4.2 二项式系数的性质-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1.的展开式中系数最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第5项、第6项 D．第6项、第7项 解析：选B．由的二项式通项为Tk＋1＝Cx10－2k，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即C最大，所以k＝5，即第6项的系数最大．故选B． 2．(2024·江西抚州检测)若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是(　　) A．－1 B．1 C．210 D．211 解析：选B．展开式中第k＋1项为Tk＋1＝C()n－k，因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，则n＝10.又令x＝1，可得展开式中各项的系数和是＝1.故选B． 3．(2024·陕西西安月考)已知(5x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(　　) A．128 B．2 187 C．78 125 D．823 543 解析：选D．(5x－2)7的展开式中第k＋1项为Tk＋1＝C(5x)7－k(－2)k＝C57－k·(－2)kx7－k＝a7－kx7－k，故系数a7－k＝C57－k(－2)k，即当k为奇数时，系数a0，a2，a4，a6小于0，当k为偶数时，系数a1，a3，a5，a7大于0.|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－[5×(－1)－2]7＝823 543.故选D． 4．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝(　　) A．2n B． C．2n＋1 D． 解析：选D．令x＝1得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n.①令x＝－1得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n.②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，所以a0＋a2＋…＋a2n＝. 5．利用二项式定理计算(1.05)6，则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 解析：选D．(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.故选D． 6．(多选)(2024·江西赣州期中)在(－x)6的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．常数项为240 B．第4项的二项式系数最大 C．第4项的系数最大 D．所有项的系数和为64 解析：选AB．的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rC26－rx－3，对于A，要求常数项，只需－3＝0，解得r＝2，此时T3＝(－1)2C24＝240，故A正确；对于B，展开式有7项，所以第4项的二项式系数最大，故B正确；对于C，第4项的系数为(－1)3C23＝－160为负数，不可能最大，故C错误；对于D，要求所有项的系数和，令x＝1，得到＝1，即所有项的系数和为1.故D错误．故选AB． 7．已知二项式(x－2)n(n∈N＋)的展开式中，第2项的系数是－14，则n＝________，含x的奇次项的二项式系数和的值是________． 解析：依题意得C·(－2)1＝－14，解得n＝7.含x的奇次项的二项式系数和为C＋C＋C＋C＝1＋21＋35＋7＝64. 答案：7　64 8．(2024·陕西榆林期中)已知(2x－1)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，则a0＋a1＋a2＋…＋a9＝____________． 解析：令x＝0，得(－1)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1. 答案：－1 9．已知的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中x－10的系数为a，则＝____________． 解析：依题意，取x＝1，得(－2)n＝256，解得n＝8，展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)8－r·＝28－r·(－4)rCx，r∈N，r≤8，令＝－10，解得r＝3，于是a＝25×(－4)3C＝－211C，所以＝－16×56＝－896. 答案：－896 10．在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和． 解：(1)二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝210. (2)令x＝y＝1，则各项系数和为(2－3)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29. (4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，所以2(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＝1＋510，即奇数项系数和为，所以2(a1＋a3＋a5＋…＋a9)＝1－510，即偶数项系数和为. (5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如图)，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n(n≥2)行的第3个数字为an－1，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝(　　) A．165 B．180 C．220 D．236 解析：选A．由题意得，a1＝C，a2＝C，a3＝C，…，a9＝C，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝165.故选A． 12．(多选)已知(x＋2)(2x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论正确的是(　　) A．a0＝2 B．a0＋a1＋…＋a5＝32 C．a1＝15 D．a0＋a2＋a4＝42 解析：选AD．令x＝0，则a0＝2×(－1)4＝2，故A正确；令x＝1，则a0＋a1＋…＋a5＝(1＋2)(2－1)4＝3，①故B错误；展开式中含x的项为x·C·(2x)0·(－1)4＋2×C(2x)·(－1)3＝－15x，故a1＝－15，所以C错误；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－1＋2)(－2－1)4＝81，②由①＋②可得，a0＋a2＋a4＝＝42，故D正确．故选AD． 13．若3(x－2)5＝a＋bx＋cx2＋dx3＋ex4＋fx5＋(1＋x)4，其中a，b，c，d，e，f为常数，那么b＋c＋d＋f＝____________． 解析：因为3(x－2)5＝a＋bx＋cx2＋dx3＋ex4＋fx5＋(1＋x)4，令x＝1，得－3＝a＋b＋c＋d＋e＋f＋16，整理得，a＋b＋c＋d＋e＋f＝－19，令x＝0，得－96＝a＋1，a＝－97，因为(x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r·(－2)r，所以3(x－2)5的展开式中含x4项的系数为3C×(－2)，又(1＋x)4的展开式中含x4项的系数为C，所以3C×(－2)＝e＋1，e＝－31，将a，e代入即可求得b＋c＋d＋f＝109. 答案：109 14．利用二项式定理证明：对于任意正整数n，[(2＋)n－(2－)n]都是正整数． 解：[(2＋)n－(2－)n]＝ [C2n()0＋C2n－1()1＋ C2n－2()2＋…＋C20()n]－ [C2n(－)0＋C2n－1(－)1＋ C2n－2(－)2＋…＋C20(－)n]＝ [C2n－1()1＋C2n－3()3＋ C2n－5()5＋…]＝2[C2n－1＋ C2n－3()2＋C2n－5()4＋…]，其中的指数是正偶数，故的指数幂的值为正整数，所以对于任意正整数n，[(2＋)n－(2－)n]都是正整数． 15．(2024·江西抚州检测)(x－2y)3(y－2z)5(z－2x)7的展开式中不含z的各项系数之和为____________． 解析：(x－2y)3(y－2z)5(z－2x)7利用二项展开式的通项进行展开，设(x－2y)3项为k，(y－2z)5项为n，(z－2x)7项为m.展开后得Cx3－k(－2y)k·Cy5－n(－2z)n·Cz7－m(－2x)m对每一项进行合并得CCC(－2)m＋k＋nx3－k＋my5－n＋kz7－m＋n ，因为展开式中不含z，所以7－m＋n＝0，又m的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，n的取值为0，1，2，3，4，5，故得m＝7，n＝0.代入展开式得 CCC(－2)7＋kx10－ky5＋k＝C(－2)7＋kx10－ky5＋k，又k的取值为0，1，2，3，分别代入后各项系数之和为C(－2)7＋C(－2)8＋C(－2)9＋C(－2)10＝(－2)7＋3×(－2)8＋3×(－2)9＋(－2)10＝128. 答案：128 16．已知f(x)＝(x－2)n展开式的二项式系数和为512，且(x－2)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n.求： (1)a1＋a2＋a3＋…＋an的值； (2)f(20)被17除的余数． 解：(1)由(x－2)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，解得n＝9，则(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，令x＝1，可得a0＝(1－2)9＝－1，令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝(2－2)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0－(－1)＝1，即a1＋a2＋a3＋…＋an＝1. (2)由题意，可得f(20)＝(20－2)9＝189＝(17＋1)9，又(17＋1)9＝C×179＋C×178＋…＋C×17＋C×170＝17×(C×178＋C×177＋…＋C)＋1，所以f(20)被17除的余数为1. 学科网（北京）股份有限公司 $