三 二项式的最值问题 3 【学习目标】 1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用. 2.理解和初步掌握赋值法及其应用. 3.通过学习,培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养. 4 知识点一 二项式系数表 1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐______,随后又逐渐______. 2.表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之____. 增大 减小 和 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）二项式系数表中第行共有 项.( ) √ （2）第行斜列中（从右上到左下）前个数的和等于第行斜列中第 个 数. ( ) √ 课 前 预 习 6 知识点二 二项式系数的性质 1.对称性 在 的展开式中,与_________________的两个二项式系数相等,即 , , , . 首末两端“等距离” 2.增减性与最大值 当时,随的增大而______;由对称性知,二项式系数的后半部分,随 的增大而______.当是偶数时,中间的一项_ ___取得最大值;当 是奇数时,中间的 两项_ ____与_____相等,且同时取得最大值. 增大 减小 课 前 预 习 7 3.各二项式系数的和 ① ____; ② ______. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）二项展开式的二项式系数的和为 .( ) × （2）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同.( ) × （3）在 的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项.( ) √ （4）在 的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.( ) × 课 前 预 习 9 探究点一 杨辉三角 例1 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第 行中从左至右第14个数与第15个数的比为 ， 则 ( ) C A.40 B.50 C.34 D.32 [解析] 次数为的二项式的展开式中第 项的二项式系数为， 所给杨辉三角形中第 行的第14个数和第15个数分别为与， ，整理得 ，解得 ，故选C. 课 中 探 究 10 变式 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的 杨辉三角，如图，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以 下关于杨辉三角的猜想中错误的是( ) D A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜 想： B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它 ‘肩上’两个数的和”猜想： C.由“第行所有数之和为 ”猜想： D.由“，， ”猜想： 课 中 探 究 11 [解析] 对于A，由组合数的性质可得 ，故A中猜想正确； 对于B，由组合数的性质可得 ，故B中猜想正确； 对于C，由二项式系数和的性质可得 ， 故C中猜想正确； 对于D， ，故D中猜想错误. 故选D. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 研究杨辉三角的性质，实质上是研究二项展开式的二项式系数（即组合数）的 性质，求解这类题一般要观察、猜想、归纳杨辉三角横向、竖向、斜向的各个 数之间的关系. 课 中 探 究 13 探究点二 二项式系数和、各项系数和 例2 设 . 解:令,得 . 令,得 . （1）求 的值; . （2）求 的值; 解： 由得 , . 课 中 探 究 14 （3）求 的值; 解： 由得 , . 令,得, . （4）求 的值. 解： 的展开式的通项为 ,， ， ,,且 . . 课 中 探 究 15 变式（1） 已知 的展开式中二项式系数之和为32，则各项系数之和 为_____. 243 [解析] 的展开式中二项式系数之和为32，，解得 . 令,代入可得各项系数之和为 . 课 中 探 究 16 （2）（多选题）若 ，其中 ,,, , 为实数，则( ) ABC A. B. C. D. [解析] 设，则原式转化为 ， 令，得，故A正确； 展开式的通项为, , 1,2,3,4,5，则， ，即，故B正确； 令 ,得,所以 ,故C正确； 令,得,则 ,故D错误. 故选 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.一般地,若 ,则展开式中各项系数之和为 ,奇数 项系数之和为 ,偶数项系数之和为 . 课 中 探 究 18 探究点三 二项式的最值问题 例3 在 的展开式中, 解： 的展开式的通项为 . （1）求二项式系数最大的项； 易知展开式中共9项，则二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 该项为 . 课 中 探 究 19 （2）系数的绝对值最大的项是第几项? 解：设第 项系数的绝对值最大， 则即整理得 于是或 . 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 课 中 探 究 20 变式 已知 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求 的展开式中： （1）所有二项式系数之和； 解：因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等， 所以 且，解得 ， 所以 展开式的二项式系数之和为 . 课 中 探 究 21 （2）系数绝对值最大的项. 解：展开式的通项为 ， ， . 设的展开式中第 项的系数的绝对值最大， 则解得，又，所以 ， 所以 的展开式中系数绝对值最大的项为 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ （1）根据二项式系数的性质可知,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求展开式中 系数最大的项,一般采用列不等式（组）,解不等式（组）的方法求解.一般地,如 果第项的系数最大,则与之相邻的两项（第项、第 项）的系数均不大 于第项的系数,由此列不等式组可确定的范围,再依据来确定 的值, 即可求出系数最大的项. 课 中 探 究 23 $