2.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（一）(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

3 抛物线 1 3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质（一） 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 抛物线的简单几何性质 探究点二 抛物线的简单几何性质的应用 3 【学习目标】 1.了解抛物线的简单几何特征. 2.了解抛物线标准方程中 的几何意义. 4 知识点 抛物线的几何性质 标准方程 图象 ____________________________ _____________________________ ___________________________________ __________________________________ 焦点坐标 准线方程 课 前 预 习 5 标准方程 开口方向 ______ ______ ______ ______ 范围 ______， ______， ______， ______， 对称性 关于_____对称 关于_____对称 顶点坐标 ______ 离心率 ______ 向右 向左 向上 向下 轴 轴 续表 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线关于原点对称.( ) × （2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) √ （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) √ 课 前 预 习 7 2.（1）从形状上看,抛物线有点像双曲线的一支,它们有区别吗? 解：有区别.抛物线与双曲线的曲线延伸趋势不同. 例如当抛物线 上的点趋于无穷远时,它在这一点的切线的斜率接 近于0,也就是说在无穷远处抛物线与 轴接近于平行; 而当双曲线上的点趋于无穷远时,它的一条切线的斜率接近于它的一条渐近线的 斜率.双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线. （2）如何把握抛物线的简单几何性质？ 解： 确定抛物线的几何性质， 一要定性，确定抛物线的开口方向，从而可得到方程的形式； 二要定量，确定焦点到准线的距离，进而得到抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程等. 课 前 预 习 8 探究点一 抛物线的简单几何性质 例1（1） 一个正三角形的两个顶点在抛物线 上（除原点外）， 另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，那么 _______. [解析] 由题意可知,该正三角形在抛物线上（除原点外）的两个顶点关于 轴对称， 则由正三角形的性质可设这两个顶点的坐标分别为 ,, 则正三角形的边长为. 把点 的坐标代入抛物线方程可得， 解得.由题可知，解得 ，所以 ． 课 中 探 究 9 （2）求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程. ；；； . 解：设抛物线的焦点到准线的距离为 . ①抛物线的焦点在轴正半轴上，，则该抛物线的顶点坐标为 ， 对称轴为轴，焦点坐标为,，准线方程为 . ②抛物线的焦点在轴正半轴上, ,则该抛物线的顶点坐标为， 对称轴为轴，焦点坐标为，准线方程为 . 课 中 探 究 10 ③抛物线，即，其焦点在轴负半轴上， ， 则该抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴，焦点坐标为， 准线方程为 . ④抛物线，即，其焦点在轴负半轴上， ， 则该抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴，焦点坐标为， 准线方程为 . 课 中 探 究 11 变式 在同一直角坐标系中，方程与 表 示的曲线大致是( ) A A. B. C. D. 课 中 探 究 12 [解析] 可变形为， 此方程表示焦点在 轴上的抛物线，排除D. 当时， 表示开口向左的抛物线， 此时表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B. 当 时，表示开口向右的抛物线，此时 表示双曲线， 排除C，A符合条件. 故选A. 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 确定抛物线的简单几何性质要把握三个要点： （1）开口：由抛物线的标准方程看曲线的开口方向，关键是看准一次项是 还 是 ，一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为 ；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径） 长为 ；离心率恒等于1. 课 中 探 究 14 探究点二 抛物线的简单几何性质的应用 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点关于准线的对称点为 ； 解：由题意可设抛物线的标准方程为， 则抛物线的焦点 的坐标为，准线方程为 . 因为焦点关于准线的对称点为 ， 所以，解得 ， 所以所求抛物线的标准方程为 . 课 中 探 究 15 （2）关于轴对称，与直线 相交所得线段的长为12； 解：由题意可设抛物线的标准方程为 ， 因为直线 与抛物线相交所得线段的长为12， 所以点在抛物线上，由，解得 ， 所以所求抛物线的标准方程为 . 课 中 探 究 16 （3）关于轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 的等 边三角形. 解：当焦点在轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为 ， 因为为等边三角形，且 ， 所以，即 ， 所以抛物线的标准方程为 . 同理可得，当焦点在轴负半轴上时，抛物线的标准方程为 . 课 中 探 究 17 变式（1） “米”是象形字，数学探究课上，某同学在直角 坐标系中用抛物线和 构 造了一个类似“米”字图案，如图所示.抛物线， 的焦点分 别为，，点在抛物线上，过点作 轴的平行线交抛 物线于点，若，则 ( ) D A.4 B.6 C.8 D.10 [解析] 因为，所以， 又易知点，关于 轴对称，所以. 由抛物线定义可知，，即，解得 . 课 中 探 究 18 （2）已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于, 两点，则 的大小为( ) C A. B. C. D. [解析] 抛物线C的方程为，令，可得 ， 不妨设点A在第一象限，则,.易知，轴， 取 ，， , 又易知 ， .故选C. 课 中 探 究 19 （3）已知抛物线的焦点为,为坐标原点，为抛物线 上一点， 且满足，则 的面积为_____. [解析] 因为抛物线的方程为，所以，可得 ， 所以焦点为，准线方程为， 又为抛物线上一点，且 ，所以点到准线的距离为， 所以 ，所以，所以 ， 所以 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤： 课 中 探 究 21 拓展 已知抛物线的焦点为，准线为，点在 上， 过作的垂线，垂足为，若 ，则到 轴的距离为( ) A A.3 B.4 C.6 D.12 [解析] 由抛物线的对称性，不妨令在轴上方，设准线与轴的交点为 , 因为点在C上，所以根据抛物线的定义可得, ， 且 ， 连接，则 ,所以 为等腰三角形，且, 所以. 在中， ,,即，解得， 所以到 轴的距离为3.故选A. 课 中 探 究 22 $